切除定理｜奥をくり抜いても相対ホモロジーは変わらない

相対ホモロジー $H_{n} (X, A)$ は、 $A$ の奥深くで何が起きているかを見ていません。奥のほうをくり抜いても値が変わらない、と述べたものが切除定理です^[1]。

くり抜いてよい範囲には条件が付きます。 $U \subseteq A$ の閉包が $A$ の内部に入っていること。

以下では主張の 2 つの形を並べ、重心細分による証明の筋をたどり、局所ホモロジーや次元不変性への使い方まで見ていきます。

主張

$U \subseteq A \subseteq X$ とします。 $U$ の閉包が $A$ の内部に含まれるなら、包含が誘導する写像が同型になります^[1,3]。

$H_{n} (X ∖ U, A ∖ U) ≅ H_{n} (X, A)$

$U$ を抜いても対のホモロジーは変わりません。条件が言っているのは、 $A$ の縁に触れないところだけを抜いたという一点です。

閉包と内部の条件を落とすと成り立ちません。あとで反例を見ます。

内部で覆う形の言いかえ

同じ主張を、被覆の言葉で書き直せます。 $A$ と $B$ を $X$ の部分空間とし、内部どうしで $X$ が覆えるとします。

$X = int A \cup int B$

このとき包含 $(B, A \cap B) \to (X, A)$ が同型を誘導します。

$U = X ∖ B$ と置けば、もとの形に戻ります。使う場面によってどちらかが書きやすい、という関係です。

例: 球面を 2 つの半球で覆う

$X = S^{n}$ とし、 $A$ を赤道より少し下まで広げた下半球、 $B$ を少し上まで広げた上半球とします。内部で $S^{n}$ が覆えています。

$A \cap B$ は赤道のまわりの帯で、 $S^{n - 1}$ へ変形レトラクトします。 $B$ は円板と同じく可縮です。

$H_{k} (S^{n}, A) ≅ H_{k} (B, A \cap B) ≅ H_{k} (D^{n}, S^{n - 1})$

左辺は $A$ が可縮なので $\tilde{H}_{k} (S^{n})$ 、右辺は対の長完全列から $\tilde{H}_{k - 1} (S^{n - 1})$ です。

$\tilde{H}_{k} (S^{n}) ≅ \tilde{H}_{k - 1} (S^{n - 1})$

球面の次元を $1$ つ下げる漸化式が、切除だけで出ました。少し広げるという操作が、閉包と内部の条件をみたすための工夫です。

証明の筋: 小さい単体でサイクルを書き直す

証明の中心は、鎖を細かく刻む操作です。 $U = {A, B}$ のような被覆をとり、各単体の像が $int A$ か $int B$ のどちらかに収まるようにします。

そういう鎖だけを集めた部分複体を $C_{∙}^{U} (X)$ と書きます。示すべきは、包含がホモロジーの同型を誘導すること。

道具は重心細分です。単体を重心で刻んでいくと、小さい単体の和に書き直せます^[2]。

$n$ 次元の単体を重心細分すると、部品の直径は元の $n / (n + 1)$ 倍以下になります^[2]。

くり返せば直径はいくらでも小さくなります。単体はコンパクトなので、有限回で目標に届く。

細分しても類は変わらない

細かく刻む操作は、鎖のレベルでは別のものを作ります。それでもホモロジー類が動かない理由が要ります。

細分作用素 $S : C_{∙} (X) \to C_{∙} (X)$ は鎖写像で、恒等写像と鎖ホモトピックです。つまり $T$ があって次が成り立ちます。

$S - id = \partial T + T \partial$

サイクルに当てれば差は境界なので、類は変わりません。細分は「同じ類の別の代表を作る操作」だと分かります。

回数を場所ごとに変える必要があるため、実際には $T$ を丁寧に組み立てます。ここが証明でいちばん手間のかかるところです。

相対の側へ落とす

$C_{∙}^{U} (X) \to C_{∙} (X)$ が同型を誘導すると、相対でも同じことが言えます。

$U$ を抜いた側の鎖は、 $int B$ に収まる単体だけを使ったものです。 $A$ の鎖で割ると、 $U$ に収まる鎖の商とちょうど一致します。

したがって $H_{n} (X ∖ U, A ∖ U) \to H_{n} (X, A)$ は同型です。細分で寄せる、割って落とす。この 2 段が証明の骨組みになります。

例: 局所ホモロジー

点 $x \in X$ をとり、対 $(X, X ∖ {x})$ を考えます。この相対ホモロジーを局所ホモロジーといいます。

$x$ のまわりの開近傍 $V$ をとると、 $X ∖ V$ の閉包は $X ∖ {x}$ の内部に入ります。切除で外側を全部抜けます。

$H_{n} (X, X ∖ {x}) ≅ H_{n} (V, V ∖ {x})$

名前のとおり、値は $x$ の近くだけで決まります。空間の遠くをどう作り替えても影響しません。

例: ユークリッド空間の局所ホモロジー

$V = R^{n}$ 、 $x = 0$ とします。 $R^{n} ∖ {0}$ は $S^{n - 1}$ へ変形レトラクトし、 $R^{n}$ は可縮です。

対の長完全列から次が出ます。

$H_{k} (R^{n}, R^{n} ∖ {0}) ≅ \tilde{H}_{k - 1} (S^{n - 1}) ≅ {Z 0 (k = n) (k \neq = n)$

