トレースの交代和が 0 でなければ、動かない点がある

写像が自分自身を動かすとき、動かない点があるかどうか。答えを整数 $1$ つで判定します^[1]。

その整数がレフシェッツ数です。ホモロジーに誘導される線形写像のトレースを、符号を交互に変えて足したもの。

以下では定義から始め、ブラウワーの定理を系として導き、球面・射影空間・トーラスで計算を重ね、不動点指数まで扱います。

レフシェッツ数

$X$ をコンパクトで三角形分割可能な空間、$f:X\to X$ を連続写像とします^[3]。

有理係数のホモロジーは有限次元のベクトル空間です。$f$ が誘導する線形写像のトレースをとります。

$${\Lambda }_f=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\mathrm{tr}(f_{\ast }:H_k(X;\mathbb{Q})\to H_k(X;\mathbb{Q}))$$

有限個の項しかないので、和は定まります。ホモトピックな写像は同じ準同型を誘導するため、${\Lambda }_f$ はホモトピー不変です^[2]。

主張

${\Lambda }_f\ne 0$ なら、$f$ は不動点を持ちます^[1]。

ホモトピー不変なので、$f$ にホモトピックな写像もすべて不動点を持ちます。$1$ つの計算で、写像の族全体について言える。

逆は成り立ちません。奇数次元球面の恒等写像は ${\Lambda }_f=0$ ですが、すべての点が不動点です。

${\Lambda }_f=0$ からは何も言えない、という片側だけの判定になります。

例: 恒等写像

$f=\mathrm{id}$ とすると、誘導される写像も恒等写像です。トレースは次元、つまりベッチ数になります。

$${\Lambda }_{\mathrm{id}}=\sum _k(-1{)}^k{b}_k=\chi (X)$$

レフシェッツ数はオイラー標数の一般化でした^[2]。$\chi (X)\ne 0$ なら、恒等写像にホモトピックな写像はすべて不動点を持ちます。

$S^2$ は $\chi =2$ なので、恒等写像に近い写像には必ず不動点があります。$S^1$ は $\chi =0$ で、回転がその反例。

例: ブラウワーの不動点定理

$X=D^n$ とします。円板は可縮なので、$H_0=\mathbb{Q}$ だけが残り、ほかは $0$ です^[3]。

$H_0$ に誘導される写像は恒等写像で、トレースは $1$。

$${\Lambda }_f=1\ne 0$$

どんな連続写像 $f:D^n\to D^n$ も不動点を持ちます。ブラウワーの定理が、レフシェッツ数の計算 $1$ 行で出ました。

可縮な空間ならどれでも同じです。有理ホモロジーが $1$ 点と同じ空間は、すべて不動点性質を持ちます。

例: 球面の自己写像

$X=S^n$ とします。$H_0=\mathbb{Q}$ でトレースは $1$、$H_n=\mathbb{Q}$ でトレースは写像度です。

$${\Lambda }_f=1+(-1{)}^n\mathrm{deg}(f)$$

$n$ が偶数なら ${\Lambda }_f=1+\mathrm{deg}(f)$ です。$\mathrm{deg}(f)\ne -1$ なら不動点があります。

$n$ が奇数なら ${\Lambda }_f=1-\mathrm{deg}(f)$ で、$\mathrm{deg}(f)\ne 1$ なら不動点があります。

対蹠写像で確かめましょう。次数は $(-1{)}^{n+1}$ なので、代入すると ${\Lambda }_f=1-1=0$ です。実際に不動点はありません。

例: 複素射影空間

$X=\mathbb{C}{P}^n$ とします。ホモロジーは偶数次に $\mathbb{Q}$ が $1$ つずつ、$0$ 次から $2n$ 次まで並びます。

コホモロジー環が $1$ つの $2$ 次の元で生成されるため、$f$ の作用は $2$ 次での倍率 $d$ で決まります。$2k$ 次では $d^k$ 倍。

$${\Lambda }_f=\sum _{k=0}^n{d}^k$$

$d=1$ なら $n+1$ で、$0$ ではありません。$d\ne 1$ なら等比数列の和として書けます。

$${\Lambda }_f=\frac{d^{n+1}-1}{d-1}$$

これが $0$ になるのは $d^{n+1}=1$ かつ $d\ne 1$ のとき。整数の範囲では $d=-1$ で $n+1$ が偶数、つまり $n$ が奇数の場合だけです。

