境界があると双対の相手が入れ替わる……ポアンカレ・レフシェッツ双対性

境界のある多様体では、双対の相手が絶対と相対に分かれます。片方が $H^k(M)$ なら、もう片方は $H_{n-k}(M,\partial M)$ です^[1]。

境界がない場合は相対と絶対が一致するので、見慣れた形に戻ります。境界がある場合だけ、$2$ 種類の群が向かい合う。

以下では $2$ つの形を並べ、円板からソリッドトーラス、メビウスの帯まで計算し、境界の $1$ 次ホモロジーが半分だけ死ぬ話まで進みます。

主張

$M$ をコンパクトで向きづけ可能な $n$ 次元多様体とし、境界 $\partial M$ を持つとします。次の同型が成り立ちます^[1]。

$$H^k(M,\partial M)\cong H_{n-k}(M)$$

同型は基本類 $[M]\in H_n(M,\partial M)$ とのキャップ積で与えられます。境界がある場合の基本類は、相対ホモロジーの側にいます。

向きづけできない多様体では、係数を $\mathbb{Z}/2$ にとれば同じ主張が通ります^[3]。$\mathbb{Z}/2$ の向きはどの多様体にも $1$ つあるためです。

もう 1 つの形

相対と絶対を入れ替えた形も成り立ちます。

$$H^k(M)\cong H_{n-k}(M,\partial M)$$

$2$ つの式は互いに双対の関係にあります。$k$ を $n-k$ に置き換えて見比べると、対称な位置に並んでいる。

$\partial M=\varnothing$ とすると両方が同じ式になり、閉多様体のポアンカレ双対性に戻ります^[2]。

例: 円板と円周

$M=D^n$、$\partial M=S^{n-1}$ とします。$D^n$ は可縮なので $H_j(D^n)$ は $j=0$ でだけ $\mathbb{Z}$ です。

$H^k(D^n,S^{n-1})\cong H_{n-k}(D^n)$ に当てると、$n-k=0$、つまり $k=n$ のときだけ $\mathbb{Z}$。

$$H^k(D^n,S^{n-1})\cong \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (k=n)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$

$n$ 次に立つ $\mathbb{Z}$ の生成元が、基本類の双対にあたります。円板そのものが $n$ 次元の相対サイクルになっている、という事情です。

例: 中身の詰まったトーラス

$V=S^1\times D^2$ とします。$\partial V=T^2$ で、$V$ は中心の円へ変形レトラクトします。

$H_0(V)=\mathbb{Z}$、$H_1(V)=\mathbb{Z}$、それ以上は $0$ です。$n=3$ で当てます。

$$H^k(V,\partial V)\cong H_{3-k}(V)$$

$k=2$ で $H_1(V)=\mathbb{Z}$、$k=3$ で $H_0(V)=\mathbb{Z}$ が出ます。$k=0,1$ では $0$。

対の長完全列で確かめると、$H_3(V,\partial V)\cong \mathbb{Z}$、$H_2(V,\partial V)\cong \mathbb{Z}$、$H_1(V,\partial V)=0$ です。双対の予想と一致しています。

$H_2$ に立つ $\mathbb{Z}$ の代表は、中心の円をふさぐ円板です。境界に端を持つので相対サイクルになります。

例: メビウスの帯

$M$ をメビウスの帯とします。向きづけできないので、係数を $\mathbb{Z}/2$ にとります。

$H_{\ast }(M;\mathbb{Z}/2)$ は $0$ 次と $1$ 次に $\mathbb{Z}/2$ が立ちます。$n=2$ で当てましょう。

$$H^k(M,\partial M;\mathbb{Z}/2)\cong H_{2-k}(M;\mathbb{Z}/2)$$

$k=1$ で $\mathbb{Z}/2$、$k=2$ で $\mathbb{Z}/2$、$k=0$ で $0$ です。

対の長完全列を $\mathbb{Z}/2$ 係数でたどっても同じ値になります。境界の円が中心の円を $2$ 周するので、$\mathbb{Z}/2$ の上では $0$ 写像になる、というところが効きます。

