転置はどこへ行ったのか？ヒルベルト空間の随伴作用素

行列の転置は、内積の相手側へ移す操作として書ける。複素なら共役転置になる。

$$⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{\ast }y⟩$$

無限次元でも同じ式で決められる。この $T^{\ast }$ を随伴作用素という^[1]。成分も基底も使わず、内積だけで定義できるところが利点である。

定義と存在

$H$ を複素ヒルベルト空間、$T$ を有界線形作用素とする。$T^{\ast }$ は次の等式で定まる^[2]。

$$⟨Tx,y⟩=⟨x,T^{\ast }y⟩(x,y\in H)$$

存在はリースの表現定理から出る。$y$ を固定すると $x\mapsto ⟨Tx,y⟩$ は線形汎関数になる。

有界性も確かめられる。コーシー・シュワルツの不等式から次が成り立つ。

$$|⟨Tx,y⟩|\le \Vert Tx\Vert \Vert y\Vert \le \Vert T\Vert \Vert x\Vert \Vert y\Vert$$

だからこの汎関数は有界で、ノルムは $\Vert T\Vert \Vert y\Vert$ 以下。リースの表現定理により、これを内積で表す元がただ $1$ つ決まる^[1]。

その元を $T^{\ast }y$ と書く。$y$ を動かせば作用素になり、線形性も有界性も引き継がれる。

基本の性質

計算規則は転置とほぼ同じで、複素共役が入るところだけ違う^[1]。

順序が入れかわるところは行列の転置と同じである。$\Vert T^{\ast }T\Vert =\Vert T{\Vert }^2$ は $C^{\ast }$ 恒等式と呼ばれ、あとで代数の骨格になる。

例：行列で確かめる

$2$ 次の行列で見よう。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& i\\ 0& 2\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -i& 2\end{array}\right)$$

転置してから各成分の共役をとる。$i$ が $-i$ に変わり、位置が入れかわった。

$x=(1,0)$、$y=(0,1)$ で等式を確かめる。$Ax=(1,0)$ なので $⟨Ax,y⟩=0$ である。

いっぽう $A^{\ast }y=(0,2)$ なので $⟨x,A^{\ast }y⟩=0$。一致した。

$x=(0,1)$、$y=(1,0)$ でも見る。$Ax=(i,2)$ で $⟨Ax,y⟩=i$、$A^{\ast }y=(1,-i)$ で $⟨x,A^{\ast }y⟩=\overline{-i}=i$ になる。

例：掛け算作用素

$L^2$ の上で、有界な関数 $\phi$ を掛ける作用素を考える。

$$(M_{\phi }f)(t)=\phi (t)f(t)$$

内積を書き下すと随伴が見える。$⟨M_{\phi }f,g⟩=\int \phi f\overline{g}dt$ である。

$\phi$ を $g$ 側へ移すには共役をつける。$\phi f\overline{g}=f\overline{\overline{\phi }g}$ だから、随伴は $\overline{\phi }$ を掛ける作用素になる^[2]。

$$(M_{\phi }{)}^{\ast }=M_{\overline{\phi }}$$

自己共役になるのは $\phi =\overline{\phi }$、つまり $\phi$ が実数値のときである。$|\phi |=1$ ならユニタリになる。

例：積分作用素

核 $k(s,t)$ をもつ作用素の随伴は、核の変数を入れかえて共役をとった形になる^[2]。

$$(Tf)(s)={\int }_0^{1}k(s,t)f(t)dt,(T^{\ast }g)(t)={\int }_0^1\overline{k(s,t)}g(s)ds$$

自己共役になる条件は $k(s,t)=\overline{k(t,s)}$ である。実数値なら対称核ということになる。

$k(s,t)=\min (s,t)$ は実数値で対称なので自己共役。$k(s,t)=st$ も同じく自己共役である。

いっぽう $k(s,t)=s$ は対称でない。随伴の核は $t$ になり、もとと違う作用素になる。

例：ずらす作用素

${\ell }^2$ の上で、成分を $1$ つ後ろへずらす作用素を考える。

$$S(x_1,x_2,x_3,\dots )=(0,x_1,x_2,\dots )$$

随伴は前へずらす作用素になる。内積を書けば分かる。

$$⟨Sx,y⟩=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n\overline{y_{n+1}}=⟨x,S^{\ast }y⟩$$