$Z$ が現れる次数が、そのまま次元を教えています。

例: 次元不変性

$R^{n}$ と $R^{m}$ が同相なら、 $0$ のまわりの局所ホモロジーも同じ形になります。

前の例から、 $R^{n}$ では $n$ 次に $Z$ が立ち、 $R^{m}$ では $m$ 次に立ちます。同じ群の列が $2$ 通りの次数を持つことはできません。

$n = m$

$n \neq = m$ なら同相ではない、という結論です^[1]。座標の個数が位相だけで決まる、と言い直せます。

$n$ 次元多様体でも同じ議論が通ります。各点の局所ホモロジーが $n$ 次で $Z$ になるので、次元は多様体の位相から決まります^[4]。

例: 境界の点を見分ける

境界のある多様体では、内部の点と境界の点で局所ホモロジーが違います。

内部の点は $R^{n}$ と同じ近傍を持つので、 $n$ 次に $Z$ が立ちます。境界の点の近傍は半空間 $H^{n} = {x_{n} \geq 0}$ です。

半空間は可縮で、 $1$ 点を抜いても可縮のままです。よって対のホモロジーが全部消えます。

$H_{k} (H^{n}, H^{n} ∖ {0}) = 0 (すべての k)$

$Z$ が立つか立たないかで、境界の点が判定できました。境界という概念が、座標のとり方によらずに定まる理由がこれです。

例: 良い対で商空間と一致する

$(X, A)$ を良い対とし、 $A$ を変形レトラクトに含む近傍 $V$ をとります。

まず $(X, A) \to (X, V)$ が同型を誘導します。 $V$ が $A$ へ変形レトラクトするので、 $5$ つの補題が使えるためです。

次に $A$ を切除します。 $V$ の中の $A$ を抜くと $(X ∖ A, V ∖ A)$ が現れ、これは商の側の対応物と一致します。

$H_{n} (X, A) ≅ H_{n} (X / A, A / A) ≅ \tilde{H}_{n} (X / A)$

商をつぶす操作と相対をとる操作が一致する、という定理の証明が、切除に支えられています。

例: CW 複体の骨格

$X$ を $C W$ 複体とし、 $n$ 骨格の対 $(X^{n}, X^{n - 1})$ を見ます。

$n$ 胞体の中心たちを $P$ と置き、 $X^{n - 1}$ の近傍から $P$ の外側を切除します。残るのは各胞体の中身だけです。

$H_{k} (X^{n}, X^{n - 1}) ≅ α ⨁ H_{k} (D_{α}^{n}, \partial D_{α}^{n})$

右辺は $k = n$ のとき胞体の個数ぶんの $Z$ 、それ以外は $0$ でした。胞体ホモロジーの出発点がここにあります。

例: 切除が使えない場合

条件を落とすと壊れます。 $X = [0, 1]$ 、 $A = (0, 1]$ 、 $U = A$ としましょう。

$U$ の閉包は $[0, 1]$ 、 $A$ の内部は $(0, 1]$ です。閉包が内部にはみ出しています。

$X$ も $A$ も弧状連結で可縮なので、対のホモロジーはすべて $0$ です。

いっぽう $X ∖ U = {0}$ 、 $A ∖ U = \emptyset$ なので、 $0$ 次に $Z$ が立ちます。

$H_{0} (X ∖ U, A ∖ U) ≅ Z \neq = 0 = H_{0} (X, A)$

はみ出した $1$ 点ぶんの差が、そのまま食い違いになりました。条件は飾りではありません。

Mayer-Vietoris との関係

切除は、公理の中では他ととり替えのきく位置にいます。ほかのアイレンベルグ・スティーンロッドの公理を認めると、切除と Mayer-Vietoris 完全列は同値です^[3]。

導き方も短く済みます。 $X = int A \cup int B$ のとき、三つ組の長完全列に切除を差し込むと完全列が出ます。

計算の現場では Mayer-Vietoris のほうをよく使います。切除は、その完全列が存在する理由の側にあります。

例: 懸垂で次数が 1 つ上がる

空間 $X$ の懸垂 $S X$ は、 $X \times [0, 1]$ の上端と下端をそれぞれ $1$ 点につぶした空間です。

上の円錐 $C_{+}$ と下の円錐 $C_{-}$ で覆うと、どちらも可縮で、交わりは $X$ へ変形レトラクトします。

切除と対の長完全列を組み合わせると、次数が $1$ つずれます^[1]。

$\tilde{H}_{n} (X) ≅ \tilde{H}_{n + 1} (S X)$

$S^{n}$ の懸垂が $S^{n + 1}$ なので、球面の漸化式はこの定理の特別な場合です。空間を吊り上げるとホモロジーがそのまま $1$ つ上へずれる、という規則になります。

参考文献

Excision theorem - Wikipedia（英語）

Barycentric subdivision - Wikipedia（英語）

Ausschneidungssatz - Wikipedia（ドイツ語）

Théorème d'excision - Wikipédia（フランス語）

閉包が内部に収まる範囲なら、$A$ の奥を抜いても $H_n(X, A)$ は動きません。閉包と内部の条件、内部で覆う言いかえの 2 つの形を並べ、重心細分で単体を小さくする証明の筋をたどる。半球で球面の漸化式を出し、局所ホモロジーから次元不変性と境界点の判定を導き、条件を外すと $1$ 点ぶん食い違う反例まで見ます。良い対と商空間、$CW$ 複体の骨格、懸垂定理も切除の応用。