ホモロジーの「ねじれ」は貼り付け方から生まれる

ホモロジー群に $Z /2$ や $Z / p$ が現れることがあります。有限位数の元、つまりねじれです。

穴の個数を数えているはずの群に、なぜ有限群が混じるのか。答えは貼り付け方にあります。 $1$ 周ではなく $2$ 周して貼ると、 $2$ 倍写像が鎖複体に現れる。

以下ではねじれ部分群の定義から始め、実射影空間で計算を追い、係数を変えると見え方がどう変わるかを確かめ、レンズ空間まで進みます。

ねじれ部分群

アーベル群 $A$ の元 $x$ が、ある正の整数 $m$ で $m x = 0$ をみたすとき、 $x$ はねじれの元です。

ねじれの元をあわせた部分群を $T (A)$ と書きます。有限生成なら、群は自由部分と有限部分に分かれます。

$A ≅ Z^{r} \oplus T (A)$

$r$ を階数といい、ホモロジーでは $k$ 次のベッチ数 $b_{k}$ にあたります。 $T (A)$ が数えているのは、階数には現れない別の情報です。

例: 実射影平面

$R P^{2}$ は、 $0$ 胞体、 $1$ 胞体、 $2$ 胞体を $1$ つずつ貼った複体です。 $2$ 胞体の縁は $1$ 胞体を $2$ 度なぞります。

胞体鎖複体はこうなります。

$0 \to Z 2 Z 0 Z \to 0$

$H_{1}$ は $ker 0 = Z$ を $im 2 = 2 Z$ で割ったものです。

$H_{0} = Z, H_{1} = Z /2, H_{2} = 0$

$2$ 倍写像の核が $0$ なので、 $2$ 次には何も残りません。かわりに $1$ 次へ $Z /2$ が落ちてきます。

例: クラインの壺

クラインの壺は正方形の辺を貼って作ります。片方の組は向きをそろえ、もう片方の組は逆向きに貼る^[3]。

基本群の表示から可換化すると、関係式は $2 a = 0$ に化けます。

$H_{0} = Z, H_{1} = Z \oplus Z /2, H_{2} = 0$

自由部分の $Z$ とねじれの $Z /2$ が同居しています。逆向きに貼った $1$ 組だけが、ねじれを生んでいます。

$2$ 次が $0$ である点も見ておきます。向きづけできない閉曲面では、最高次のホモロジーが消えます。

実射影空間の胞体鎖複体

$R P^{n}$ は各次元に胞体を $1$ つずつ持ちます^[1]。 $k$ 胞体の貼り付け写像は、 $S^{k - 1} \to R P^{k - 1}$ という $2$ 対 $1$ の被覆です。

境界作用素の次数は次の式で決まります。

$de g d_{k} = 1 + (- 1)^{k}$

$k$ が偶数なら $2$ 、奇数なら $0$ です。複体は $0$ と $2$ を交互にはさんだ形になります。

$\dots 2 Z 0 Z 2 Z 0 Z$

canvas: 置き場が受け取りませんでした

$2$ 対 $1$ の被覆だから次数が $2$ 、という素朴な事情です。符号の打ち消しで $0$ になる段が交互に来ます。

例: RP^3 の計算

$n = 3$ で書き下します。複体は $4$ 段です。

$0 \to Z 0 Z 2 Z 0 Z \to 0$

$3$ 次は $ker 0 = Z$ で、上から割るものがないのでそのまま残ります。

$2$ 次は $ker 2 = 0$ なので消えます。 $1$ 次は $Z /2 Z$ 。

$H_{0} = Z, H_{1} = Z /2, H_{2} = 0, H_{3} = Z$

$3$ 次に $Z$ が立ちました。 $R P^{3}$ は向きづけ可能な閉多様体です。

例: RP^n の一般形

同じ計算を一般の $n$ でやると、規則が見えます^[1]。

$0$ 次はいつも $Z$ です。 $0 < k < n$ の範囲では、 $k$ が奇数のとき $Z /2$ 、偶数のとき $0$ 。

最高次は $n$ の偶奇で分かれます。 $n$ が奇数なら $Z$ 、偶数なら $0$ です。

$H_{k} (R P^{n}; Z) = ⎩ ⎨ ⎧ Z Z /2 0 (k = 0, または k = n で n が奇数) (k が奇数で 0 < k < n) (それ以外)$

