連続写像を有限個の頂点で捕まえる（三角形分割と単体近似定理）

連続写像は自由すぎて、そのままでは数えられません。三角形の頂点を頂点へ送る写像なら有限個で、組み合わせの問題に落ちます。

細かく刻めば、どんな連続写像もそういう写像で置き換えられる。これが単体近似定理です^[1]。ブラウワーが 1910 年ごろ、単体ホモロジーの位相不変性を確かめるために用意した道具でした^[4]。

以下では三角形分割の定義と例から始め、単体写像と星、近似定理の中身と証明の筋、そして三角形分割ができない空間まで扱います。

三角形分割

単体複体 $K$ とは、単体の集まりで、面もすべて含み、$2$ つの単体の交わりが両方の面になっているものです^[3]。

$K$ に属する単体を全部あわせた空間を、$K$ の実現といい $|K|$ と書きます。

位相空間 $X$ の三角形分割とは、同相写像 $t:|K|\to X$ のこと^[2]。三角形の貼り合わせで $X$ を作り直したことになります。

有限複体なら $|K|$ はコンパクトです。頂点と辺と面の一覧という有限のデータで、空間が指定できます。

例: 円周は 3 頂点から

円周を三角形分割する最少の複体は、三角形の周です。頂点 $3$ つと辺 $3$ 本。

頂点 $2$ つでは足りません。$2$ 点を $2$ 本の辺で結ぼうとすると、$2$ つの単体の交わりが $2$ 点になり、面という条件を破ります^[3]。

オイラー標数を確かめます。$3-3=0$ で、円周の値と合っています。

例: 球面は四面体の表面

$S^2$ の分割としていちばん小さいものは、四面体の表面です。頂点 $4$、辺 $6$、面 $4$。

$$\chi =4-6+4=2$$

八面体の表面でも分割できます。頂点 $6$、辺 $12$、面 $8$ で、標数はやはり $2$ です^[3]。

同じ空間に何通りもの分割があり、頂点の個数は違うのに標数は動かない。この不変性が、あとで問題になります。

例: トーラスは 7 頂点

正方形の向かい合う辺を貼るとトーラスができます。正方形を三角形に刻めば分割が得られる、と言いたくなります。

素朴に $1$ 本の対角線で $2$ つに割ると失敗します。貼り合わせのあとで $2$ つの三角形が $3$ 辺すべてを共有してしまい、単体複体の条件を破るためです。

十分細かく刻めば通ります。最少の分割は頂点 $7$、辺 $21$、面 $14$ で、メビウスのトーラスと呼ばれます^[3]。

$$\chi =7-21+14=0$$

トーラスの標数 $0$ と合っています。

単体写像

複体 $K$ から $L$ への単体写像とは、頂点を頂点へ送る写像で、$K$ の単体の頂点が $L$ の単体の頂点へ行くもののこと。

頂点の対応が決まれば、各単体の内部は線形に延ばして決まります。全体は有限個の頂点の対応だけで書けます。

写像の自由度が有限になりました。連続写像の集まりは無限に広いのに、単体写像は数え上げられます。

頂点の星

頂点 $v$ の星 $\mathrm{St}(v)$ を、$v$ を含む単体の内部をあわせた開集合とします^[3]。

$v$ のまわりだけを見た小さな近傍です。星の集まりは $|K|$ の開被覆になります。

星が主役になるのは、単体写像を頂点の対応だけで決めたいからです。行き先の頂点を、星の条件から選びます。

単体近似の定義

連続写像 $f:|K|\to |L|$ に対し、単体写像 $s:K\to L$ が単体近似であるとは、次をみたすこと^[1]。

$$f(\mathrm{St}(v))\subseteq \mathrm{St}(s(v))(\text{K の各頂点 }v)$$

同じことを点の言葉で書けば、各点 $x$ の像 $|s|(x)$ が、$f(x)$ を含む最小の閉単体に入る、となります。

この条件があれば $f$ と $|s|$ は近く、線分で結ぶホモトピー $h_t=(1-t)f+t|s|$ が作れます。よって $f\simeq |s|$ です。

近似といっても、値が近いだけでなくホモトピックまで言える。ここが効きます。

単体近似定理

$K$ を有限複体とします。任意の連続写像 $f:|K|\to |L|$ に対し、ある自然数 $q$ があって、$q$ 回重心細分した $K^{(q)}$ から $L$ への単体近似が存在します^[1,4]。

