作用素に関数を代入する（関数カルキュラスとスペクトル写像定理）

行列なら $A^2-3A+2I$ のような式はすぐ書けます。足し算と掛け算しか使っていません。

$e^A$ や $\sqrt{A}$ はどうでしょう。多項式では書けないので、別の作り方が要ります。

作り方は段階に分かれます。多項式、正則関数、連続関数の順に広がっていく^[1]。どの段階でも、スペクトルが $f$ でそのまま写るという性質が付いてきます。

多項式を代入する

$p(z)=a_0+a_{1}z+\cdots +a_n{z}^n$ に対し、$p(T)=a_{0}I+a_{1}T+\cdots +a_n{T}^n$ と定めます。

この対応は代数の準同型です。$(pq)(T)=p(T)q(T)$ が成り立つ。

スペクトルも素直に写ります^[2]。

$$\sigma (p(T))=p(\sigma (T))=\{p(\lambda ):\lambda \in \sigma (T)\}$$

片側は因数分解で出ます。$\lambda \in \sigma (T)$ とすると、$p(z)-p(\lambda )$ は $z-\lambda$ で割り切れる。

$$p(z)-p(\lambda )=(z-\lambda )q(z)$$

代入すると $p(T)-p(\lambda )I=(T-\lambda I)q(T)$ です。右辺は $T-\lambda I$ を含むので可逆になりません^[4]。

例：対角行列で確かめる

$T=\mathrm{diag}(1,2,3)$、$p(z)=z^2-1$ とします。

$p(T)=\mathrm{diag}(0,3,8)$ です。スペクトルは $\{0,3,8\}$ になります。

いっぽう $p(\sigma (T))=\{p(1),p(2),p(3)\}=\{0,3,8\}$。一致しました。

$p(T)$ が可逆でないのは、$\sigma (T)$ の中に $p$ の零点があるためです。$\lambda =1$ が $p(z)=0$ をみたしています。

冪級数では足りない

多項式の次は冪級数です。$e^T=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{T^n}{n!}$ はどの $T$ でも収束します。

ところが収束半径が有限だと困る。対数の級数は単位円板でしか収束しないので、$\Vert T\Vert \ge 1$ では使えません^[4]。

スペクトルが原点から離れていれば $\log T$ を作れるはずなのに、級数の形では届かない。もっと柔軟な定義が要ります。

積分で定める

コーシーの積分公式を作用素に持ち込みます^[1,4]。

$$f(T)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\Gamma }f(\lambda )(\lambda I-T{)}^{-1}d\lambda$$

$\Gamma$ は $\sigma (T)$ を内側に囲み、$\sigma (T)$ とは交わらない曲線です。$f$ はその近くで正則とします。

$(\lambda I-T{)}^{-1}$ をレゾルベントと呼びます。$\sigma (T)$ の外側で解析的なので、積分が意味を持つ^[2]。

曲線の選び方によらないことも示せます。$2$ つの曲線のあいだで被積分関数が正則なので、コーシーの定理から差が消えます^[4]。

例：積分から T が出てくる

定義が多項式と食い違わないことを確かめます。$f(\lambda )=\lambda$ を入れましょう。

$|\lambda |>\Vert T\Vert$ ではレゾルベントが級数に展開できます。

$$(\lambda I-T{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{T^n}{{\lambda }^{n+1}}$$

これを掛けて項別に積分します。$\oint {\lambda }^{-n}d\lambda$ は $n=1$ のときだけ $2\pi i$ で、ほかは $0$ です。

残るのは $n=1$ の項、つまり $T$ そのもの。$f(\lambda )=1$ を入れると $n=0$ の項が残り、$I$ が出ます。

多項式の場合と一致しました。積分の定義は、これまでの定め方を含んでいます^[4]。

例：指数関数のスペクトル

$T=\mathrm{diag}(0,i\pi )$ とします。$e^T=\mathrm{diag}(1,e^{i\pi })=\mathrm{diag}(1,-1)$ です。

スペクトルは $\{1,-1\}$ になりました。もとのスペクトル $\{0,i\pi \}$ を指数関数で送った集合と同じです。

$$\sigma (e^T)=e^{\sigma (T)}$$

正則関数の場合でもスペクトル写像定理が成り立ちます^[1,2]。証明の筋は多項式のときと同じで、$f(z)-f(\lambda )$ を $z-\lambda$ でくくります^[4]。

例：級数では届かない対数

$T=\mathrm{diag}(2,3)$ で対数を考えます。$\log$ の級数は $\log (I+S)=S-\frac{S^2}{2}+\dots$ の形です。

$S=T-I=\mathrm{diag}(1,2)$ なので $\Vert S\Vert =2$。収束半径が $1$ なので、この級数は使えません。

積分の定義なら問題ありません。$\sigma (T)=\{2,3\}$ は原点から離れているので、負の実軸を避けて囲む曲線がとれます。

出てくる答えは $\log T=\mathrm{diag}(\log 2,\log 3)\approx \mathrm{diag}(0.693,1.099)$ です。

級数の収束半径は $T$ のノルムで決まりますが、積分の定義はスペクトルの位置だけを見ます。ノルムが大きくても、スペクトルが原点から離れていれば作れる^[4]。

連続関数まで広げる

正則という条件も落とせます。ただし作用素の側に条件が要る。

$a$ を $C^{\ast }$ 代数の正規元とすると、$C(\sigma (a))$ から $a$ の生成する部分代数への等長 $\ast$ 同型があります^[3]。

連続関数 $f$ に対して $f(a)$ が定まり、ノルムも保たれます。

$$\Vert f(a)\Vert =\underset{\lambda \in \sigma (a)}{\max }|f(\lambda )|$$

作り方は近似です。$\sigma (a)$ はコンパクトなので、連続関数は多項式で一様に近づけられます。その多項式を代入した列が収束する。

例：平方根を作る

$T$ を正の作用素とします。スペクトルは $[0,\infty )$ に含まれます。

$f(t)=\sqrt{t}$ は $\sigma (T)$ の上で連続なので、連続関数カルキュラスが使えます。

$f(t{)}^2=t$ なので、準同型性から $f(T{)}^2=T$ です。平方根が作れました。

スペクトルは $\sigma (\sqrt{T})=\sqrt{\sigma (T)}$。もとのスペクトルの平方根が並びます^[3]。

可逆かどうかが読める

スペクトル写像定理の使い道の $1$ つが、可逆性の判定です。

$f(T)$ が可逆であることと、$0\notin \sigma (f(T))=f(\sigma (T))$ は同じこと。つまり $f$ が $\sigma (T)$ の上で $0$ にならない、という条件になります^[3]。

スペクトル半径も同じ形で出ます。$r(f(T))=\underset{\lambda \in \sigma (T)}{\max }|f(\lambda )|$ です。

作用素の言葉が、スペクトルという集合の上の関数の言葉に翻訳される。ここが関数カルキュラスの効きどころになります^[1]。

多項式の場合に戻って、スペクトルの動きを追ってみます。

まちがえやすいところ

作用素に関数を入れる操作は、スペクトルという集合の上で関数を動かす操作に置きかわります。行列の対角化がしていたことが、そのまま無限次元へ延びている。

参考