$n$ が偶数なら ${\Lambda }_f$ はいつも $0$ ではありません。$\mathbb{C}{P}^2$ や $\mathbb{C}{P}^4$ の自己写像は、どれも必ず不動点を持ちます。

例: トーラス

$X=T^n$ とします。$H_1(T^n;\mathbb{Q})\cong {\mathbb{Q}}^n$ で、$f$ の作用を行列 $A$ で表します。

$H_k$ は $H_1$ の $k$ 次外積なので、誘導される写像は ${\Lambda }^{k}A$ です。トレースの交代和は行列式に化けます。

$${\Lambda }_f=\sum _k(-1{)}^k\mathrm{tr}({\Lambda }^{k}A)=\det (I-A)$$

判定条件は $\det (I-A)\ne 0$、つまり $A$ が固有値 $1$ を持たないこと。

平行移動では $A=I$ なので $\det (I-A)=0$ です。実際、平行移動に不動点はありません。

例: 猫写像

$T^2$ の上で、行列を次のようにとります。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

行列式が $1$ なのでトーラスの自己同相を定めます。レフシェッツ数を計算しましょう。

$$\det (I-A)=\det \left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 0\end{array}\right)=-1$$

$0$ ではないので不動点があります。原点がそれにあたります。

同じ写像を $m$ 回合成すると ${\Lambda }_{f^m}=\det (I-A^m)$ で、これは周期 $m$ の点の個数を数えています。力学系の言葉に翻訳される場面です。

不動点指数

不動点が有限個なら、より細かい主張が成り立ちます^[4]。

各不動点 $x$ のまわりに小さな球体をとり、$\mathrm{id}-f$ が誘導する境界球面の写像度を考えます。これを不動点指数 $\mathrm{ind}(f,x)$ といいます。

$$\sum _{x\in \mathrm{Fix}(f)}\mathrm{ind}(f,x)={\Lambda }_f$$

レフシェッツ・ホップの定理です。個数ではなく符号つきの重みで数えると、ちょうどレフシェッツ数になる。

${\Lambda }_f\ne 0$ なら和が $0$ でないので、不動点が少なくとも $1$ つある。もとの定理はこの式の系として出ます。

指数が $\pm 1$ になるのは、不動点が退化していない場合です。接写像が固有値 $1$ を持たないときにあたります。

三角形分割による証明の筋

証明は単体近似から始まります。$f$ を細分した複体の上の単体写像で置き換え、鎖の上でトレースを計算します。

ここでホップのトレース公式が効きます。鎖複体のレベルのトレースの交代和が、ホモロジーのレベルのトレースの交代和に等しい、という代数の定理です。

$f$ に不動点がないとすると、細分を十分細かくとれば、どの単体もそれ自身へ写りません。すると鎖のレベルの行列は対角成分がすべて $0$ になります。

トレースはすべて $0$ で、和も $0$。よって ${\Lambda }_f=0$ です。対偶をとれば定理になります。

例: 有限群の作用

コンパクトな空間に有限群 $G$ が作用しているとします。$g\in G$ の作用を $f$ とすると、不動点集合は $g$ で動かない点の集合。

${\Lambda }_f\ne 0$ ならその集合は空でありません。群の元ごとにレフシェッツ数を計算すれば、固定点の有無が読めます。

$\chi (X)\ne 0$ の空間に、自由な作用、つまり固定点のない作用を入れられるかどうかも判定できます。恒等写像にホモトピックな元があれば、そこで $\Lambda =\chi (X)\ne 0$ となり、自由になりません。

球面 $S^{2n}$ が $\chi =2\ne 0$ なので、この形の制限が働きます。偶数次元球面に自由な作用を入れられる群が限られる、という結果の出発点です。

参考文献