切除定理｜奥をくり抜いても相対ホモロジーは変わらない

相対ホモロジー $H_n(X,A)$ は、$A$ の奥深くで何が起きているかを見ていません。奥のほうをくり抜いても値が変わらない、と述べたものが切除定理です^[1]。

くり抜いてよい範囲には条件が付きます。$U\subseteq A$ の閉包が $A$ の内部に入っていること。

以下では主張の 2 つの形を並べ、重心細分による証明の筋をたどり、局所ホモロジーや次元不変性への使い方まで見ていきます。

主張

$U\subseteq A\subseteq X$ とします。$U$ の閉包が $A$ の内部に含まれるなら、包含が誘導する写像が同型になります^[1,3]。

$$H_n(X\setminus U,A\setminus U)\stackrel{\cong }{\to }{H}_n(X,A)$$

$U$ を抜いても対のホモロジーは変わりません。条件が言っているのは、$A$ の縁に触れないところだけを抜いたという一点です。

閉包と内部の条件を落とすと成り立ちません。あとで反例を見ます。

内部で覆う形の言いかえ

同じ主張を、被覆の言葉で書き直せます。$A$ と $B$ を $X$ の部分空間とし、内部どうしで $X$ が覆えるとします。

$$X=\mathrm{int}A\cup \mathrm{int}B$$

このとき包含 $(B,A\cap B)\to (X,A)$ が同型を誘導します。

$U=X\setminus B$ と置けば、もとの形に戻ります。使う場面によってどちらかが書きやすい、という関係です。

例: 球面を 2 つの半球で覆う

$X=S^n$ とし、$A$ を赤道より少し下まで広げた下半球、$B$ を少し上まで広げた上半球とします。内部で $S^n$ が覆えています。

$A\cap B$ は赤道のまわりの帯で、$S^{n-1}$ へ変形レトラクトします。$B$ は円板と同じく可縮です。

$$H_k(S^n,A)\cong H_k(B,A\cap B)\cong H_k(D^n,S^{n-1})$$

左辺は $A$ が可縮なので ${\tilde{H}}_k(S^n)$、右辺は対の長完全列から ${\tilde{H}}_{k-1}(S^{n-1})$ です。

$${\tilde{H}}_k(S^n)\cong {\tilde{H}}_{k-1}(S^{n-1})$$

球面の次元を $1$ つ下げる漸化式が、切除だけで出ました。少し広げるという操作が、閉包と内部の条件をみたすための工夫です。

証明の筋: 小さい単体でサイクルを書き直す

証明の中心は、鎖を細かく刻む操作です。$\mathcal{U}=\{A,B\}$ のような被覆をとり、各単体の像が $\mathrm{int}A$ か $\mathrm{int}B$ のどちらかに収まるようにします。

そういう鎖だけを集めた部分複体を $C_{\bullet }^{\mathcal{U}}(X)$ と書きます。示すべきは、包含がホモロジーの同型を誘導すること。

道具は重心細分です。単体を重心で刻んでいくと、小さい単体の和に書き直せます^[2]。

$n$ 次元の単体を重心細分すると、部品の直径は元の $n/(n+1)$ 倍以下になります^[2]。

くり返せば直径はいくらでも小さくなります。単体はコンパクトなので、有限回で目標に届く。

細分しても類は変わらない

細かく刻む操作は、鎖のレベルでは別のものを作ります。それでもホモロジー類が動かない理由が要ります。

細分作用素 $S:C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)$ は鎖写像で、恒等写像と鎖ホモトピックです。つまり $T$ があって次が成り立ちます。

$$S-\mathrm{id}=\partial T+T\partial$$

サイクルに当てれば差は境界なので、類は変わりません。細分は「同じ類の別の代表を作る操作」だと分かります。

回数を場所ごとに変える必要があるため、実際には $T$ を丁寧に組み立てます。ここが証明でいちばん手間のかかるところです。

相対の側へ落とす

$C_{\bullet }^{\mathcal{U}}(X)\to C_{\bullet }(X)$ が同型を誘導すると、相対でも同じことが言えます。

$U$ を抜いた側の鎖は、$\mathrm{int}B$ に収まる単体だけを使ったものです。$A$ の鎖で割ると、$\mathcal{U}$ に収まる鎖の商とちょうど一致します。

したがって $H_n(X\setminus U,A\setminus U)\to H_n(X,A)$ は同型です。細分で寄せる、割って落とす。この 2 段が証明の骨組みになります。

例: 局所ホモロジー

点 $x\in X$ をとり、対 $(X,X\setminus \{x\})$ を考えます。この相対ホモロジーを局所ホモロジーといいます。

$x$ のまわりの開近傍 $V$ をとると、$X\setminus V$ の閉包は $X\setminus \{x\}$ の内部に入ります。切除で外側を全部抜けます。

$$H_n(X,X\setminus \{x\})\cong H_n(V,V\setminus \{x\})$$

名前のとおり、値は $x$ の近くだけで決まります。空間の遠くをどう作り替えても影響しません。

例: ユークリッド空間の局所ホモロジー

$V={\mathbb{R}}^n$、$x=0$ とします。${\mathbb{R}}^n\setminus \{0\}$ は $S^{n-1}$ へ変形レトラクトし、${\mathbb{R}}^n$ は可縮です。

