穴の数と向きづけだけで閉曲面は決まる（分類定理と基本多角形）

閉じた曲面は、たった $2$ つの情報で決まります。オイラー標数と、向きづけできるかどうか^[3]。

この $2$ つが一致すれば同相です。曲面がどれだけ複雑に曲がっていても、位相の目には穴の数しか映りません。

以下では分類の主張から始め、基本多角形と辺の語、連結和、そして境界がある場合まで扱います。

主張

連結な閉曲面は、次の $3$ つのどれかと同相です^[1,3]。

球面

S^{2}

。

g

個のトーラスの連結和（

g \geq 1

）。

k

個の実射影平面の連結和（

k \geq 1

）。

$3$ つの族は互いに重なりません。どの曲面がどれに入るかは、標数と向きづけの $2$ つで読めます。

$χ (g T # \dots # T) = 2 - 2 g, χ (k R P^{2} # \dots # R P^{2}) = 2 - k$

向きづけ可能な側は標数が偶数、できない側は偶数も奇数もとります。

例: 標数と向きづけで表を作る

標数を大きいほうから並べます。 $2$ は球面、 $1$ は射影平面。

$0$ は $2$ つあります。向きづけ可能ならトーラス、できないならクラインの壺です。

$- 1$ は射影平面 $3$ つの連結和、 $- 2$ は種数 $2$ の曲面か射影平面 $4$ つの連結和。

同じ標数でも向きづけの有無で分かれる、という構図がくり返されます。標数だけでは足りません。

基本多角形

分類を証明する道具が多角形です。曲面を三角形分割し、切り開いて $1$ 枚の多角形に平らに広げます。

辺は $2$ 本ずつ組になって貼り合わされます。多角形の周を $1$ 周し、辺の名前を順に読んだものを辺の語といいます^[2]。

同じ文字が $2$ 回現れ、向きがそろっていれば $a$ と $a^{- 1}$ 、逆向きなら $a$ と $a$ と書きます。

例: 4 つの標準形

代表的な曲面の辺の語を並べます^[2]。

$S^{2} : ab b^{- 1} a^{- 1}, R P^{2} : abab, T^{2} : ab a^{- 1} b^{- 1}, K : aba b^{- 1}$

球面は $a a^{- 1}$ とも書けます。 $2$ 角形の $2$ 辺を貼り合わせた形です。

トーラスとクラインの壺は、 $1$ 文字の指数だけが違います。 $b^{- 1}$ か $b$ かで、向きづけできるかどうかが分かれる。

射影平面は $aa$ とも書けます。円板の縁を対蹠点どうし貼った形と同じです。

例: 種数 g の標準形

向きづけ可能な種数 $g$ の曲面は、 $4 g$ 角形から作れます^[2]。

$a_{1} b_{1} a_{1}^{- 1} b_{1}^{- 1} \dots a_{g} b_{g} a_{g}^{- 1} b_{g}^{- 1}$

交換子を $g$ 個並べた語です。 $g = 1$ でトーラスの語に戻ります。

向きづけできない側は、もっと短く書けます。 $2 k$ 角形で $k$ 個の文字を $2$ 度ずつ並べる。

$a_{1} a_{1} a_{2} a_{2} \dots a_{k} a_{k}$

$k = 1$ で射影平面、 $k = 2$ でクラインの壺です。

連結和

$2$ つの曲面から円板を $1$ つずつ抜き、できた境界の円を貼り合わせる操作を連結和といいます^[4]。

標数は素直に足し算になります。円板 $2$ 枚が消え、円 $1$ 本が加わるためです。

$χ (S_{1} # S_{2}) = χ (S_{1}) + χ (S_{2}) - 2$

球面は単位元です。 $S # S^{2} = S$ で、抜いて貼り直しても形が変わりません^[4]。

例: 標数を足してみる

トーラス $2$ つの連結和を計算します。 $χ (T^{2}) = 0$ なので、 $0 + 0 - 2 = - 2$ 。

種数 $2$ の曲面の標数 $2 - 2 \cdot 2 = - 2$ と合っています。連結和が穴を $1$ つ増やす操作だと分かります。

射影平面 $3$ つなら $1 + 1 - 2 = 0$ 、さらに $0 + 1 - 2 = - 1$ です。公式の $2 - k = 2 - 3 = - 1$ と一致します。

