トレースの交代和が 0 でなければ、動かない点がある

写像が自分自身を動かすとき、動かない点があるかどうか。答えを整数 $1$ つで判定します^[1]。

その整数がレフシェッツ数です。ホモロジーに誘導される線形写像のトレースを、符号を交互に変えて足したもの。

以下では定義から始め、ブラウワーの定理を系として導き、球面・射影空間・トーラスで計算を重ね、不動点指数まで扱います。

レフシェッツ数

$X$ をコンパクトで三角形分割可能な空間、 $f : X \to X$ を連続写像とします^[3]。

有理係数のホモロジーは有限次元のベクトル空間です。 $f$ が誘導する線形写像のトレースをとります。

$Λ_{f} = k \geq 0 \sum (- 1)^{k} tr (f_{*} : H_{k} (X; Q) \to H_{k} (X; Q))$

有限個の項しかないので、和は定まります。ホモトピックな写像は同じ準同型を誘導するため、 $Λ_{f}$ はホモトピー不変です^[2]。

主張

$Λ_{f} \neq = 0$ なら、 $f$ は不動点を持ちます^[1]。

ホモトピー不変なので、 $f$ にホモトピックな写像もすべて不動点を持ちます。 $1$ つの計算で、写像の族全体について言える。

逆は成り立ちません。奇数次元球面の恒等写像は $Λ_{f} = 0$ ですが、すべての点が不動点です。

$Λ_{f} = 0$ からは何も言えない、という片側だけの判定になります。

例: 恒等写像

$f = id$ とすると、誘導される写像も恒等写像です。トレースは次元、つまりベッチ数になります。

$Λ_{id} = k \sum (- 1)^{k} b_{k} = χ (X)$

レフシェッツ数はオイラー標数の一般化でした^[2]。 $χ (X) \neq = 0$ なら、恒等写像にホモトピックな写像はすべて不動点を持ちます。

$S^{2}$ は $χ = 2$ なので、恒等写像に近い写像には必ず不動点があります。 $S^{1}$ は $χ = 0$ で、回転がその反例。

例: ブラウワーの不動点定理

$X = D^{n}$ とします。円板は可縮なので、 $H_{0} = Q$ だけが残り、ほかは $0$ です^[3]。

$H_{0}$ に誘導される写像は恒等写像で、トレースは $1$ 。

$Λ_{f} = 1 \neq = 0$

どんな連続写像 $f : D^{n} \to D^{n}$ も不動点を持ちます。ブラウワーの定理が、レフシェッツ数の計算 $1$ 行で出ました。

可縮な空間ならどれでも同じです。有理ホモロジーが $1$ 点と同じ空間は、すべて不動点性質を持ちます。

例: 球面の自己写像

$X = S^{n}$ とします。 $H_{0} = Q$ でトレースは $1$ 、 $H_{n} = Q$ でトレースは写像度です。

$Λ_{f} = 1 + (- 1)^{n} de g (f)$

$n$ が偶数なら $Λ_{f} = 1 + de g (f)$ です。 $de g (f) \neq = - 1$ なら不動点があります。

$n$ が奇数なら $Λ_{f} = 1 - de g (f)$ で、 $de g (f) \neq = 1$ なら不動点があります。

対蹠写像で確かめましょう。次数は $(- 1)^{n + 1}$ なので、代入すると $Λ_{f} = 1 - 1 = 0$ です。実際に不動点はありません。

例: 複素射影空間

$X = C P^{n}$ とします。ホモロジーは偶数次に $Q$ が $1$ つずつ、 $0$ 次から $2 n$ 次まで並びます。

コホモロジー環が $1$ つの $2$ 次の元で生成されるため、 $f$ の作用は $2$ 次での倍率 $d$ で決まります。 $2 k$ 次では $d^{k}$ 倍。

$Λ_{f} = k = 0 \sum n d^{k}$

$d = 1$ なら $n + 1$ で、 $0$ ではありません。 $d \neq = 1$ なら等比数列の和として書けます。

$Λ_{f} = \frac{d ^{n + 1} - 1}{d - 1}$

これが $0$ になるのは $d^{n + 1} = 1$ かつ $d \neq = 1$ のとき。整数の範囲では $d = - 1$ で $n + 1$ が偶数、つまり $n$ が奇数の場合だけです。

