可分なヒルベルト空間はどれも ℓ2 と同じ形になる

$L^2[0,1]$ の元は関数、${\ell }^2$ の元は数列です。見た目には共通点がありません。

それでも $2$ つはユニタリ同型になります。可分なヒルベルト空間はどれも ${\ell }^2$ と同じ形をしている^[1]。

区別する手がかりは正規直交基底の個数だけ。個数がそろえば、空間として区別がつきません。

フーリエ係数とベッセルの不等式

$\{e_n\}$ を正規直交系とします。$x$ に対して $c_n=⟨x,e_n⟩$ をフーリエ係数と呼びます^[2]。

有限個で近似したときの誤差を計算しましょう。$\sum _{n=1}^N{c}_n{e}_n$ を引くと、次のようになります。

$${\Vert x-\sum _{n=1}^N{c}_n{e}_n\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-\sum _{n=1}^N|c_n{|}^2$$

左辺は $0$ 以上なので、部分和はいつも $\Vert x{\Vert }^2$ 以下です。$N$ を大きくしてベッセルの不等式が出ます。

$$\sum _{n=1}^{\infty }|c_n{|}^2\le \Vert x{\Vert }^2$$

等号が成り立つかどうかが分かれ目になる。等号のとき、この正規直交系は基底と呼べます^[2]。

正規直交基底の言いかえ

正規直交系 $S$ について、次の条件はすべて同値です^[2]。

$4$ つ目の言いかえがあるので、ツォルンの補題から基底の存在が言えます。どのヒルベルト空間にも正規直交基底があります^[1]。

例：三角関数系

$L^2[0,1]$ で $e_n(x)=e^{2\pi inx}$ を並べます。$n$ は整数全体を走ります^[3]。

直交性は積分で確かめられる。$n\ne m$ なら次のようになります。

$${\int }_0^1{e}^{2\pi inx}\overline{e^{2\pi imx}}dx={\int }_0^1{e}^{2\pi i(n-m)x}dx=0$$

指数関数の周期がちょうど整数回入るので、$1$ 周期ぶんの積分が消えます。$n=m$ なら被積分関数が $1$ になり、値は $1$。

正規直交系だと分かりました。これが基底になることは、三角多項式が稠密だという事実から従います^[1]。

例：グラム・シュミットで作る

基底が最初から見えていなくても、直交化すれば作れます。$L^2[-1,1]$ で $1,x,x^2,\dots$ を直交化しましょう^[1]。

これがルジャンドル多項式です。正規化した形を書きます。

$$e_0=\frac{1}{\sqrt{2}},e_1=\sqrt{\frac{3}{2}}x,e_2=\sqrt{\frac{5}{8}}(3x^2-1)$$

$e_0$ と $e_1$ の直交性は、$x$ が奇関数なので ${\int }_{-1}^{1}xdx=0$ から出ます。

$e_1$ と $e_2$ も奇偶で消えます。$e_0$ と $e_2$ は計算が要る。${\int }_{-1}^1(3x^2-1)dx=2-2=0$ になりました。

ノルムも確かめられます。${\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=\frac{2}{3}$ なので、$\sqrt{3/2}$ を掛けると長さが $1$ です。

可分だと基底が可算になる

ヒルベルト空間が可分であることと、可算な正規直交基底をもつことは同値です^[1,2]。

片方向は、可算な稠密集合をグラム・シュミットにかけるだけ。もう片方向は、基底の有理係数の有限和が稠密になることから出ます。

$L^2[0,1]$ は可分です。三角多項式が稠密で、係数を有理数に限っても近づけられるためです。

同型定理

可算な正規直交基底 $\{e_n\}$ をとり、$x$ を係数の列へ移す写像を作ります^[1]。

$$U(x)=(⟨x,e_1⟩,⟨x,e_2⟩,\dots )$$

パーセバルの等式から $\Vert U(x){\Vert }_{{\ell }^2}=\Vert x\Vert$ です。等長なので単射になります。

全射になることはリース・フィッシャーの定理から出ます^[4]。$(c_n)\in {\ell }^2$ をとり、部分和のノルムを計算しましょう。

$${\Vert \sum _{n=N}^M{c}_n{e}_n\Vert }^2=\sum _{n=N}^M|c_n{|}^2$$

右辺は $\sum |c_n{|}^2<\infty$ の尾なので $0$ へ向かいます。部分和はコーシー列になり、完備性から収束する。

その極限を $x$ とすれば $U(x)=(c_n)$ です。$U$ はユニタリ写像になりました^[4]。

例：関数を係数へ移す

$f(x)=x$ を $L^2[0,1]$ でとり、三角関数系の係数を計算します。

$n=0$ の係数は ${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$ です。$n\ne 0$ のときは部分積分で出ます。

$${\int }_0^{1}x{e}^{-2\pi inx}dx=\frac{i}{2\pi n}$$

絶対値は $\frac{1}{2\pi |n|}$。この列が $f$ の ${\ell }^2$ 側の姿になります。

パーセバルの等式を当てましょう。左辺は ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ です。

$$\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4{\pi }^2{n}^2}$$

整理すると $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ が出ます。同型の等式が、そのままバーゼル問題の答えを返しました。

ヒルベルト次元

正規直交基底の濃度は、基底のとり方によりません^[1]。これをヒルベルト次元と呼びます。

$2$ つのヒルベルト空間がユニタリ同型になることと、ヒルベルト次元が等しいことは同値です。

可分で無限次元なら、次元は可算無限。だから $L^2[0,1]$ も $L^2(\mathbb{R})$ も ${\ell }^2$ も、すべて同じ空間になります。

例：可分でない空間

$I$ を非可算な集合とし、${\ell }^2(I)$ を考えます。台が可算で二乗和が有限な族の全体です。

$t\ne s$ なら $\Vert e_t-e_s\Vert =\sqrt{2}$ になります。互いに $\sqrt{2}$ 離れた元が非可算個あるので、可算な稠密集合はとれません。

可分でないヒルベルト空間は ${\ell }^2$ と同型になりません。次元が違うためです。

検算

正規直交系だと思ったら、まず $2$ 本ずつ内積を計算します。$0$ にならない組があれば直交系ではありません。

次にノルムが $1$ かを見る。ここまでが正規直交系の確認です。

基底かどうかは、パーセバルの等式を $1$ つの具体的な $f$ で確かめると早い。両辺の数値が合わなければ、まだ足りない元があります。

よくある誤り

基底を $1$ 組とれば、あとは係数の列を見ればよい。関数の空間を数列の空間として扱えるところに、この定理の効きめがあります。

参考