交叉を 1 つ入れ替えるだけで多項式が決まる〜アレクサンダーとジョーンズ

結び目の図式から多項式を計算し、その多項式で結び目を見分ける。$3$ 色塗り分けのような真偽の判定より、ずっと細かく分かれます。

要になるものがスケイン関係式です。$1$ つの交叉だけをとり替えた $3$ つの図式のあいだに、$1$ 本の等式を置く^[1]。

以下ではコンウェイ多項式から始め、アレクサンダー多項式との関係、ジョーンズ多項式で鏡像が分かれる様子、そして $2$ 変数版まで扱います。

スケイン関係式

$1$ 点の近くだけが違う $3$ つの図式を用意します。上を通る向きが正のものを $L_{+}$、逆を $L_{-}$、交叉をほどいてつなぎ直したものを $L_0$ とします。

コンウェイ多項式 $\nabla$ は、次の $2$ 条件で決まります^[2]。

$$\nabla (\text{ほどけた結び目})=1,\nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_0)$$

どんな図式も、交叉を有限回入れ替えればほどけます。関係式を使って交叉数を減らしていけば、いつか計算が終わる。

再帰的に値が決まる、という仕組みです。図式のとり方によらないことは、ライデマイスター移動で確かめます。

例: ホップリンク

$2$ つの円がひと絡みしたものをホップリンクといいます。交叉は $2$ つ。

片方の交叉を入れ替えると、絡みがほどけて $2$ 本の離れた円になります。つなぎ直すと $1$ 本の円です。

離れた $2$ 本の値は $0$ なので、関係式から次が出ます。

$$\nabla (\text{ホップリンク})-0=z\cdot 1=z$$

$1$ 回絡んでいることが、$z$ の $1$ 次として現れました。

例: 三葉結び目

三葉結び目の交叉を $1$ つ入れ替えると、ほどけた結び目になります。つなぎ直すとホップリンクです。

$$\nabla (\text{三葉})-1=z\cdot z=z^2$$

したがって次の値が出ます^[4]。

$$\nabla (\text{三葉})=z^2+1$$

ほどけた結び目の値 $1$ と違うので、$2$ つは別の結び目です。

アレクサンダー多項式

コンウェイ多項式に $z=t^{1/2}-t^{-1/2}$ を代入すると、アレクサンダー多項式になります^[2]。

$z^2=t-2+t^{-1}$ を使って、三葉結び目の値を書き直します。

$$\Delta (\text{三葉})=t-1+t^{-1}$$

もともとは補空間の無限巡回被覆から作られた不変量です^[2]。被覆変換をローラン多項式環の変数と見て、$1$ 次ホモロジーを加群として扱います。

スケイン関係式のほうが計算は速い。定義が幾何的で、計算が代数的、という組み合わせです。

例: 8 の字結び目

$8$ の字結び目でも同じ手順が通ります。交叉を入れ替えるとほどけ、つなぎ直すと向きの逆のホップリンクです。

$$\nabla (\text{8 の字})=1-z^2$$

代入すると次の形になります^[5]。

$$\Delta (\text{8 の字})=-t+3-t^{-1}$$

三葉結び目の値と違うので、$2$ つは別の結び目です。$3$ 色塗り分けでは区別できなかった組が、ここで分かれます。

性質

アレクサンダー多項式には $2$ つの目立つ性質があります^[2]。

$$\Delta (1)=\pm 1,\Delta (t^{-1})=\Delta (t)$$

三葉結び目で確かめます。$\Delta (1)=1-1+1=1$。$t$ と $t^{-1}$ を入れ替えても $t-1+t^{-1}$ のままです。

$8$ の字結び目でも $\Delta (1)=-1+3-1=1$ になります。

この対称性のせいで、区別できないものが出てきます。

例: 鏡像を区別できない

結び目とその鏡像は、アレクサンダー多項式が一致します^[2]。

三葉結び目には右巻きと左巻きがあり、この $2$ つは同値ではありません。それでも $\Delta$ はどちらも $t-1+t^{-1}$ です。

さらに強い制限もあります。アレクサンダー多項式が $1$ になる自明でない結び目が、無限個あります。ホワイトヘッド二重化やコンウェイの結び目がその例。

ほどけているかどうかの判定に使えない、という意味です。別の不変量が要ります。

ジョーンズ多項式

1984 年にジョーンズが作った不変量です^[1,3]。作用素環の研究から出てきました。

スケイン関係式は次の形になります。

$$(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_0)=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})$$

ほどけた結び目の値を $1$ とすれば、こちらも再帰的に決まります。$L_{+}$ と $L_{-}$ の係数が $t^{-1}$ と $t$ で非対称なところが要点です。

この非対称さが、鏡像を区別する力を生みます。

例: ジョーンズ多項式で鏡像が分かれる

右巻きの三葉結び目のジョーンズ多項式は次の値です^[4]。

$$V=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}$$

鏡像をとると、$q$ が $q^{-1}$ に置き換わります^[1]。

$$V(\text{左巻き})=q+q^3-q^4$$

$2$ つは別の多項式です。三葉結び目が自分の鏡像と同値でないと示せました。

アレクサンダー多項式では区別できなかった組が、ここで分かれます。ジョーンズ多項式のほうが強い不変量になっている場面です。

例: 8 の字結び目は自分の鏡像

$8$ の字結び目の値を見ます^[5]。

$$V=q^2-q+1-q^{-1}+q^{-2}$$

$q$ と $q^{-1}$ を入れ替えても同じ式です。鏡像と多項式が一致します。

実際、$8$ の字結び目は自分の鏡像と同値です。こういう結び目を非キラルといいます。

多項式が対称だからといって非キラルとは限りません。ここでは別の方法で同値性が確かめられています。

カウフマンの括弧

ジョーンズ多項式には、図式から直に計算する道もあります^[1]。

各交叉を $2$ 通りにほどき、できた円の個数で重みを付けて足し上げる。この和がカウフマンの括弧です。

括弧のままでは第 $1$ 種のライデマイスター移動で値が変わります。そこでよじれ数 $w(L)$ で補正します。

$$X(L)=(-A^3{)}^{-w(L)}⟨L⟩$$

$A=t^{-1/4}$ と置くとジョーンズ多項式になります。作用素環を経由せずに定義できるので、計算はこちらが速い。

ほどけた結び目を検出できるか

アレクサンダー多項式は、ほどけているかどうかを判定できませんでした。ジョーンズ多項式はどうか。

これは未解決です^[1]。値が $1$ になる自明でない結び目があるかどうか、まだ分かっていません。

交叉数 $24$ までのすべての素な結び目については、値が $1$ にならないと計算で確かめられています。判定できる可能性のほうが高いと見られています。

HOMFLY 多項式

$2$ 変数に拡げた不変量もあります^[6]。スケイン関係式は次の形です。

$$\ell P(L_{+})+{\ell }^{-1}P(L_{-})+mP(L_0)=0$$

変数を特殊化すると、アレクサンダー多項式にもジョーンズ多項式にもなります。両方を含む形です。

$6$ 人が独立に発見したため、頭文字を並べた名前が付いています。

それでも完全ではありません。$9_{42}$ と $10_{71}$ のように、キラリティが逆なのに同じ値をとる組があります^[6]。

多項式を強くしていっても、どこかで区別できない組が残る。結び目の分類が難しいことの一面です。

参考文献