$n$ が偶数なら $Λ_{f}$ はいつも $0$ ではありません。 $C P^{2}$ や $C P^{4}$ の自己写像は、どれも必ず不動点を持ちます。

例: トーラス

$X = T^{n}$ とします。 $H_{1} (T^{n}; Q) ≅ Q^{n}$ で、 $f$ の作用を行列 $A$ で表します。

$H_{k}$ は $H_{1}$ の $k$ 次外積なので、誘導される写像は $Λ^{k} A$ です。トレースの交代和は行列式に化けます。

$Λ_{f} = k \sum (- 1)^{k} tr (Λ^{k} A) = det (I - A)$

判定条件は $det (I - A) \neq = 0$ 、つまり $A$ が固有値 $1$ を持たないこと。

平行移動では $A = I$ なので $det (I - A) = 0$ です。実際、平行移動に不動点はありません。

例: 猫写像

$T^{2}$ の上で、行列を次のようにとります。

$A = (2111)$

行列式が $1$ なのでトーラスの自己同相を定めます。レフシェッツ数を計算しましょう。

$det (I - A) = det (- 1 - 1 - 1 0) = - 1$

$0$ ではないので不動点があります。原点がそれにあたります。

同じ写像を $m$ 回合成すると $Λ_{f^{m}} = det (I - A^{m})$ で、これは周期 $m$ の点の個数を数えています。力学系の言葉に翻訳される場面です。

不動点指数

不動点が有限個なら、より細かい主張が成り立ちます^[4]。

各不動点 $x$ のまわりに小さな球体をとり、 $id - f$ が誘導する境界球面の写像度を考えます。これを不動点指数 $ind (f, x)$ といいます。

$x \in Fix (f) \sum ind (f, x) = Λ_{f}$

レフシェッツ・ホップの定理です。個数ではなく符号つきの重みで数えると、ちょうどレフシェッツ数になる。

$Λ_{f} \neq = 0$ なら和が $0$ でないので、不動点が少なくとも $1$ つある。もとの定理はこの式の系として出ます。

指数が $\pm 1$ になるのは、不動点が退化していない場合です。接写像が固有値 $1$ を持たないときにあたります。

三角形分割による証明の筋

証明は単体近似から始まります。 $f$ を細分した複体の上の単体写像で置き換え、鎖の上でトレースを計算します。

ここでホップのトレース公式が効きます。鎖複体のレベルのトレースの交代和が、ホモロジーのレベルのトレースの交代和に等しい、という代数の定理です。

$f$ に不動点がないとすると、細分を十分細かくとれば、どの単体もそれ自身へ写りません。すると鎖のレベルの行列は対角成分がすべて $0$ になります。

トレースはすべて $0$ で、和も $0$ 。よって $Λ_{f} = 0$ です。対偶をとれば定理になります。

例: 有限群の作用

コンパクトな空間に有限群 $G$ が作用しているとします。 $g \in G$ の作用を $f$ とすると、不動点集合は $g$ で動かない点の集合。

$Λ_{f} \neq = 0$ ならその集合は空でありません。群の元ごとにレフシェッツ数を計算すれば、固定点の有無が読めます。

$χ (X) \neq = 0$ の空間に、自由な作用、つまり固定点のない作用を入れられるかどうかも判定できます。恒等写像にホモトピックな元があれば、そこで $Λ = χ (X) \neq = 0$ となり、自由になりません。

球面 $S^{2 n}$ が $χ = 2 \neq = 0$ なので、この形の制限が働きます。偶数次元球面に自由な作用を入れられる群が限られる、という結果の出発点です。

参考文献

Lefschetz fixed-point theorem - Wikipedia（英語）

Fixpunktsatz von Lefschetz - Wikipedia（ドイツ語）

Théorème du point fixe de Lefschetz - Wikipédia（フランス語）

Degree of a continuous mapping - Wikipedia（英語）

ホモロジーに誘導される線形写像のトレースを符号を交互にして足すと、不動点の有無が判定できます。恒等写像ならオイラー標数に戻り、円板では値が $1$ になってブラウワーの定理が $1$ 行で出る。球面では写像度で決まり、$\mathbb{C}P^{2m}$ の自己写像はどれも不動点を持ち、トーラスでは $\det(I-A)$ になります。不動点指数で符号つきに数え直すレフシェッツ・ホップの形と、三角形分割による証明の筋まで。