Lp の双対は Lq になる｜ヘルダーの不等式から双対空間へ

${\ell }^2$ の上の連続な線形汎関数は、${\ell }^2$ の元との内積ですべて書けます。${\ell }^p$ でも似たことが起きますが、相手は ${\ell }^p$ ではありません。

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ で結ばれた ${\ell }^q$ が相手になります。$p=2$ だけが自分自身と組む特別な場合^[4]。

ヘルダーの不等式が、その橋を渡しています。積分と積を結ぶこの評価から、双対空間の正体が出てきます^[1]。

共役指数

$1\le p\le \infty$ に対し、$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ をみたす $q$ を共役指数と呼びます^[1]。

$\frac{1}{\infty }=0$ と約束すると、$p=1$ には $q=\infty$、$p=\infty$ には $q=1$ が対応する。

式を解けば $q=\frac{p}{p-1}$ です。$p$ を大きくすると $q$ は $1$ へ近づきます。

$\frac{1}{p}$ と $\frac{1}{q}$ を座標に置くと、対応が直線に乗ります。

ヘルダーの不等式

測度空間の上で、$f\in L^p$、$g\in L^q$ とします。積は可積分になり、次が成り立ちます^[1]。

$$\Vert fg{\Vert }_1=\int |fg|d\mu \le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$$

数列なら和の形になる。

$$\sum _k|x_k{y}_k|\le {\left(\sum _k|x_k{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _k|y_k{|}^q\right)}^{1/q}$$

$p=q=2$ に落とすとコーシー・シュワルツの不等式です^[1]。よく知られた形は、この不等式の特別な場合になります。

等号が成り立つのは、$\alpha |f{|}^p=\beta |g{|}^q$ がほとんど至るところで成り立つときに限ります^[1]。片方が決まれば、もう片方の形も決まる。

ヤングの不等式から出す

証明の道具は、$a,b\ge 0$ に対する次の評価です^[2]。

$$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$

等号は $b=a^{p-1}$ のときに限ります。これは面積の絵で見ると当たり前になる。

青い部分が ${\int }_0^a{x}^{p-1}dx=\frac{a^p}{p}$、赤い部分が ${\int }_0^b{y}^{q-1}dy=\frac{b^q}{q}$ です。

$2$ つを合わせると長方形 $ab$ を必ず覆います。角がちょうど曲線に乗ったときだけ、はみ出しが消えて等号になる。

ヘルダーの不等式は、この評価を正規化して積分するだけで出ます。$\Vert f{\Vert }_p=\Vert g{\Vert }_q=1$ の場合に示せば十分です^[2]。

$$\int |fg|d\mu \le \int \left(\frac{|f{|}^p}{p}+\frac{|g{|}^q}{q}\right)d\mu =\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$

例：数列で確かめる

$x=(1,2)$、$y=(3,4)$ に $p=q=2$ で当てます。

左辺は $|1\cdot 3|+|2\cdot 4|=11$。右辺は $\sqrt{1+4}\cdot \sqrt{9+16}=\sqrt{5}\cdot 5\approx 11.18$ です。

差はわずか $0.18$。$y$ が $x$ の定数倍に近いほど、等号に近づきます。

実際に $y=(2,4)$ にすると、左辺は $2+8=10$、右辺は $\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{100}=10$。ぴったり一致しました。

例：指数を変えて計算する

同じ $x=(1,2)$、$y=(1,1)$ で、$p=4$、$q=\frac{4}{3}$ を試します。

左辺は $1+2=3$ です。右辺の第 $1$ 因子は $(1+16{)}^{1/4}=17^{1/4}\approx 2.031$。

第 $2$ 因子は $(1+1{)}^{3/4}=2^{3/4}\approx 1.682$ なので、積は $3.416$ になります。$3\le 3.416$ で成立。

指数の組を変えても不等式は保たれる。ただし、どの組で等号に近づくかは $x$ と $y$ の形で決まります。

例：積分で確かめる

$f(t)=t$、$g(t)=1$ を $[0,1]$ でとります。左辺は ${\int }_0^{1}tdt=\frac{1}{2}$ です。

$p=2$ なら $\Vert f{\Vert }_2={\left(\frac{1}{3}\right)}^{1/2}\approx 0.577$、$\Vert g{\Vert }_2=1$ なので右辺は $0.577$。

$p=3$ なら $\Vert f{\Vert }_3={\left(\frac{1}{4}\right)}^{1/3}\approx 0.630$、$\Vert g{\Vert }_{3/2}=1$ で右辺は $0.630$ です。

どちらも $0.5$ より大きい。$f$ と $g$ の形が違うので、等号からは離れています。

汎関数を作る

$g\in L^q$ を $1$ つ固定し、次の写像を考えます。

$${\Lambda }_g(f)=\int fgd\mu$$

線形なのはすぐ分かります。ヘルダーの不等式から $|{\Lambda }_g(f)|\le \Vert g{\Vert }_q\Vert f{\Vert }_p$ なので、有界でもある。

