ホモロジーの「ねじれ」は貼り付け方から生まれる

ホモロジー群に $\mathbb{Z}/2$ や $\mathbb{Z}/p$ が現れることがあります。有限位数の元、つまりねじれです。

穴の個数を数えているはずの群に、なぜ有限群が混じるのか。答えは貼り付け方にあります。$1$ 周ではなく $2$ 周して貼ると、$2$ 倍写像が鎖複体に現れる。

以下ではねじれ部分群の定義から始め、実射影空間で計算を追い、係数を変えると見え方がどう変わるかを確かめ、レンズ空間まで進みます。

ねじれ部分群

アーベル群 $A$ の元 $x$ が、ある正の整数 $m$ で $mx=0$ をみたすとき、$x$ はねじれの元です。

ねじれの元をあわせた部分群を $T(A)$ と書きます。有限生成なら、群は自由部分と有限部分に分かれます。

$$A\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus T(A)$$

$r$ を階数といい、ホモロジーでは $k$ 次のベッチ数 $b_k$ にあたります。$T(A)$ が数えているのは、階数には現れない別の情報です。

例: 実射影平面

$\mathbb{R}{P}^2$ は、$0$ 胞体、$1$ 胞体、$2$ 胞体を $1$ つずつ貼った複体です。$2$ 胞体の縁は $1$ 胞体を $2$ 度なぞります。

胞体鎖複体はこうなります。

$$0\to \mathbb{Z}\stackrel{2}{\to }\mathbb{Z}\stackrel{0}{\to }\mathbb{Z}\to 0$$

$H_1$ は $\ker 0=\mathbb{Z}$ を $\mathrm{im}2=2\mathbb{Z}$ で割ったものです。

$$H_0=\mathbb{Z},H_1=\mathbb{Z}/2,H_2=0$$

$2$ 倍写像の核が $0$ なので、$2$ 次には何も残りません。かわりに $1$ 次へ $\mathbb{Z}/2$ が落ちてきます。

例: クラインの壺

クラインの壺は正方形の辺を貼って作ります。片方の組は向きをそろえ、もう片方の組は逆向きに貼る^[3]。

基本群の表示から可換化すると、関係式は $2a=0$ に化けます。

$$H_0=\mathbb{Z},H_1=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2,H_2=0$$

自由部分の $\mathbb{Z}$ とねじれの $\mathbb{Z}/2$ が同居しています。逆向きに貼った $1$ 組だけが、ねじれを生んでいます。

$2$ 次が $0$ である点も見ておきます。向きづけできない閉曲面では、最高次のホモロジーが消えます。

実射影空間の胞体鎖複体

$\mathbb{R}{P}^n$ は各次元に胞体を $1$ つずつ持ちます^[1]。$k$ 胞体の貼り付け写像は、$S^{k-1}\to \mathbb{R}{P}^{k-1}$ という $2$ 対 $1$ の被覆です。

境界作用素の次数は次の式で決まります。

$$\mathrm{deg}{d}_k=1+(-1{)}^k$$

$k$ が偶数なら $2$、奇数なら $0$ です。複体は $0$ と $2$ を交互にはさんだ形になります。

$$\cdots \stackrel{2}{\to }\mathbb{Z}\stackrel{0}{\to }\mathbb{Z}\stackrel{2}{\to }\mathbb{Z}\stackrel{0}{\to }\mathbb{Z}$$

$2$ 対 $1$ の被覆だから次数が $2$、という素朴な事情です。符号の打ち消しで $0$ になる段が交互に来ます。

例: RP^3 の計算

$n=3$ で書き下します。複体は $4$ 段です。

$$0\to \mathbb{Z}\stackrel{0}{\to }\mathbb{Z}\stackrel{2}{\to }\mathbb{Z}\stackrel{0}{\to }\mathbb{Z}\to 0$$

$3$ 次は $\ker 0=\mathbb{Z}$ で、上から割るものがないのでそのまま残ります。

$2$ 次は $\ker 2=0$ なので消えます。$1$ 次は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。

$$H_0=\mathbb{Z},H_1=\mathbb{Z}/2,H_2=0,H_3=\mathbb{Z}$$

$3$ 次に $\mathbb{Z}$ が立ちました。$\mathbb{R}{P}^3$ は向きづけ可能な閉多様体です。

例: RP^n の一般形

同じ計算を一般の $n$ でやると、規則が見えます^[1]。

$0$ 次はいつも $\mathbb{Z}$ です。$0<k<n$ の範囲では、$k$ が奇数のとき $\mathbb{Z}/2$、偶数のとき $0$。

最高次は $n$ の偶奇で分かれます。$n$ が奇数なら $\mathbb{Z}$、偶数なら $0$ です。

$$H_k(\mathbb{R}{P}^n;\mathbb{Z})=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (k=0,\text{ または }k=n\text{ で }n\text{ が奇数})\\ \mathbb{Z}/2& (k\text{ が奇数で }0<k<n)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$

