特異値さえ出せば階級が決まる！トレースクラスかどうかの判定

作用素がコンパクトか、ヒルベルト・シュミットか、トレースクラスか。判定は特異値の並びを見るだけで済みます^[3]。

和が収束すればトレースクラス、二乗和が収束すればヒルベルト・シュミット、$0$ へ向かうだけならコンパクト。

数列の収束判定に落ちるので、$p$ 級数と比べれば答えが出ます。まず特異値の出し方から始めます。

特異値の出し方

行列 $A$ の特異値は、$A^{\ast }A$ の固有値の平方根です^[1]。

$$s_1\ge s_2\ge \cdots \ge 0,s_i=\sqrt{{\lambda }_i(A^{\ast }A)}$$

$A^{\ast }A$ は正の作用素なので、固有値は非負です。平方根がそのままとれます。

問 1：2 次の行列で計算する

次の行列で試します。

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 4& 5\end{array}\right)$$

$A^{\ast }A$ を計算しましょう。

$$A^{\ast }A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 0& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 4& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}25& 20\\ 20& 25\end{array}\right)$$

固有値は $25\pm 20$ なので $45$ と $5$ です。平方根をとると特異値が出ます。

$$s_1=\sqrt{45}=6.708,s_2=\sqrt{5}=2.236$$

検算します。特異値の積は $\sqrt{45\times 5}=\sqrt{225}=15$ で、$|\det A|=3\times 5=15$ と一致しました。

$3$ つのノルムも出せます。作用素ノルムは最大の特異値で $6.708$。

ヒルベルト・シュミットノルムは二乗和の平方根なので $\sqrt{45+5}=\sqrt{50}=7.071$ です^[3]。成分の二乗和 $9+16+25=50$ とも合います。

トレースノルムは和そのもので $6.708+2.236=8.944$ になります^[2]。

問 2：黄金比が出てくる行列

次の行列でも計算します。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

積を計算します。

$$A^{\ast }A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

固有値はトレース $3$ と行列式 $1$ から出ます。

$$\lambda =\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$

数値では $2.618$ と $0.382$ です。平方根をとると $1.618$ と $0.618$ になります。

黄金比とその逆数でした。積は $1$ で、$|\det A|=1$ と一致します。

作用素ノルムは $1.618$ です。行列の成分はどれも $1$ 以下なのに、ノルムは $1$ を超えている。

問 3：対角作用素で階級を決める

${\ell }^2$ で $D{e}_n=\frac{1}{n^p}{e}_n$ とします。特異値はそのまま $\frac{1}{n^p}$ です。

判定は $p$ 級数の収束で決まります^[3]。

$p$ の値ごとに答えを並べます。

$p=2$ なら $\sum \frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ で収束するので、トレースクラスです。

$p=1$ では和が発散し、二乗和は収束します。ヒルベルト・シュミットどまり。

$p=\frac{3}{4}$ でも和は発散します。二乗和は $\sum \frac{1}{n^{1.5}}$ で収束するので、やはりヒルベルト・シュミットです。

$p=\frac{1}{2}$ になると二乗和が調和級数になり発散します。コンパクトではあるが、それ以上ではない。

$p=0$ なら特異値が $1$ のまま。$0$ へ向かわないので、コンパクトですらありません。

問 4：境目の数列

$p$ 級数の境目のすぐそばも試します。$s_n=\frac{1}{n\log n}$ とおきましょう。

和は発散します。積分と比べると $\int \frac{dx}{x\log x}=\log \log x$ で、これは無限に伸びる。

二乗和のほうは収束します。$\frac{1}{n^2(\log n{)}^2}$ は $\frac{1}{n^2}$ より小さいためです。

トレースクラスではなく、ヒルベルト・シュミットです。$p=1$ の場合と同じ結論になりました。

対数を掛けても境目は動きません。効くのは $n$ のべきのほうです。

問 5：積分作用素

核が二乗可積分なら、ヒルベルト・シュミットノルムが核のノルムに一致します^[3]。

$$\Vert K{\Vert }_{HS}^2={\int }_0^1{\int }_0^1|k(x,y){|}^{2}dxdy$$

$k(x,y)=xy$ で計算します。${\int }_0^1{x}^{2}dx{\int }_0^1{y}^{2}dy=\frac{1}{9}$ なので、ノルムは $\frac{1}{3}$ です。

この作用素は階数 $1$ で、特異値は $\frac{1}{3}$ が $1$ つだけ。和も二乗和も有限なので、トレースクラスでもあります。

有限階数の作用素はいつでもトレースクラスです^[2]。判定に迷う場面は、特異値が無限に続くときだけになります。

問 6：ヴォルテラ作用素

$L^2[0,1]$ の積分作用素 $(Vf)(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ を見ます。特異値は次の形です。

$$s_k=\frac{1}{(k+1/2)\pi }(k=0,1,2,\dots )$$

$\frac{1}{k}$ と同じ速さで落ちます。$p=1$ の場合にあたるので、二乗和は収束、和は発散です。

ヒルベルト・シュミットではあるが、トレースクラスではない。境目にちょうど乗っています。

核から確かめることもできます。$k(x,y)$ は $y\le x$ で $1$、それ以外で $0$ なので、二乗の積分は三角形の面積 $\frac{1}{2}$ です。

$$\Vert V{\Vert }_{HS}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$$

特異値の二乗和からも同じ値が出ます。$\sum _k\frac{1}{(k+1/2{)}^2{\pi }^2}=\frac{1}{{\pi }^2}\cdot \frac{{\pi }^2}{2}=\frac{1}{2}$ です。

手順のまとめ

判定は $3$ 段階で終わります。

行列のように特異値が有限個なら、無条件でトレースクラスです^[4]。

落ち方が境目に近い場合で、手順をもう一度当てます。

検算

特異値を出したら、まず積を $|\det A|$ と比べます。$2$ 次なら $s_1{s}_2=|\det A|$ になるはずです。

二乗和も確かめられます。ヒルベルト・シュミットノルムは成分の二乗和に等しいので、$\sum s_i^2=\sum |a_{ij}{|}^2$ を突き合わせる^[3]。

問 1 なら $45+5=50$ と $9+16+25=50$ で一致しました。

積分作用素なら、核の二乗積分と特異値の二乗和を比べます。ヴォルテラ作用素では、どちらも $\frac{1}{2}$ になりました。

固有値と特異値を混同していないかも見ておきたい。ヴォルテラ作用素は固有値を $1$ つも持ちませんが、特異値は無限に並びます。

参考