多項式だけで連続関数に届く、ストーン・ワイエルシュトラスの定理

$[0, 1]$ の上の連続関数は、多項式でいくらでも近づけられます。ワイエルシュトラスの近似定理です^[2]。

多項式のどこが効いているのか。ストーンの答えは、和と積で閉じていることと、 $2$ 点を区別できることの $2$ つでした^[1]。

この $2$ つさえあれば、多項式でなくても同じ結論が出ます。指数関数の族でも、 $2$ 変数の積の形でも成り立つ^[4]。

近似定理

$f$ を $[a, b]$ 上の連続関数とします。どんな $ε > 0$ に対しても、次をみたす多項式 $p$ があります^[2]。

$a \leq x \leq b max ∣ f (x) - p (x) ∣ < ε$

各点で近いだけでなく、区間全体で一様に近い。ここが要点です。

証明はいくつかありますが、いちばん手が動くのはバーンシュタイン多項式による構成です^[3]。

バーンシュタイン多項式

$[0, 1]$ で考えます。 $n$ を決め、次の多項式を作ります^[3]。

$B_{n} (f) (x) = i = 0 \sum n f (\frac{i}{n}) (i n) x^{i} (1 - x)^{n - i}$

重みの部分は非負で、 $i$ について足すと $1$ になります。二項定理からすぐ出る^[3]。

$i = 0 \sum n (i n) x^{i} (1 - x)^{n - i} = (x + (1 - x))^{n} = 1$

つまり $B_{n} (f) (x)$ は、 $f$ の値を重みつきで平均した数です。重みの山は $i / n \approx x$ のあたりに集まります。

例：二乗の関数で誤差を測る

$f (x) = x^{2}$ に当てると、誤差が式で書けます。

$B_{n} (x^{2}) (x) = x^{2} + \frac{x ( 1 - x )}{n}$

余分な項は $\frac{x ( 1 - x )}{n}$ です。 $x = \frac{1}{2}$ でいちばん大きく、値は $\frac{1}{4 n}$ 。

$n = 2$ なら誤差は $0.125$ 、 $n = 10$ なら $0.025$ 、 $n = 100$ なら $0.0025$ です。 $n$ に反比例して小さくなります。

多項式そのものを入れても、有限次数では一致しない。それでも $n$ を上げれば誤差は消えていきます。

ストーンの一般化

多項式であることは本質ではありません。 $X$ をコンパクトな空間、 $A$ を $C (X)$ の部分代数とします^[1]。

A

が定数関数をすべて含む。

A

が点を分離する。つまり

x \neq = y

なら

f (x) \neq = f (y)

をみたす

f \in A

がある。

この $2$ つがあれば、 $A$ は $C (X)$ で稠密になります^[1,2]。

定数を含む代わりに「どの点でも消えない」という条件でも同じ結論が出ます^[4]。

絶対値と格子

証明の要は、閉包が絶対値をとる操作で閉じているところにあります^[4]。

$∣ t ∣$ は $[- M, M]$ 上で定数項のない多項式で一様に近似できます。そこに $f$ を代入すれば、 $∣ f ∣$ が閉包に入る。

絶対値が使えると、 $2$ つの関数の大きいほう小さいほうも作れます。

$max (f, g) = \frac{f + g}{2} + \frac{∣ f - g ∣}{2}, min (f, g) = \frac{f + g}{2} - \frac{∣ f - g ∣}{2}$

大きいほう小さいほうが自由に作れると、点ごとに値を合わせる関数を貼り合わせられます。コンパクト性で有限個に絞れば、証明が終わります^[4]。

例：多項式が条件をみたす

$X = [a, b]$ とし、 $A$ を多項式全体とします。定数は多項式なので $1$ つ目の条件は成り立つ。

$2$ 点を分離するのも簡単です。 $f (x) = x$ をとれば、 $x \neq = y$ のとき値が違います。

ストーンの定理からワイエルシュトラスの定理が従いました。特別な場合として回収できます。

例：指数関数の族

${e^{k t} : k = 0, 1, 2, \dots}$ の張る代数を考えます^[4]。

積で閉じています。 $e^{k t} \cdot e^{l t} = e^{(k + l) t}$ なので、代数になっている。

$k = 0$ が定数を与え、 $k = 1$ が点を分離します。だから $C [a, b]$ で稠密です。

多項式をまったく使わずに、連続関数を近似できることになります。

例：2 変数へ広げる

$X = [0, 1] \times [0, 1]$ とし、 $f (x) g (y)$ の形の有限和を集めます^[4]。

積で閉じているのは、 $f_{1} (x) g_{1} (y) \cdot f_{2} (x) g_{2} (y) = f_{1} f_{2} (x) \cdot g_{1} g_{2} (y)$ から分かります。

