微分作用素はなぜ有界にならないのか（定義域と閉作用素）

$L^2(0,1)$ で $f_n(x)=\sqrt{2}\sin (n\pi x)$ をとると、どの $n$ でも $\Vert f_n\Vert =1$ です。

微分すると長さが変わります。$\Vert f_n^{\prime }\Vert =n\pi$ で、いくらでも大きくなる^[1]。

微分は有界作用素になりません。そして有界でない作用素は、空間全体では定義できない。定義域を書き添えて、はじめて作用素になります^[2]。

定義域つきの作用素

作用素 $T$ を、部分空間 $D(T)\subset H$ の上だけで定義された線形写像とします^[1]。

$D(T)$ が $H$ で稠密なら、稠密に定義されているといいます。随伴を作るために要る条件です^[3]。

同じ式でも定義域が違えば別の作用素になる。あとで見るように、自己共役かどうかまで変わります。

例：微分で長さが伸びる

$f_n(x)=\sqrt{2}\sin (n\pi x)$ を計算します。二乗の積分は次のようになる。

$${\int }_0^{1}2{\sin }^2(n\pi x)dx=1$$

微分は $f_n^{\prime }(x)=\sqrt{2}n\pi \cos (n\pi x)$ です。同じ計算で $\Vert f_n^{\prime }\Vert =n\pi$ になります。

$$\frac{\Vert f_n^{\prime }\Vert }{\Vert f_n\Vert }=n\pi ⟶\infty$$

倍率に上限がありません。作用素ノルムが定義できないので、有界作用素ではない^[1]。

閉作用素

有界性の代わりになる性質が閉性です。グラフを考えます^[1]。

$$\Gamma (T)=\{(x,Tx):x\in D(T)\}\subset H\times H$$

$\Gamma (T)$ が閉集合のとき、$T$ を閉作用素といいます。点列の言葉では次のようになる^[3]。

$x_n\to x$ かつ $T{x}_n\to y$ ならば、$x\in D(T)$ で $Tx=y$。有界なら極限が自動で追随しますが、閉性はそこまで要求しません。

$T{x}_n$ が収束する場合にだけ条件を課す。この弱さのおかげで、非有界な作用素にも当てはまります。

閉グラフ定理が線を引く

閉グラフ定理は、閉作用素で定義域が空間全体なら有界だと言います^[1]。

対偶をとると効きめが分かる。非有界な閉作用素は、空間全体では定義できません。

だから定義域を狭めることが、逃げではなく必然になります。微分作用素を扱うには、微分できる関数だけを集めた部分空間が要る。

ヘリンガー・テープリッツの定理

対称性を仮定すると、もっと強い形になります^[2]。

$H$ 全体で定義された対称作用素は有界である。これがヘリンガー・テープリッツの定理です。

証明は閉グラフ定理から出ます。$x_n\to x$、$T{x}_n\to y$ とし、任意の $z$ で内積を計算しましょう。

$$\begin{array}{rl}⟨y,z⟩& =\underset{n}{\lim }⟨T{x}_n,z⟩=\underset{n}{\lim }⟨x_n,Tz⟩\\ & =⟨x,Tz⟩=⟨Tx,z⟩\end{array}$$

対称性を $2$ 回使いました。$z$ は任意なので $y=Tx$ となり、グラフが閉じています。

定義域が全体なので、閉グラフ定理から有界。対偶をとれば、非有界な対称作用素は全体では定義できないと分かります^[2]。

量子力学では、エネルギーのような観測量が非有界になります。だから状態空間の全体ではなく、稠密な部分空間の上で扱う^[2]。

随伴の定義域

非有界だと、随伴の定義域も自分で決まります^[1]。

$$D(T^{\ast })=\{y\in H:x\mapsto ⟨Tx,y⟩\text{ が }D(T)\text{ 上で有界}\}$$

有界なら、リースの表現定理でその汎関数を表す元がとれます。それを $T^{\ast }y$ と定めます。

$T$ が稠密に定義されていれば $T^{\ast }$ は一意に決まり、しかも閉作用素になります^[3]。

対称と自己共役の違い

$D(T)$ の上で $⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩$ が成り立つとき、$T$ を対称といいます。