$\mathbb{Z}/2$ がずらりと並びます。偶数次元の射影空間には最高次の $\mathbb{Z}$ がなく、向きづけできません。

例: mod 2 係数だと見えなくなる

係数を $\mathbb{Z}/2$ にとり替えます。すると $2$ 倍写像は $0$ 写像になり、境界作用素がすべて消えます。

$$H_k(\mathbb{R}{P}^n;\mathbb{Z}/2)\cong \mathbb{Z}/2(0\le k\le n)$$

各次数に $\mathbb{Z}/2$ が $1$ つずつ、きれいに並びました^[1]。胞体の個数がそのまま出た形です。

整数係数では消えていた偶数次が復活しています。係数を変えると見えるものが変わる、といういちばん分かりやすい例です。

例: 有理係数だと消える

今度は係数を $\mathbb{Q}$ にします。$2$ 倍写像は $\mathbb{Q}$ の上で同型なので、その段は核も余核も $0$ です。

$$H_k(\mathbb{R}{P}^n;\mathbb{Q})=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Q}& (k=0,\text{ または }k=n\text{ で }n\text{ が奇数})\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$

ねじれが跡形もなく消えました。有理係数が見ているのはベッチ数だけです。

$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/2$、$\mathbb{Q}$ の $3$ 通りで、同じ空間がまるで違って見えます。ねじれは整数係数でしか観察できない情報でした。

ねじれはオイラー標数に効かない

オイラー標数はベッチ数の交代和です。ねじれ部分は階数 $0$ なので、和に寄与しません。

$$\chi (X)=\sum _k(-1{)}^k{b}_k$$

$\mathbb{R}{P}^2$ で確かめます。$b_0=1$、$b_1=0$、$b_2=0$ なので $\chi =1$ です。胞体の個数で数えても $1-1+1=1$ で一致します。

$\mathbb{R}{P}^3$ なら $b_0=b_3=1$、途中は $0$ で $\chi =0$。胞体の個数でも $1-1+1-1=0$ です。

標数だけを見ていると、ねじれの有無は分かりません。$\mathbb{R}{P}^3$ と $S^1\times S^2$ はどちらも $\chi =0$ ですが、$1$ 次ホモロジーは $\mathbb{Z}/2$ と $\mathbb{Z}$ で別ものです。

どこから来るのか

ねじれの出どころは、$\pm 1$ 以外の整数を係数に持つ境界作用素です。

貼り付け写像の次数が $\pm 1$ なら、その段で核も余核も素直に振る舞います。次数が $m$ になると、商に $\mathbb{Z}/m$ が残る。

向きをそろえて貼れば次数は $\pm 1$、ひっくり返して貼ると打ち消しが起きて $2$ になる。ねじれと向きづけ不可能性が結びつくのは、この事情からです。

もっとも、向きづけできる空間にもねじれは現れます。次に見るレンズ空間がその例です。

例: ムーア空間

好きな有限アーベル群をねじれとして持つ空間が作れます^[4]。

$S^n$ に $n+1$ 胞体を、次数 $m$ の写像で貼りましょう。鎖複体は $2$ 段だけです。

$$0\to \mathbb{Z}\stackrel{m}{\to }\mathbb{Z}\to 0$$

$n$ 次は $\mathbb{Z}/m$、$n+1$ 次は $\ker m=0$ です。ほかの次数には何もありません。

この空間をムーア空間 $M(\mathbb{Z}/m,n)$ といいます。$m=2$、$n=1$ とすると $\mathbb{R}{P}^2$ そのもの。

ねじれを注文どおりに作れる、と分かりました。ホモロジーの側から空間を設計する手口です。

例: レンズ空間

$p$ と $q$ を互いに素な整数とし、$S^3$ に $\mathbb{Z}/p$ を自由に作用させて商をとります^[2]。

$$(z_1,z_2)\mapsto (e^{2\pi i/p}{z}_1,e^{2\pi iq/p}{z}_2)$$

得られる $3$ 次元多様体がレンズ空間 $L(p;q)$ です。基本群は $\mathbb{Z}/p$ で、$q$ によりません。

胞体は各次元に $1$ つずつで、境界作用素は $0$ と $p$ が交互に並びます。

$$H_0=\mathbb{Z},H_1=\mathbb{Z}/p,H_2=0,H_3=\mathbb{Z}$$

$3$ 次に $\mathbb{Z}$ が立っているので向きづけ可能です。それでも $1$ 次には $\mathbb{Z}/p$ のねじれがある。

$p$ を大きくとれば、いくらでも大きな巡回群をねじれとして持つ $3$ 次元多様体が作れます。

ねじれが足りない場面

レンズ空間は、ホモロジーだけでは分類しきれません。$L(5;1)$ と $L(5;2)$ は基本群もホモロジー群も同じですが、同相ではありません^[2]。

見分けるにはライデマイスター捩れという別の量が要ります。ホモロジーのねじれとは別の「捩れ」です。

ホモトピー同値の条件は $q_1{q}_2\equiv \pm n^2(\mathrm{mod}p)$、同相の条件は $q_1\equiv \pm q_2^{\pm 1}(\mathrm{mod}p)$ と書けます^[2]。前者は通っても後者は通らない組が作れます。

ねじれはホモロジーが拾える情報の中では細かいほうですが、それでも空間の全部ではありません。

参考文献