定義が違うのに答えが同じになる〜アイレンベルグ・スティーンロッドの公理

ホモロジーの作り方はいくつもあります。特異、単体、胞体、チェック。それぞれ定義はまるで違うのに、計算すると同じ答えが出ます。

なぜ一致するのかに答えたものが、アイレンベルグとスティーンロッドの公理です^[1]。作り方を問わず、いくつかの性質さえみたせば同じものだと決まってしまう。

以下では公理を 1 つずつ並べ、公理だけから球面のホモロジーが決まることを見て、一意性定理と、次元公理を外した先の理論まで扱います。

ホモロジー論の定義

対象は、空間の対 $(X,A)$ の圏です。各整数 $n$ に対して関手 $H_n$ が与えられ、アーベル群を返します。

さらに自然変換 $\partial :H_n(X,A)\to H_{n-1}(A)$ が付きます。ここで $H_{n-1}(A)$ は $H_{n-1}(A,\varnothing )$ の略記です。

この組が下の公理をみたすとき、ホモロジー論と呼びます^[2]。関手性、つまり恒等写像と合成の規則は定義に含まれています。

公理 1: ホモトピー不変性

対の写像 $f_0,f_1:(X,A)\to (Y,B)$ がホモトピックなら、誘導される準同型は等しくなります。

$$f_0\simeq f_1⟹(f_0{)}_{\ast }=(f_1{)}_{\ast }$$

ホモトピー同値な空間は同じホモロジーを持つ、という日ごろ使う性質が、ここから出ます。可縮な空間が $1$ 点と同じ値になるのもこれ。

公理 2: 完全性

各対 $(X,A)$ に対し、次の列が完全になります。

$$\cdots \to H_n(A)\to H_n(X)\to H_n(X,A)\stackrel{\partial }{\to }{H}_{n-1}(A)\to \cdots$$

計算のほとんどはこの列の上で進みます。$3$ 項のうち $2$ 項が分かれば、残りに強い制限がかかる仕組みです。

公理 3: 切除

$\overline{U}\subseteq \mathrm{int}A$ なら、包含が同型を誘導します。

$$H_n(X\setminus U,A\setminus U)\stackrel{\cong }{\to }{H}_n(X,A)$$

ホモロジーが局所的な情報の貼り合わせで決まる、という性質を保証する公理です。ほかの公理を認めれば、Mayer-Vietoris 完全列と同値になります^[1]。

公理 4: 次元

$1$ 点の空間 $P$ に対して、$0$ 次以外がすべて消えます。

$$H_n(P)=0(n\ne 0)$$

$H_0(P)$ に来るアーベル群を係数群といいます。整数 $\mathbb{Z}$ をとれば、ふだんの特異ホモロジーになります^[4]。

$5$ つのうち、この公理だけが後で外されます。外した先に別の世界が広がっている、という構図です。

公理 5: 加法性

$X$ が空間の直和 ${\coprod }_{\alpha }{X}_{\alpha }$ のとき、ホモロジーも直和に分かれます。

$$H_n(X)\cong \underset{\alpha }{⨁}{H}_n(X_{\alpha })$$

もともとの 7 つの公理には入っておらず、ミルナーが後から加えたものです^[3]。無限個の成分を扱うときに要ります。

有限個なら完全性から従うので、有限 $CW$ 複体だけを相手にするなら気にせずに済みます。

例: 特異ホモロジーは公理をみたす

特異ホモロジーが各公理をみたすことは、どれも標準的な定理です。

ホモトピー不変性は角柱作用素、完全性は蛇の補題、切除は重心細分から出ます。次元公理は、$1$ 点への特異単体が各次数に $1$ つずつしかないことから直に確かめられます。

加法性も、特異単体の像が連結なので成分ごとに分かれる、という観察で済みます。

つまり特異ホモロジーはホモロジー論の $1$ つです。ここまでは出発点にすぎません。

公理から懸垂の同型が出る

公理の威力を見ます。空間 $X$ の懸垂 $SX$ を、上下 $2$ つの円錐 $C_{+}$, $C_{-}$ で覆いましょう。

円錐は可縮なので、ホモトピー不変性から ${\tilde{H}}_n(C_{\pm })=0$ です。交わりは $X$ へ変形レトラクトします。

切除と完全性を組み合わせると、次数が $1$ つずれた同型が出ます。

$${\tilde{H}}_n(X)\cong {\tilde{H}}_{n+1}(SX)$$

使ったのはホモトピー不変性、完全性、切除の $3$ つだけ。特異ホモロジーの構成には一度も触れていません。

例: 公理だけで球面が決まる

$S^0$ は $2$ 点なので、加法性と次元公理から ${\tilde{H}}_0(S^0)\cong G$、他は $0$ です。ここで $G$ は係数群。

$S^n$ は $S^{n-1}$ の懸垂なので、前の同型を $n$ 回使えます。

$${\tilde{H}}_k(S^n)\cong \{\begin{array}{ll}G& (k=n)\\ 0& (k\ne n)\end{array}$$

球面の値が構成によらずに決まりました。ここから先、$CW$ 複体は球面の貼り合わせなので、話が一気に進みます。

一意性定理

$2$ つのホモロジー論 $H_{\ast }$ と $K_{\ast }$ のあいだに自然変換があり、$1$ 点の上で同型だとします。

このとき有限 $CW$ 複体の対の上で、その自然変換はすべての次数で同型です^[3]。

証明は骨格についての帰納法です。$0$ 骨格は点の直和なので仮定から同型。$n$ 骨格から $n+1$ 骨格へ上がるとき、対の長完全列と $5$ つの補題を使います。