このとき $D(T)\subset D(T^{\ast })$ で、$T^{\ast }$ は $T$ の拡張になっています。自己共役はもっと強い条件です^[1]。

$$T=T^{\ast },D(T)=D(T^{\ast })$$

定義域まで一致することを要求する。有界なら両者に差はありませんが、非有界だとはっきり分かれます。

例：区間上の微分作用素

$H=L^2(0,1)$ で $T=-i\frac{d}{dx}$ を考えます。部分積分をすると境界項が出ます。

$$⟨Tf,g⟩-⟨f,Tg⟩=-i{\left[f(x)\overline{g(x)}\right]}_0^1$$

この項が消えるように定義域を選ぶ、という問題になります。選び方は $1$ 通りではありません。

両端で $0$ という条件を課すと、対称にはなりますが自己共役にはなりません。$T^{\ast }$ の定義域のほうが広くなるためです^[1]。

境界条件を $f(1)=e^{i\theta }f(0)$ にすると自己共役になります。$\theta$ を選ぶごとに別の自己共役作用素が現れる。

例：掛け算作用素

$L^2(\mathbb{R})$ で $(Mf)(t)=tf(t)$ とします。定義域は $tf$ が二乗可積分になる $f$ の全体です。

$M$ は非有界です。台を遠くへ動かせば、同じ長さの関数でも像がいくらでも伸びます。

それでも自己共役になります。$t$ が実数値なので、内積の計算で共役をとっても形が変わりません。

非有界と自己共役は両立する。有界性は自己共役性の条件ではありません。

例：閉じない作用素

閉にできない作用素もあります。$D(T)=C[0,1]$ とし、$\phi$ を $0$ でない関数に固定して次を定めます。

$$Tf=f(0)\phi$$

$f_n(x)=\max (0,1-nx)$ をとりましょう。$\Vert f_n{\Vert }^2=\frac{1}{3n}$ なので $f_n\to 0$ です。

ところが $f_n(0)=1$ なので $T{f}_n=\phi$ のまま動きません。

$(0,\phi )$ がグラフの閉包に入りますが、$T\cdot 0=0$ です。閉包がグラフになりえないので、この作用素は閉じられません^[3]。

例：固有値が境界条件で動く

$T=-i\frac{d}{dx}$ の固有値を計算します。$-i{f}^{\prime }=\lambda f$ を解くと $f(x)=c{e}^{i\lambda x}$ です。

境界条件 $f(1)=e^{i\theta }f(0)$ に入れましょう。$c{e}^{i\lambda }=e^{i\theta }c$ となります。

$$\lambda =\theta +2\pi n(n\in \mathbb{Z})$$

固有値の列が $\theta$ の分だけ横へずれる。$\theta =0$ なら $0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\dots$ です。

$\theta =\pi$ にすると $\pm \pi ,\pm 3\pi ,\dots$ になります。式は同じでも、定義域が違えばスペクトルが違う。

例：両端を固定すると固有値が消える

同じ式で、定義域を $f(0)=f(1)=0$ にしてみます。

$f(x)=c{e}^{i\lambda x}$ に $f(0)=0$ を入れると $c=0$ です。恒等的に $0$ の関数しか残りません。

固有値が $1$ つもないことになります。対称ではあっても自己共役でない作用素の、典型的なふるまいです^[1]。

自己共役なら実数のスペクトルが豊かに現れる。境界条件を強くしすぎると、その構造が壊れます。

検算

非有界だと言いたいときは、ノルムが $1$ の列で像が発散する例を $1$ つ作れば足ります。

対称か自己共役かを見分けるときは、部分積分で境界項を書き出す。消える条件が定義域の候補になります。

$T^{\ast }$ の定義域が $T$ の定義域より広ければ、対称ではあっても自己共役ではありません。

よくある誤り

定義域は付け足しではありません。どこまでを作用素の住所と決めるかが、性質そのものを決めています。

参考