つまり $S^{\ast }(y_1,y_2,y_3,\dots )=(y_2,y_3,\dots )$ である。先頭が捨てられる。

$S^{\ast }S$ を計算すると恒等作用素になる。ずらして戻すと元へ帰るためである。

$S{S}^{\ast }$ は違う。$(y_1,y_2,\dots )$ を前へずらしてから後ろへずらすと $(0,y_2,y_3,\dots )$ になり、第 $1$ 成分が消える。

$$S^{\ast }S=I,S{S}^{\ast }\ne I$$

$S$ は等長だがユニタリではない。片側だけ逆になっている作用素で、無限次元でしか起きない現象である。

自己共役

$T=T^{\ast }$ をみたす作用素を自己共役という^[4]。行列ならエルミート行列にあたる。

このとき $⟨Tx,x⟩=⟨x,Tx⟩=\overline{⟨Tx,x⟩}$ なので、$⟨Tx,x⟩$ は実数になる。

固有値も実数である。$Tx=\lambda x$、$x\ne 0$ とすると次のようになる。

$$\begin{array}{rl}\lambda \Vert x{\Vert }^2& =⟨Tx,x⟩=⟨x,Tx⟩\\ & =\overline{\lambda }\Vert x{\Vert }^2\end{array}$$

$\Vert x{\Vert }^2\ne 0$ で割れば $\lambda =\overline{\lambda }$、つまり実数だと分かる。

ノルムも二次形式で測れる。自己共役なら $\Vert T\Vert ={\sup }_{\Vert x\Vert =1}|⟨Tx,x⟩|$ が成り立つ^[4]。

ユニタリ

$U^{\ast }U=U{U}^{\ast }=I$ をみたす作用素をユニタリという^[1]。内積をそのまま保つ。

$$⟨Ux,Uy⟩=⟨x,U^{\ast }Uy⟩=⟨x,y⟩$$

長さも角度も変わらない。有限次元なら回転や鏡映がこれにあたる。

$|\phi |=1$ の掛け算作用素、フーリエ変換、そして正規直交基底どうしを写す作用素がユニタリになる。

片側だけの等式では足りない。$S^{\ast }S=I$ をみたす $S$ は等長だが、$S{S}^{\ast }=I$ が崩れるのでユニタリではない。

正規

$T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$ をみたす作用素を正規という^[3]。自己共役もユニタリも、この条件をみたす。

同値な言いかえがある。定義域がそろっていれば、次の条件と同じになる^[3]。

$$\Vert Tx\Vert =\Vert T^{\ast }x\Vert (x\in H)$$

シフトで試すと崩れる。$\Vert S{e}_1\Vert =1$ に対し $\Vert S^{\ast }{e}_1\Vert =0$ である。正規ではない。

正規なら固有値が違う固有ベクトルどうしは直交する。有限次元なら、ユニタリ行列で対角化できる^[3]。

残留スペクトルが空になることも知られている。スペクトル定理が成り立つ範囲が、ちょうどこの枠になっている。

核と像の関係

随伴は核と像を結びつける^[1]。

$$\ker T^{\ast }=(\mathrm{ran}T{)}^{\perp }$$

$T^{\ast }y=0$ は、すべての $x$ で $⟨Tx,y⟩=0$ ということ。つまり $y$ が $T$ の像と直交する。

シフトで確かめよう。$\mathrm{ran}S$ は第 $1$ 成分が $0$ の元全体である。その直交補空間は $e_1$ の張る空間になる。

いっぽう $\ker S^{\ast }$ は $(y_2,y_3,\dots )=0$ をみたす元、つまり $e_1$ の定数倍である。一致した。

ここまでの道具がそろうと、シフトの性質はすべて随伴の計算から出てくる。積の順序を入れかえて確かめよう。

答えを確かめる

随伴を求めたら、$⟨Tx,y⟩=⟨x,T^{\ast }y⟩$ に基底ベクトルを入れて確かめる。

$e_i$ と $e_j$ の組で成分を比べれば、行列なら $(i,j)$ 成分と $(j,i)$ 成分の共役が一致するはずである。

正規かどうかは $\Vert Tx\Vert$ と $\Vert T^{\ast }x\Vert$ を $1$ つの $x$ で比べると早い。$1$ か所でも差が出れば正規ではない。

まちがえやすいところ

内積の相手側へ移す。この $1$ つの操作から、自己共役もユニタリも正規も、すべて条件として書き下せる。

出典