作用素を 7 つ並べてスペクトルを全部求める

有限次元ならスペクトルは固有値の集合である。無限次元では、固有値でないのにスペクトルに入る点が現れる^[1]。

分け方は $3$ つ。$A-\lambda I$ が単射でなければ点スペクトル、単射で像が稠密なら連続スペクトル、像が稠密でなければ剰余スペクトルである^[1]。

作用素を $7$ つとり、$3$ つの部分を全部求める。手を動かす順に並べた。

判定の手順

どの作用素でも見る順番は同じである。

像が稠密かどうかは、直交補空間を見ると早い。${\overline{\mathrm{ran}(A-\lambda )}}^{\perp }=\ker (A^{\ast }-\overline{\lambda })$ である。

随伴の固有値が見つかれば、その共役が剰余スペクトルの候補になる。

問 1：対角作用素

${\ell }^2$ で $D{e}_n=\frac{1}{n}{e}_n$ とする。基底の向きごとに $\frac{1}{n}$ 倍する作用素である。

固有値はすぐ出る。$D{e}_n=\frac{1}{n}{e}_n$ なので $\frac{1}{n}$ が固有値になる。

$${\sigma }_p(D)=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \right\}$$

$\lambda =0$ はどうか。$Dx=0$ から $\frac{x_n}{n}=0$、つまり $x=0$ なので固有値ではない。

それでも $0$ はスペクトルに入る。$D^{-1}$ は $e_n$ を $n{e}_n$ へ送る非有界な写像になるためである。

像は稠密である。有限個の成分だけが $0$ でない列はすべて像に入り、そういう列は ${\ell }^2$ で稠密になる。

よって $0$ は連続スペクトルに属する。スペクトル全体は固有値の集合にその極限を足したものになる。

問 2：掛け算作用素

$L^2[0,1]$ で $(Mf)(t)=tf(t)$ とする。

固有値を探す。$tf(t)=\lambda f(t)$ が成り立つなら、$t\ne \lambda$ のところで $f(t)=0$ になる。

$1$ 点を除いて $0$ の関数は $L^2$ では $0$ と同じである。固有値はない。

$\lambda \notin [0,1]$ なら $\frac{1}{t-\lambda }$ が有界なので、逆作用素が作れる。だからスペクトルは $[0,1]$ に含まれる。

$\lambda \in [0,1]$ のときは逆が非有界になる。$\lambda$ の近くに台を集めた関数を入れると、$\Vert (M-\lambda )f\Vert$ がいくらでも小さくなるためである。

像は稠密なので、$[0,1]$ 全体が連続スペクトルになる。

逆が非有界になる様子は、台を狭めた関数で見える。

台の幅を $\epsilon$ にすると、$|t-\lambda |\le \frac{\epsilon }{2}$ の範囲でしか値を持たない。長さを $1$ にそろえたまま、掛けた結果の大きさが $\frac{\epsilon }{2}$ 以下になる。

逆作用素があれば、この比が有界におさえられるはずである。おさえられないので $\lambda$ はスペクトルに入る。

問 3：片側シフト

${\ell }^2$ で $S(x_1,x_2,\dots )=(0,x_1,x_2,\dots )$ とする。等長なので $\Vert S\Vert =1$ である^[3]。

固有値を探す。$Sx=\lambda x$ を成分で書くと $0=\lambda x_1$、$x_1=\lambda x_2$、$x_2=\lambda x_3$ と続く。

$\lambda \ne 0$ なら $x_1=0$、そこから順に全部 $0$ になる。$\lambda =0$ でも $x=0$ である。固有値はない^[3]。

$${\sigma }_p(S)=\varnothing$$

つぎに随伴を見る。$S^{\ast }(x_1,x_2,\dots )=(x_2,x_3,\dots )$ で、こちらには固有ベクトルがある。

$S^{\ast }x=\mu x$ から $x=x_1(1,\mu ,{\mu }^2,\dots )$ が出る。これが ${\ell }^2$ に入るのは $|\mu |<1$ のときである^[3]。

