積空間のホモロジーは掛け算で出るか？キネットの公式

$X$ のサイクルと $Y$ のサイクルを掛けると、積空間 $X \times Y$ のサイクルができます。次数は足し算になる。

この対応で $H_{*} (X \times Y)$ がほぼ書けてしまう、と述べたものがキネットの公式です^[1]。ほぼ、というところに $Tor$ の項がはさまります。

以下では体係数の易しい形から始め、整数係数で $Tor$ が入る理由を見て、射影平面の積まで計算します。

体を係数にした形

係数が体 $F$ なら、話は同型 $1$ 本で終わります^[1,4]。

$i + j = k ⨁ H_{i} (X; F) \otimes_{F} H_{j} (Y; F) ≅ H_{k} (X \times Y; F)$

左から右への写像を交叉積といいます。 $i$ サイクルと $j$ サイクルの組に、積空間の $i + j$ サイクルを対応させる写像です。

ベクトル空間しか出てこないので、次元の計算だけで済みます。

例: トーラス

$T^{2} = S^{1} \times S^{1}$ とします。 $H_{*} (S^{1})$ は $0$ 次と $1$ 次に $Z$ が立つだけ。

次数ごとに組を数えます。 $k = 0$ は $(0, 0)$ の $1$ 組、 $k = 1$ は $(0, 1)$ と $(1, 0)$ の $2$ 組、 $k = 2$ は $(1, 1)$ の $1$ 組です。

$H_{0} (T^{2}) = Z, H_{1} (T^{2}) = Z^{2}, H_{2} (T^{2}) = Z$

$1$ 次の $2$ 本は、縦の円と横の円です。 $2$ 次の $1$ 本が面全体になります。

$S^{1}$ にねじれがないので、整数係数でもこの答えのままです。

例: n 次元トーラス

$T^{n} = (S^{1})^{n}$ に同じ計算をくり返します。各因子から $0$ 次か $1$ 次を選ぶので、 $k$ 次の組は $n$ 個から $k$ 個を選ぶ場合の数だけあります。

$H_{k} (T^{n}) ≅ Z^{(k n)}$

ベッチ数が二項係数になりました。 $n = 3$ なら $1, 3, 3, 1$ です。

例: 球面の積

$S^{m} \times S^{n}$ （ $m \neq = n$ ）を見ます。 $0$ 次、 $m$ 次、 $n$ 次、 $m + n$ 次に $Z$ が $1$ つずつ。

$m = n$ のときは $m$ 次で $2$ 組が重なります。

$H_{k} (S^{n} \times S^{n}) = ⎩ ⎨ ⎧ Z Z^{2} 0 (k = 0, 2 n) (k = n) (それ以外)$

$S^{2} \times S^{2}$ なら $1, 0, 2, 0, 1$ という並びです。

整数係数の形

体でない係数では、テンソル積だけでは足りません。次の短完全列があり、分裂します^[1,2]。

$0 \to i + j = k ⨁ H_{i} (X) \otimes H_{j} (Y) \to H_{k} (X \times Y) \to i + j = k - 1 ⨁ Tor (H_{i} (X), H_{j} (Y)) \to 0$

第 $1$ 項は次数の和が $k$ の組、第 $3$ 項は和が $k - 1$ の組から来ます。 $Tor$ の項が $1$ つずれる、という配置です。

分裂は自然ではありません。値を出すぶんには直和で書けます。

図の青い対角線がテンソル積の項、橙の対角線が $Tor$ の項です。片方の空間にねじれがなければ、橙はいつでも $0$ 。

例: 実射影平面の 2 乗

$H_{*} (R P^{2}) = (Z, Z /2, 0)$ で計算します。 $Tor (Z /2, Z /2) = Z /2$ が効いてきます^[3]。

$0$ 次はテンソル積だけで $Z$ です。

$1$ 次は $(0, 1)$ と $(1, 0)$ から $Z /2$ が $2$ つ。 $Tor$ 側の対角線は $(0, 0)$ だけで、 $Tor (Z, Z) = 0$ です。