$Z /2$ がずらりと並びます。偶数次元の射影空間には最高次の $Z$ がなく、向きづけできません。

例: mod 2 係数だと見えなくなる

係数を $Z /2$ にとり替えます。すると $2$ 倍写像は $0$ 写像になり、境界作用素がすべて消えます。

$H_{k} (R P^{n}; Z /2) ≅ Z /2 (0 \leq k \leq n)$

各次数に $Z /2$ が $1$ つずつ、きれいに並びました^[1]。胞体の個数がそのまま出た形です。

整数係数では消えていた偶数次が復活しています。係数を変えると見えるものが変わる、といういちばん分かりやすい例です。

例: 有理係数だと消える

今度は係数を $Q$ にします。 $2$ 倍写像は $Q$ の上で同型なので、その段は核も余核も $0$ です。

$H_{k} (R P^{n}; Q) = {Q 0 (k = 0, または k = n で n が奇数) (それ以外)$

ねじれが跡形もなく消えました。有理係数が見ているのはベッチ数だけです。

$Z$ 、 $Z /2$ 、 $Q$ の $3$ 通りで、同じ空間がまるで違って見えます。ねじれは整数係数でしか観察できない情報でした。

ねじれはオイラー標数に効かない

オイラー標数はベッチ数の交代和です。ねじれ部分は階数 $0$ なので、和に寄与しません。

$χ (X) = k \sum (- 1)^{k} b_{k}$

$R P^{2}$ で確かめます。 $b_{0} = 1$ 、 $b_{1} = 0$ 、 $b_{2} = 0$ なので $χ = 1$ です。胞体の個数で数えても $1 - 1 + 1 = 1$ で一致します。

$R P^{3}$ なら $b_{0} = b_{3} = 1$ 、途中は $0$ で $χ = 0$ 。胞体の個数でも $1 - 1 + 1 - 1 = 0$ です。

標数だけを見ていると、ねじれの有無は分かりません。 $R P^{3}$ と $S^{1} \times S^{2}$ はどちらも $χ = 0$ ですが、 $1$ 次ホモロジーは $Z /2$ と $Z$ で別ものです。

どこから来るのか

ねじれの出どころは、 $\pm 1$ 以外の整数を係数に持つ境界作用素です。

貼り付け写像の次数が $\pm 1$ なら、その段で核も余核も素直に振る舞います。次数が $m$ になると、商に $Z / m$ が残る。

向きをそろえて貼れば次数は $\pm 1$ 、ひっくり返して貼ると打ち消しが起きて $2$ になる。ねじれと向きづけ不可能性が結びつくのは、この事情からです。

もっとも、向きづけできる空間にもねじれは現れます。次に見るレンズ空間がその例です。

例: ムーア空間

好きな有限アーベル群をねじれとして持つ空間が作れます^[4]。

$S^{n}$ に $n + 1$ 胞体を、次数 $m$ の写像で貼りましょう。鎖複体は $2$ 段だけです。

$0 \to Z m Z \to 0$

$n$ 次は $Z / m$ 、 $n + 1$ 次は $ker m = 0$ です。ほかの次数には何もありません。

この空間をムーア空間 $M (Z / m, n)$ といいます。 $m = 2$ 、 $n = 1$ とすると $R P^{2}$ そのもの。

ねじれを注文どおりに作れる、と分かりました。ホモロジーの側から空間を設計する手口です。

例: レンズ空間

$p$ と $q$ を互いに素な整数とし、 $S^{3}$ に $Z / p$ を自由に作用させて商をとります^[2]。

$(z_{1}, z_{2}) \mapsto (e^{2 π i / p} z_{1}, e^{2 π i q / p} z_{2})$

得られる $3$ 次元多様体がレンズ空間 $L (p; q)$ です。基本群は $Z / p$ で、 $q$ によりません。

胞体は各次元に $1$ つずつで、境界作用素は $0$ と $p$ が交互に並びます。

$H_{0} = Z, H_{1} = Z / p, H_{2} = 0, H_{3} = Z$

$3$ 次に $Z$ が立っているので向きづけ可能です。それでも $1$ 次には $Z / p$ のねじれがある。

$p$ を大きくとれば、いくらでも大きな巡回群をねじれとして持つ $3$ 次元多様体が作れます。

ねじれが足りない場面

レンズ空間は、ホモロジーだけでは分類しきれません。 $L (5; 1)$ と $L (5; 2)$ は基本群もホモロジー群も同じですが、同相ではありません^[2]。

見分けるにはライデマイスター捩れという別の量が要ります。ホモロジーのねじれとは別の「捩れ」です。

ホモトピー同値の条件は $q_{1} q_{2} \equiv \pm n^{2} (mod p)$ 、同相の条件は $q_{1} \equiv \pm q_{2}^{\pm 1} (mod p)$ と書けます^[2]。前者は通っても後者は通らない組が作れます。

ねじれはホモロジーが拾える情報の中では細かいほうですが、それでも空間の全部ではありません。

参考文献

Real projective space - Wikipedia（英語）

Lens space - Wikipedia（英語）

Kleinsche Flasche - Wikipedia（ドイツ語）

Moore space (algebraic topology)) - Wikipedia（英語）

貼り付け写像の次数が $\pm 1$ でなくなると、鎖複体に $2$ 倍写像が現れて商にねじれが残ります。実射影平面とクラインの壺で計算を追い、$\mathbb{R}P^n$ の $0$ と $2$ が交互に並ぶ複体から一般形を出す。係数を $\mathbb{Z}/2$ にすると各次数に $\mathbb{Z}/2$ が並び、$\mathbb{Q}$ にすると跡形もなく消えます。ムーア空間で好きな有限群を注文し、レンズ空間では向きづけできてもねじれが残る。