$2$ 点 $(x_{1}, y_{1}) \neq = (x_{2}, y_{2})$ は、座標のどちらかが違う。その座標の関数を使えば分離できます。

$2$ 変数の連続関数が、変数の分かれた形の和で近似できる。数値計算で使う分離型の近似は、この定理が支えています。

例：分離できないと崩れる

条件を落とすとどうなるか見ます。 $X = [- 1, 1]$ とし、 $A$ を偶数次の項だけからなる多項式の全体とします。

代数にはなっています。偶関数どうしの積は偶関数だからです。

ところが $x$ と $- x$ を分離できません。 $A$ のどの元も $f (x) = f (- x)$ をみたすためです。

閉包に入るのは偶関数だけ。 $f (x) = x$ は近づけられず、稠密になりません。

複素では共役が要る

複素数値の場合は条件が $1$ つ増えます。自己共役性、つまり $f \in A$ なら $\overline{f} \in A$ という条件です^[5]。

これがあると、実部と虚部が別々に $A$ に入ります。実の場合に帰着できる^[5]。

$Re f = \frac{f + f}{2}, Im f = \frac{f - f}{2 i}$

条件を外すと壊れます。 $X$ を単位円周とし、 $A$ を $z$ の多項式全体としましょう。

定数を含み、 $f (z) = z$ が点を分離します。それでも $\overline{z}$ には近づけません。

距離を計算する

近づけない度合いを数値で出せます。円周上での積分を使います。

多項式は円板の内部まで正則なので、円周に沿った積分が $0$ になります。いっぽう $\overline{z}$ の積分は消えません。

$\oint_{∣ z ∣ = 1} \overline{z} d z = \int_{0}^{2 π} e^{- i θ} i e^{i θ} d θ = 2 π i$

差の積分は $2 π$ の大きさを持ちます。積分の絶対値は、被積分関数の最大値に周の長さ $2 π$ を掛けたもの以下です。

$∥ p - \overline{z} ∥_{\infty} \geq \frac{2 π}{2 π} = 1$

どんな多項式をとっても、距離は $1$ 以上のまま。近づけないどころか、まったく寄れません。

例：三角多項式は届く

同じ円周でも、 $e^{in θ}$ を $n$ が負の側まで含めると話が変わります。

$\overline{e^{in θ}} = e^{- in θ}$ なので、自己共役になる。定数も入り、点も分離します。

三角多項式は円周上の連続関数で稠密です。フーリエ級数が一様に近づけられる根拠が、ここにあります^[5]。

負の番号を落とすと、さきほどの円板環に戻ります。両側そろえるかどうかで、結論が入れかわる。

自己共役な代数

実部と虚部を別々に扱える。稠密になる

片側だけの代数

正則な関数しか作れない。共役から距離 1 以上はなれる

近似の速さのほうも、数値で押さえておきます。

$f (x) = x^{2}$ に次数 $n$ のバーンシュタイン多項式を当てたとき、 $x = \frac{1}{2}$ での誤差はいくつですか。

$\frac{1}{n}$
$\frac{1}{4 n}$
$\frac{1}{n ^{2}}$

__RESULT__

誤差は $\frac{x ( 1 - x )}{n}$ で、 $x = \frac{1}{2}$ を入れると $\frac{1}{4 n}$ です。 $n = 10$ なら $0.025$ になります。 $\frac{1}{n}$ は $x (1 - x)$ の最大値を $1$ と見た場合、 $\frac{1}{n ^{2}}$ は収束の速さを速く見積もりすぎた値になります。

つまずきやすいところ

点を分離する条件を確かめずに使う。偶関数だけの代数が反例になります。

複素の場合に自己共役性を落とす。円板環では共役に近づけません。

各点収束と一様収束を同じ扱いにする。定理が言うのは一様のほうです。

コンパクトでない空間にそのまま当てる。有限被覆が使えなくなります。

バーンシュタイン多項式が補間だと考える。両端以外では値が一致しません。

部分空間であれば足りると思う。積で閉じていることが要ります。

分離できて、積で閉じていて、定数がある。この $3$ 点を確かめるだけで、近似できるかどうかが決まります。

出典

Stone-Weierstrass Theorem. MathWorld.

Stone-Weierstrass theorem. Encyclopedia of Mathematics.

Bernstein Polynomial. MathWorld.

Jiří Lebl. *Basic Analysis: Introduction to Real Analysis*, 11.7 The Stone–Weierstrass theorem.

Stone-Weierstrass theorem (complex version). PlanetMath.

連続関数は多項式で一様に近づけられます。バーンシュタイン多項式なら $f(x) = x^2$ の誤差が $x(1-x)/n$ と書け、$n = 10$ で $0.025$ まで落ちる。ストーンはこれを、和と積で閉じていて 2 点を区別できる代数ならどれでもよい、という形に広げました。指数関数の族でも 2 変数の積の形でも成り立ちます。偶関数だけでは分離できず崩れること、複素では共役が要り、多項式と $\overline{z}$ の距離が $1$ 以上あることも計算しました。