例: 射影平面 2 つはクラインの壺

$R P^{2} # R P^{2}$ を調べます。標数は $1 + 1 - 2 = 0$ 。

向きづけできない曲面どうしの和なので、結果も向きづけできません。標数 $0$ で向きづけ不可能な閉曲面はクラインの壺だけです。

$R P^{2} # R P^{2} = K$

多角形の側でも見えます。射影平面 $2$ つの語 $aabb$ が、辺の張り替えでクラインの壺の語に直せます。

クラインの壺を、 $2$ つのメビウスの帯を縁で貼ったものと見る図が対応します。

例: ディックの定理

向きづけできない曲面に、さらに穴を足すとどうなるか。

$T^{2} # R P^{2} = R P^{2} # R P^{2} # R P^{2}$

左辺の標数は $0 + 1 - 2 = - 1$ 、右辺も $2 - 3 = - 1$ です。どちらも向きづけできません。

分類定理から、標数と向きづけが一致すれば同相。よって等しくなります^[1]。

向きづけできない曲面がすでにあると、ハンドルを $1$ つ付けることと交叉帽を $2$ つ足すことが同じになる。 $3$ つの族に重なりがない理由も、この関係が支えています。

種数の意味

向きづけ可能な曲面では、 $g$ を種数といいます。ハンドルの本数、あるいは穴の個数です。

$1$ 次ホモロジーの階数が $2 g$ になります。ハンドル $1$ 本につき、まわりを回る道と通り抜ける道が $1$ 本ずつ増えるためです。

$H_{1} (Σ_{g}) ≅ Z^{2 g}, χ = 2 - 2 g$

向きづけできない側では $k$ を非向きづけ種数といいます。 $1$ 次ホモロジーは $Z^{k - 1} \oplus Z /2$ で、ねじれが $1$ つ現れる。

証明の筋

証明は $3$ 段で進みます^[3]。

第 $1$ 段は三角形分割です。コンパクトな曲面はいつでも三角形に分けられます。分けたら $1$ 枚ずつ切り離し、辺で貼り直して $1$ 枚の多角形に開きます。

第 $2$ 段は辺の語の正規化です。同じ文字が隣り合って $a a^{- 1}$ となっていれば消せます。離れている組は、多角形を対角線で切って貼り直すと隣へ寄せられる。

この操作をくり返すと、語が $\prod [a_{i}, b_{i}]$ か $\prod a_{i} a_{i}$ の形に落ちます。

第 $3$ 段は、得られた $2$ つの族が互いに異なることの確認です。標数を計算し、向きづけできるかどうかを見れば区別できます。

境界のある曲面

境界を許すと、決めるべき数が $1$ つ増えます^[1]。

向きづけできるかどうか、種数、そして境界の成分の個数 $b$ 。この $3$ つで同相の型が決まります。

$χ (Σ_{g, b}) = 2 - 2 g - b$

閉曲面から円板を $b$ 枚抜いた形です。抜くたびに標数が $1$ ずつ減ります。

例: 3 つの数で決まる

円板は $g = 0$ , $b = 1$ で $χ = 1$ 。円環は $g = 0$ , $b = 2$ で $χ = 0$ です。

メビウスの帯は向きづけできず、 $k = 1$ , $b = 1$ で $χ = 0$ になります。円環と標数が同じですが、向きづけの有無で分かれる。

ズボンと呼ばれる曲面は $g = 0$ , $b = 3$ で $χ = - 1$ です。 $3$ つの境界円を持つ球面で、曲面を切り分ける単位として使われます。

種数 $g$ で境界 $b$ の曲面は、ズボンを $2 g - 2 + b$ 枚貼り合わせて作れます。分類定理があるので、貼り方の違いは結果に効きません。

参考文献

Surface (topology)) - Wikipedia（英語）

Fundamental polygon - Wikipedia（英語）

Klassifikation der Flächen - Wikipedia（ドイツ語）

Connected sum - Wikipedia（英語）

オイラー標数と向きづけの有無、この $2$ つが一致すれば閉曲面は同相です。正方形の辺の貼り方を $abab^{-1}$ のように書き下すと、球面・射影平面・トーラス・クラインの壺が指数 1 つの違いで分かれます。連結和で標数が $\chi_1 + \chi_2 - 2$ になること、射影平面 2 つがクラインの壺になること、向きづけできない曲面ではハンドル 1 本と交叉帽 2 つが同じになることまで計算で確かめました。境界がある場合は数が 1 つ増えます。