作用素ノルムは $\Vert {\Lambda }_g\Vert \le \Vert g{\Vert }_q$ です。ここまでは不等式そのままの帰結になります。

等号を実現する関数を作る

逆向きの評価には、等号を起こす $f$ を持ってきます。$g$ から作りましょう。

$$f=|g{|}^{q-1}\mathrm{sgn}(g)$$

このとき $fg=|g{|}^q$ なので、${\Lambda }_g(f)=\Vert g{\Vert }_q^q$ になります。

$f$ のノルムも計算できる。$(q-1)p=q$ に注意して指数を整理します。

$$\Vert f{\Vert }_p={\left(\int |g{|}^{(q-1)p}d\mu \right)}^{1/p}={\left(\int |g{|}^{q}d\mu \right)}^{1/p}=\Vert g{\Vert }_q^{q/p}$$

割り算をすると $\frac{{\Lambda }_g(f)}{\Vert f{\Vert }_p}=\Vert g{\Vert }_q^{q-q/p}=\Vert g{\Vert }_q$ です。上限が実現したので $\Vert {\Lambda }_g\Vert =\Vert g{\Vert }_q$ になりました^[1]。

リースの表現定理

写像 $g\mapsto {\Lambda }_g$ は等長です。全射でもあることが分かると、双対空間の正体が決まります。

$1\le p<\infty$ で測度が $\sigma$ 有限なら、$L^p$ の双対空間は $L^q$ と等長同型になります^[3]。

$$(L^p{)}^{\ast }\cong L^q,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$

$p=1$ のときだけ $\sigma$ 有限性が効きます。局所化可能という弱い条件でも足りますが、外れると双対はもっと大きい空間になる^[3]。

例：数列空間で見る

数列の空間では対応が具体的に書けます^[4]。

$c_0$ は $0$ に収束する数列の空間です。その双対が ${\ell }^1$、さらにその双対が ${\ell }^{\infty }$ と、階段が $1$ 段ずつ上がる。

$1<p<\infty$ の範囲では、$2$ 回双対をとると元へ戻ります。この性質を反射性と呼びます^[3]。

p が無限大では崩れる

${\ell }^{\infty }$ の双対は ${\ell }^1$ ではありません^[4]。${\ell }^1$ の元では表せない汎関数が実際に作れます。

収束する数列の空間 $c$ の上で、極限をとる写像 $\Lambda (x)={\lim }_n{x}_n$ を考えます。ノルムは $1$ です。

ハーン・バナッハの定理でこれを ${\ell }^{\infty }$ 全体へ延ばします。延ばした汎関数を $\tilde{\Lambda }$ と書きましょう。

もし $y\in {\ell }^1$ があって $\tilde{\Lambda }(x)={\sum }_k{x}_k{y}_k$ と書けたとします。$x=e_n$ を入れると $y_n={\lim }_k(e_n{)}_k=0$ です。

すべての $n$ で $y_n=0$ なので $y=0$。ところが $x=(1,1,1,\dots )$ では $\tilde{\Lambda }(x)=1$ になり、矛盾します。

${\ell }^1$ の中には相手が居ません。${\ell }^{\infty }$ の双対は、有限加法的な測度からなるもっと大きい空間になります^[4]。

例：反射性の分かれ目

$1<p<\infty$ なら、$L^p$ の双対は $L^q$、その双対はまた $L^p$ です。反射的というのはこの性質になります^[3]。

$L^1$ は反射的ではありません。$(L^1{)}^{\ast }=L^{\infty }$ まではよいものの、その双対が $L^1$ を超えるためです。

$L^{\infty }$ も反射的ではない。片道は行けても、往復では出発点に戻らない構造になっています。

例：ノルムを双対で測り直す

ヘルダーの不等式は、ノルムの別の書き方を与えます^[1]。

$$\Vert f{\Vert }_p=\max \left\{\left|\int fgd\mu \right|:\Vert g{\Vert }_q\le 1\right\}$$

$f(t)=t$ を $[0,1]$ で $p=2$ として測ってみます。最大を与える $g$ は $f$ の定数倍です。

$g(t)=\sqrt{3}t$ とすると $\Vert g{\Vert }_2=1$ で、積分は $\sqrt{3}{\int }_0^1{t}^{2}dt=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0.577$。

これは $\Vert f{\Vert }_2$ そのものです。直接計算した値と一致しました。

検算

指数の組は $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ をその場で確かめます。$p=5$ なら $q=\frac{5}{4}$ で、$\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1$。

不等式の向きも、簡単な数値で 1 度確かめると安心です。$x=y=(1,1)$ なら左辺 $2$、右辺は $2^{1/p}\cdot 2^{1/q}=2$ で等号。

等号が出たのは $|x{|}^p$ と $|y{|}^q$ が比例しているからです。等号条件が働いていることも同時に確かめられます。

つまずきやすいところ

指数を $1$ つ決めると相手が決まる。この対応を押さえておけば、双対空間の計算はほとんど機械的に進みます。

参考