球面の値が公理から決まっていたので、胞体を貼る各段でも同型が保たれます。

係数群 $G$ を固定すれば、公理をみたすホモロジー論は本質的に $1$ つ。これが冒頭の疑問への答えです。

例: 単体ホモロジーと特異ホモロジー

単体複体 $K$ の単体ホモロジーは、有限個の自由アーベル群の複体から作ります。計算は行列の基本変形だけで済みます。

いっぽう特異ホモロジーは無限生成の巨大な複体から作ります。定義の見た目は似ていません。

単体ホモロジーも公理をみたし、$1$ 点で $\mathbb{Z}$ を返します。一意性定理から、有限単体複体の上では両者が一致します。

$$H_n^{△}(K)\cong H_n(|K|)$$

計算は易しいほうで、理論は一般に使えるほうで。この使い分けが成り立つ根拠が一意性定理です。

例: 胞体ホモロジーも同じ

$CW$ 複体では、骨格の対から作る胞体鎖複体があります。$n$ 次の群は $n$ 胞体の個数ぶんの自由アーベル群でした。

これも公理をみたすので、特異ホモロジーと一致します。トーラスなら $4$ 個の胞体、射影平面なら $3$ 個で計算が終わる。

同じ空間に $3$ 通りの計算法があり、どれで計算してもよい。公理の一意性が、その自由を保証しています。

係数を変えても公理は生きる

次元公理で $H_0(P)=G$ とだけ決めたので、$G$ は好きなアーベル群にできます。

$G=\mathbb{Z}/2$ をとると符号が消え、向きづけを気にせず計算できます。$G=\mathbb{Q}$ をとるとねじれが消え、ベッチ数だけが残ります。

$S^n$ の値がそのまま $G$ になることは、上の計算からすでに分かっています。係数を変える操作は、公理の枠の中に最初から用意されていました。

次元公理を外す

$5$ つのうち次元公理だけを落とすと、$1$ 点のホモロジーが $0$ 次以外にも値を持てます。こうして得られる理論を一般ホモロジー論といいます^[2]。

残りの公理はそのままなので、完全列も切除も懸垂の同型も使えます。計算の道具立ては変わりません。

変わるのは出発点です。$1$ 点の値、すなわち係数が、$1$ つの群ではなく群の列になる。

例: 安定ホモトピー群

球面の安定ホモトピー群を並べたものは、一般ホモロジー論になります^[3]。

$1$ 点での値は球面の安定ホモトピー群そのもので、高い次数にも有限群が次々に現れます。$0$ 次は $\mathbb{Z}$、その先は有限群が続く。

ふつうのホモロジーが情報を落としていたぶんを、この理論は拾っています。そのかわり計算はきわめて難しく、いまも完全には分かっていません。

例: 複素 K 理論

ベクトル束の同値類から作る理論です^[5]。$1$ 点の上のベクトル束は自明なので、階数だけで分類されます。

$$K^0(\mathrm{pt})\cong \mathbb{Z},K^{-1}(\mathrm{pt})=0$$

ボット周期性により、$2$ つずらすと同じ群に戻ります。よって係数は $\mathbb{Z},0,\mathbb{Z},0,\dots$ と無限に続きます。

有限次元の空間でも、いくらでも高い次数に $0$ でない群が現れる。次元公理が破れている様子が、いちばんはっきり見える例です。

例: 非向き付けボルディズム

$n$ 次元閉多様体を、境界を共有するかどうかで分類した群です。$1$ 点の上の値は、多様体そのもののボルディズム類になります。

トムの定理により、この環は ${\mathbb{F}}_2$ 上の多項式環です^[6]。生成元は $i\ne 2^j-1$ の各次数に $1$ つずつ入ります。

低い次数を書き出します。

$$N_0=\mathbb{Z}/2,N_1=0,N_2=\mathbb{Z}/2,N_3=0,N_4=\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/2$$

$2$ 次の生成元は実射影平面です。$0$ 次より上に値が並んでいるので、次元公理は成り立ちません。

多様体を数える問題が、ホモロジー論の言葉に翻訳されました。公理から外れた $1$ つの条件が、こういう理論を招き入れています。

コホモロジーの公理

矢印の向きをすべて逆にすると、コホモロジー論の公理になります。関手は反変になり、境界作用素は次数を $1$ つ上げます。

加法性のところだけ形が変わります。直和が直積に化けるためで、コホモロジーが積で振る舞う性質はここに由来します。

次元公理を落とせば一般コホモロジー論です。$K$ 理論もボルディズムも、ふつうはコホモロジーの側で語られます^[2]。

参考文献