対の長完全列から次が出ます。

$$H_k({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^n\setminus \{0\})\cong {\tilde{H}}_{k-1}(S^{n-1})\cong \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (k=n)\\ 0& (k\ne n)\end{array}$$

$\mathbb{Z}$ が現れる次数が、そのまま次元を教えています。

例: 次元不変性

${\mathbb{R}}^n$ と ${\mathbb{R}}^m$ が同相なら、$0$ のまわりの局所ホモロジーも同じ形になります。

前の例から、${\mathbb{R}}^n$ では $n$ 次に $\mathbb{Z}$ が立ち、${\mathbb{R}}^m$ では $m$ 次に立ちます。同じ群の列が $2$ 通りの次数を持つことはできません。

$$n=m$$

$n\ne m$ なら同相ではない、という結論です^[1]。座標の個数が位相だけで決まる、と言い直せます。

$n$ 次元多様体でも同じ議論が通ります。各点の局所ホモロジーが $n$ 次で $\mathbb{Z}$ になるので、次元は多様体の位相から決まります^[4]。

例: 境界の点を見分ける

境界のある多様体では、内部の点と境界の点で局所ホモロジーが違います。

内部の点は ${\mathbb{R}}^n$ と同じ近傍を持つので、$n$ 次に $\mathbb{Z}$ が立ちます。境界の点の近傍は半空間 ${\mathbb{H}}^n=\{x_n\ge 0\}$ です。

半空間は可縮で、$1$ 点を抜いても可縮のままです。よって対のホモロジーが全部消えます。

$$H_k({\mathbb{H}}^n,{\mathbb{H}}^n\setminus \{0\})=0(\text{すべての }k)$$

$\mathbb{Z}$ が立つか立たないかで、境界の点が判定できました。境界という概念が、座標のとり方によらずに定まる理由がこれです。

例: 良い対で商空間と一致する

$(X,A)$ を良い対とし、$A$ を変形レトラクトに含む近傍 $V$ をとります。

まず $(X,A)\to (X,V)$ が同型を誘導します。$V$ が $A$ へ変形レトラクトするので、$5$ つの補題が使えるためです。

次に $A$ を切除します。$V$ の中の $A$ を抜くと $(X\setminus A,V\setminus A)$ が現れ、これは商の側の対応物と一致します。

$$H_n(X,A)\cong H_n(X/A,A/A)\cong {\tilde{H}}_n(X/A)$$

商をつぶす操作と相対をとる操作が一致する、という定理の証明が、切除に支えられています。

例: CW 複体の骨格

$X$ を $CW$ 複体とし、$n$ 骨格の対 $(X^n,X^{n-1})$ を見ます。

$n$ 胞体の中心たちを $P$ と置き、$X^{n-1}$ の近傍から $P$ の外側を切除します。残るのは各胞体の中身だけです。

$$H_k(X^n,X^{n-1})\cong \underset{\alpha }{⨁}{H}_k(D_{\alpha }^n,\partial D_{\alpha }^n)$$

右辺は $k=n$ のとき胞体の個数ぶんの $\mathbb{Z}$、それ以外は $0$ でした。胞体ホモロジーの出発点がここにあります。

例: 切除が使えない場合

条件を落とすと壊れます。$X=[0,1]$、$A=(0,1]$、$U=A$ としましょう。

$U$ の閉包は $[0,1]$、$A$ の内部は $(0,1]$ です。閉包が内部にはみ出しています。

$X$ も $A$ も弧状連結で可縮なので、対のホモロジーはすべて $0$ です。

いっぽう $X\setminus U=\{0\}$、$A\setminus U=\varnothing$ なので、$0$ 次に $\mathbb{Z}$ が立ちます。

$$H_0(X\setminus U,A\setminus U)\cong \mathbb{Z}\ne 0=H_0(X,A)$$

はみ出した $1$ 点ぶんの差が、そのまま食い違いになりました。条件は飾りではありません。

Mayer-Vietoris との関係

切除は、公理の中では他ととり替えのきく位置にいます。ほかのアイレンベルグ・スティーンロッドの公理を認めると、切除と Mayer-Vietoris 完全列は同値です^[3]。

導き方も短く済みます。$X=\mathrm{int}A\cup \mathrm{int}B$ のとき、三つ組の長完全列に切除を差し込むと完全列が出ます。

計算の現場では Mayer-Vietoris のほうをよく使います。切除は、その完全列が存在する理由の側にあります。

例: 懸垂で次数が 1 つ上がる

空間 $X$ の懸垂 $SX$ は、$X\times [0,1]$ の上端と下端をそれぞれ $1$ 点につぶした空間です。

上の円錐 $C_{+}$ と下の円錐 $C_{-}$ で覆うと、どちらも可縮で、交わりは $X$ へ変形レトラクトします。

切除と対の長完全列を組み合わせると、次数が $1$ つずれます^[1]。

$${\tilde{H}}_n(X)\cong {\tilde{H}}_{n+1}(SX)$$

$S^n$ の懸垂が $S^{n+1}$ なので、球面の漸化式はこの定理の特別な場合です。空間を吊り上げるとホモロジーがそのまま $1$ つ上へずれる、という規則になります。

参考文献