したがって $|\lambda |<1$ では $\ker (S^{\ast }-\overline{\lambda })\ne 0$、つまり $S-\lambda$ の像が稠密でない。開円板が剰余スペクトルになる。

$|\lambda |=1$ では像が稠密になり、連続スペクトルである。$\Vert S\Vert =1$ からスペクトルは閉単位円板に収まるので、これで全部そろった。

問 4：後ろ向きシフト

$S^{\ast }$ そのものを主役にすると、答えが入れかわる。

さきほど見たとおり、$|\mu |<1$ のすべてが固有値である。開円板が点スペクトルになる^[3]。

$${\sigma }_p(S^{\ast })=\{\mu :|\mu |<1\}$$

剰余スペクトルは空である。$S^{\ast \ast }=S$ に固有値がないので、像が稠密でなくなる $\lambda$ が現れない。

単位円は連続スペクトルになる。スペクトル全体は $S$ と同じ閉円板だが、内訳がまるで違う。

問 5：両側シフト

${\ell }^2(\mathbb{Z})$ で $U(x{)}_n=x_{n-1}$ とする。番号が両側に伸びるので、捨てられる成分がない。

$U$ はユニタリである。$U^{\ast }U=U{U}^{\ast }=I$ が成り立つ。

固有値を探す。$Ux=\lambda x$ から $x_{n-1}=\lambda x_n$、つまり $x_n={\lambda }^{-n}{x}_0$ になる。

$|\lambda |<1$ なら $n\to -\infty$ で発散し、$|\lambda |>1$ なら $n\to +\infty$ で発散する。$|\lambda |=1$ でも大きさが $|x_0|$ のままで、二乗和が収束しない。

固有値はない。ユニタリなのでスペクトルは単位円上にあり、その全体が連続スペクトルになる。

問 6：直交射影

閉部分空間 $M$ への射影 $P$ を考える。$M$ も $M^{\perp }$ も $\{0\}$ ではないとする。

$M$ の元は $Px=x$ をみたすので $1$ が固有値である。$M^{\perp }$ の元は $Px=0$ なので $0$ も固有値になる。

$\lambda$ がこの $2$ つ以外なら、逆作用素を直接書ける。

$$(P-\lambda {)}^{-1}=\frac{1}{1-\lambda }P-\frac{1}{\lambda }(I-P)$$

代入すれば確かめられる。$P$ の側で $\frac{1-\lambda }{1-\lambda }=1$、$I-P$ の側で $\frac{-\lambda }{-\lambda }=1$ になる。

スペクトルは $\{0,1\}$ で、どちらも固有値である。有限次元と同じ姿になった。

問 7：ヴォルテラ作用素

$L^2[0,1]$ で $(Vf)(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ とする。

固有値を探す。$Vf=\lambda f$ で $\lambda \ne 0$ なら、右辺は微分できるので $f$ も微分できる。両辺を微分すると $f=\lambda f^{\prime }$ になる。

解は $f(x)=c{e}^{x/\lambda }$ である。ところが $Vf(0)=0$ なので $f(0)=0$、つまり $c=0$ になる。

$\lambda =0$ も固有値ではない。${\int }_0^{x}f=0$ がすべての $x$ で成り立つなら $f=0$ である。

スペクトルは $\{0\}$ だけになる^[2]。像は絶対連続で $0$ から始まる関数の全体で、$L^2$ で稠密なので $0$ は連続スペクトルである。

表から読めること

$7$ つを見比べると、いくつかの型が見えてくる。

自己共役やユニタリな作用素には剰余スペクトルがない。正規な作用素では、像が稠密でなくなる場面が起きないためである^[4]。

剰余スペクトルが出たのは片側シフトだけだった。等長でも全射でない、という無限次元らしい形が原因になっている。

固有値が $1$ つもない例が $4$ つある。有限次元の感覚で固有値だけを探すと、スペクトルをとりこぼす。

内訳の判定を、いちばん紛らわしい場合でおさらいする。

まちがえやすいところ

固有値を求めてから、像が稠密かどうかを見る。順番を守れば、$7$ つとも同じ手つきで片づく。

参考