行き先の $L$ はそのままで、出発側だけを細かくします。細かくするほど星が小さくなり、条件がみたしやすくなる仕組みです。

細分は出発側にだけ効きます。行き先を細かくしても条件はよくなりません。

証明の筋: ルベーグ数

$L$ の各頂点 $w$ について、開集合 $U_w=f^{-1}(\mathrm{St}(w))$ を作ります。星が $|L|$ を覆うので、$U_w$ たちは $|K|$ の開被覆です^[1]。

$|K|$ はコンパクトな距離空間なので、この被覆にルベーグ数 $\delta$ がとれます。直径が $\delta$ 未満の集合は、どれか $1$ 枚に丸ごと入ります。

重心細分をくり返すと、単体の直径は $n/(n+1)$ 倍以下に縮んでいきます。$q$ を十分大きくとれば、$K^{(q)}$ の各頂点の星の直径が $\delta$ 未満になります。

そこで各頂点 $v$ に対し、$\mathrm{St}(v)\subseteq U_w$ となる $w$ を選び、$s(v)=w$ と定めます。

これが単体写像になることと、星の条件をみたすことは、選び方から確かめられます。証明は細分とルベーグ数の $2$ 本で立っています。

例: 低い次元へは全射にならない

$k<n$ とし、$f:S^k\to S^n$ をとります。単体近似 $s$ を選ぶと、$|s|$ の像は $k$ 次元以下の単体の和です。

$S^n$ の分割には $n$ 単体が含まれ、その内部は $|s|$ の像に入りません。よって $|s|$ は全射になりません。

$1$ 点を落とした球面は可縮なので、$|s|$ は定値写像にホモトピックです。$f\simeq |s|$ とあわせて次が出ます。

$${\pi }_k(S^n)=0(k<n)$$

球面の低次のホモトピー群が消えることが、次元の数え上げだけで示せました^[1]。

例: ホモトピー群が可算になる

有限複体 $K$ から $L$ への単体写像は有限個です。細分の回数 $q$ を動かしても、全部あわせて可算個。

任意の連続写像はそのどれかにホモトピックなので、ホモトピー類の集合は可算です。

有限 $CW$ 複体のホモトピー群が可算群になる、という基本的な事実が出ます。連続写像の集合そのものは非可算なのに、ホモトピーで割ると可算に落ちる。

例: 単体ホモロジーの位相不変性

単体ホモロジーは分割 $K$ から定義されます。同じ空間に別の分割 $K^{\prime }$ を入れたとき、値が変わっては困ります。

同相写像 $|K|\to |K^{\prime }|$ に単体近似をとると、単体写像が誘導する準同型が得られます。逆向きにも同じことをして、合成が恒等写像にホモトピックだと確かめます。

こうして分割によらないことが言えます。同相な複体は同じホモロジー群を持つ^[4]。

さらに、連続写像に対しても準同型が定まります。単体写像でない写像を扱えるようになり、単体ホモロジーが関手になります。

どの空間が三角形分割できるか

滑らかな多様体はいつでも三角形分割できます^[2]。次元 $3$ 以下の位相多様体も、例外なく分割できます。

$4$ 次元から様子が変わります。フリードマンの $E_8$ 多様体は、三角形分割を持たない $4$ 次元位相多様体です。

高い次元にも分割できない多様体があります。位相多様体という枠が、組み合わせの言葉に収まりきらない。

計算の道具として使うぶんには、扱う空間がほぼ $CW$ 複体なので困りません。困るのは、多様体の分類を組み合わせで進めたいときです。

主予想とその否定

分割が $2$ つあったとき、共通の細分がとれるだろうか。これを主予想といいます^[2]。

正しければ、頂点の個数から作った量がそのまま位相不変量になります。分割の選び方で答えが変わる心配がなくなる。

ミルナーが反例を作りました。レンズ空間から、同相なのに組み合わせとして別ものになる $2$ つの複体が得られます。

見分けるのはライデマイスター捩れという量です。共通の細分があれば一致するはずの値が、食い違っています。

組み合わせの構造は、空間そのものより細かい情報を持っている。単体近似定理が保証したのはホモロジーまでで、その先までは届きません。

参考文献