$2$ 次はテンソル側が $(1, 1)$ の $Z /2 \otimes Z /2 = Z /2$ で、 $Tor$ 側は $0$ 。

$3$ 次はテンソル側が空になり、 $Tor$ 側の $(1, 1)$ から $Z /2$ が来ます。

$H_{0} = Z, H_{1} = Z /2 \oplus Z /2, H_{2} = Z /2, H_{3} = Z /2, H_{4} = 0$

$4$ 次元の空間なのに $4$ 次が消えました^[1]。向きづけできない多様体の積なので、最高次に $Z$ は立ちません。

$3$ 次の $Z /2$ は、テンソル積からは絶対に出てきません。 $Tor$ の項が要る、といういちばんはっきりした例です。

例: 射影平面と円周の積

$R P^{2} \times S^{1}$ を計算します。 $S^{1}$ 側は自由なので、 $Tor$ の項がすべて消えます。

$1$ 次は $(0, 1)$ から $Z$ 、 $(1, 0)$ から $Z /2$ です。

$2$ 次は $(1, 1)$ から $Z /2 \otimes Z = Z /2$ 。

$H_{0} = Z, H_{1} = Z \oplus Z /2, H_{2} = Z /2, H_{3} = 0$

片方に自由なものを掛けると、 $Tor$ の心配がなくなります。計算はテンソル積の表を作るだけで終わる。

ポアンカレ多項式は掛け算になる

体係数なら、ベッチ数を係数に並べた多項式が便利です^[4]。

$P_{X} (t) = k \sum b_{k} (X) t^{k}$

キネットの同型は、この多項式の掛け算に対応します。

$P_{X \times Y} (t) = P_{X} (t) P_{Y} (t)$

次数が足し算だから係数が畳み込みになる、という素直な事情です。

例: 多項式で計算する

$P_{S^{1}} (t) = 1 + t$ です。トーラスなら $2$ 乗します。

$P_{T^{2}} (t) = (1 + t)^{2} = 1 + 2 t + t^{2}$

係数 $1, 2, 1$ が、さきほど求めたベッチ数と一致します。 $T^{n}$ なら $(1 + t)^{n}$ で、二項係数がそのまま出ます。

$S^{2}$ なら $P = 1 + t^{2}$ で、 $S^{2} \times S^{2}$ は $(1 + t^{2})^{2} = 1 + 2 t^{2} + t^{4}$ 。

オイラー標数は掛け算になる

多項式に $t = - 1$ を入れると、係数の交代和、つまりオイラー標数が出ます。

$χ (X) = P_{X} (- 1)$

多項式が掛け算になるので、標数も掛け算です。

$χ (X \times Y) = χ (X) χ (Y)$

$χ (T^{2}) = 0 \times 0 = 0$ 、 $χ (S^{2} \times S^{2}) = 2 \times 2 = 4$ です。ねじれは階数に効かないので、この式は整数係数でもそのまま成り立ちます。

コホモロジー版と交叉積

コホモロジーでも同じ形の主張があります。ホモロジーが有限生成で自由なら、次数つき環としての同型になります^[1]。

$H^{*} (X \times Y; R) ≅ H^{*} (X; R) \otimes_{R} H^{*} (Y; R)$

積はカップ積で、テンソル積の側では次数つきの規則に従います。 $∣ x ∣$ を次数として、入れ替えに符号が付きます。

$(x \otimes y) (x^{'} \otimes y^{'}) = (- 1)^{∣ y ∣∣ x^{'} ∣} (x x^{'}) \otimes (y y^{'})$

ホモロジー版が群の同型だったのに対し、こちらは積の構造まで込みです。群だけでは区別できない空間が、環では分かれることがあります。

例: トーラスのコホモロジー環

$H^{*} (S^{1})$ は $1$ 次の生成元 $x$ で生成され、 $x^{2} = 0$ をみたします。

$n$ 個の積をとると、 $n$ 個の $1$ 次生成元が入ります。符号の規則から $x_{i} x_{j} = - x_{j} x_{i}$ が出るので、外積代数になります。

$H^{*} (T^{n}; Z) ≅ Λ [x_{1}, \dots, x_{n}]$

$k$ 次の基底は $x_{i_{1}} \dots x_{i_{k}}$ で、個数は二項係数です。ホモロジーで数えた値とそろっています。

鎖複体のレベルの主張

もともとのキネットの公式は、空間ではなく鎖複体についての定理です^[2]。

$2$ つの鎖複体のテンソル積をとったとき、そのホモロジーがもとのホモロジーのテンソル積と $Tor$ で書ける、という形。

空間の側へ移すには橋が要ります。 $X \times Y$ の特異鎖複体が、 $X$ と $Y$ の特異鎖複体のテンソル積と鎖ホモトピー同値だ、という定理です。

この橋があってはじめて、代数の公式が空間の公式になります。片方の複体が自由であること、という仮定はここでみたされています。

参考文献

Künneth theorem - Wikipedia（英語）

Künneth-Formel - Wikipedia（ドイツ語）

Tor functor - Wikipedia（英語）

Formule de Künneth - Wikipédia（フランス語）

$i$ サイクルと $j$ サイクルを掛けると $i+j$ サイクルになる。この対応がどこまで全部を尽くすかを述べたものがキネットの公式です。体係数なら同型 $1$ 本で終わり、トーラスのベッチ数が二項係数になる理由も一行で出ます。整数係数では $1$ つ手前の対角線から $\mathrm{Tor}$ が上がってきて、$\mathbb{R}P^2$ の $2$ 乗では $3$ 次に $\mathbb{Z}/2$ が現れる。ポアンカレ多項式とオイラー標数が掛け算になること、コホモロジー環の符号規則まで。