整数係数では成り立ちません。向きづけできない多様体には基本類がないためです。

例: 境界つき曲面

種数 $g$、境界成分 $b$ 本のコンパクト曲面 $\Sigma$ を考えます。$b\ge 1$ なら、$\Sigma$ は円の花束へ変形レトラクトします。

$$H_0(\Sigma )=\mathbb{Z},H_1(\Sigma )={\mathbb{Z}}^{2g+b-1},H_2(\Sigma )=0$$

双対を当てると、相対の側の値が読めます。

$$H^1(\Sigma ,\partial \Sigma )\cong {\mathbb{Z}}^{2g+b-1},H^2(\Sigma ,\partial \Sigma )\cong \mathbb{Z}$$

円環（$g=0$, $b=2$）なら $\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}$ です。円板（$g=0$, $b=1$）なら $0$ と $\mathbb{Z}$ になります。

$2$ 次の $\mathbb{Z}$ はいつでも立ちます。曲面そのものが相対サイクルだからです。

半分は死に、半分は生きる

$M$ をコンパクトで向きづけ可能な $3$ 次元多様体とし、有理係数で考えます。

包含 $\partial M\hookrightarrow M$ が誘導する写像を見ます。

$$i_{\ast }:H_1(\partial M;\mathbb{Q})\to H_1(M;\mathbb{Q})$$

この写像の核の次元が、ちょうど $H_1(\partial M;\mathbb{Q})$ の次元の半分になります。

理由は双対性にあります。核は境界の交叉形式について自己直交な部分空間で、双対性がその次元を半分に決めます。

境界の $1$ 次サイクルのうち、中へ入れるとつぶれるものと生き残るものが、ぴったり半々に分かれる。

例: 結び目の外部

$K$ を結び目とし、まわりの管状近傍を抜いた $X=S^3\setminus \mathrm{int}N(K)$ をとります。境界はトーラスです。

$H_1(\partial X;\mathbb{Q})\cong {\mathbb{Q}}^2$ で、基底は経線と緯線です。いっぽう $H_1(X;\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q}$。

経線は結び目のまわりを $1$ 周するので、$H_1(X)$ の生成元へ行きます。死にません。

緯線は $X$ の中で曲面を張れます。像は $0$ で、こちらが死ぬほう。

$$\dim \ker i_{\ast }=1=\frac{1}{2}\dim H_1(\partial X;\mathbb{Q})$$

半分ずつという規則がそのまま出ています。緯線が張る曲面がザイフェルト曲面で、結び目の研究の出発点になります。

例: オイラー標数の関係

$n$ が奇数のとき、境界のオイラー標数と本体の標数が結びつきます。

対の長完全列から $\chi (M)=\chi (\partial M)+\chi (M,\partial M)$ です。双対性から $\chi (M,\partial M)=(-1{)}^n\chi (M)$。

$n$ が奇数なら $\chi (M,\partial M)=-\chi (M)$ なので、代入して整理できます。

$$\chi (M)=\frac{1}{2}\chi (\partial M)$$

$M=D^3$ なら $\chi =1$、$\partial M=S^2$ で $\chi =2$ です。合っています。

ソリッドトーラスなら $\chi =0$ と $\chi (T^2)=0$ で、こちらも通ります。奇数次元の閉多様体で標数が $0$ になる事実も、境界を空にした場合として含まれます。

基本類はどこにあるか

閉多様体では基本類が $H_n(M)$ にありました。境界があると $H_n(M)=0$ になり、そこには置けません。

行き先は相対ホモロジーです。

$$[M]\in H_n(M,\partial M)$$

$M$ 全体を $n$ 次元の鎖と見ると、その境界は $\partial M$ の中にあります。相対サイクルの条件をみたしている、という理屈です。

連結準同型で送ると $\partial [M]=[\partial M]$ になります。本体の基本類が、境界の基本類へ落ちる。$2$ つの多様体の向きが、この式で結ばれています。

参考文献