重なり方だけを写しとる〜Čech コホモロジーと被覆の神経

空間を開集合で覆い、どこがどう重なっているかだけを記録する。その重なり方から作るコホモロジーが Čech コホモロジーです^[1]。

点や単体を数えるかわりに、被覆の交わりを数えます。多様体でも、$CW$ 複体の構造を持たない空間でも、開集合さえとれれば動く。

以下では神経の作り方から始め、複体と余境界作用素、細分の極限、そして特異コホモロジーと一致する条件までを見ます。

被覆の神経

開被覆 $\mathcal{U}=\{U_i\}$ をとります。添字の有限個の組 $\{i_0,\dots ,i_q\}$ に対し、共通部分が空でなければ $q$ 単体を置く。

こうしてできる単体複体を、被覆の神経といい $N(\mathcal{U})$ と書きます^[3]。

$0$ 単体は開集合そのもの、$1$ 単体は $2$ 枚の重なり、$2$ 単体は $3$ 枚の重なりです。空間の点はもう出てきません。

例: 円周を 3 つの弧で覆う

円周を、両隣と少しずつ重なる $3$ つの弧で覆います。どの $2$ 枚も重なり、$3$ 枚すべての共通部分は空です。

神経は頂点 $3$、辺 $3$、面なしの複体になります。三角形の周そのもの。

三角形の周は円周と同相です。もとの空間が神経として復元されました。

$4$ 枚、$5$ 枚と増やしても同じで、$n$ 角形の周が出ます。どれも円周とホモトピー同値です。

Čech 複体と余境界

係数をアーベル群 $A$ にとります。$q$ 次のコチェインは、$q+1$ 枚の重なりそれぞれに $A$ の元を割り当てたものです。

$$C^q(\mathcal{U};A)=\prod _{i_0<\cdots <i_q}A$$

余境界作用素は交代和で決めます^[2]。

$$(\delta s{)}_{i_0\cdots i_{q+1}}=\sum _{k=0}^{q+1}(-1{)}^k{s}_{i_0\cdots \widehat{i_k}\cdots i_{q+1}}$$

$\widehat{i_k}$ は添字を $1$ つ落とす記号です。$\delta \circ \delta =0$ は、落とす順序を入れ替えると符号が反転することから出ます。

この複体のコホモロジーを $H^q(\mathcal{U};A)$ と書きます。被覆を決めるごとに $1$ つ定まる群です。

例: 2 枚の被覆で円周を計算する

円周を上下 $2$ つの弧 $U_0$, $U_1$ で覆います。$3$ 枚の重なりがないので、複体は $2$ 段で終わります。

$U_0$ と $U_1$ はどちらも連結なので $C^0=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ です。交わりは左右 $2$ か所に分かれるため $C^1=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$。

余境界は、$2$ か所それぞれで差をとります。

$$\delta (a,b)=(b-a,b-a)$$

核は $a=b$ の組で $\mathbb{Z}$、像は対角線 $\{(c,c)\}$ です。

$$H^0=\mathbb{Z},H^1=(\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z})/\{(c,c)\}\cong \mathbb{Z}$$

円周の値と合っています。片方の重なりで値をそろえると、もう片方に残る差が消せない。その $1$ つの整数が $1$ 次コホモロジーです。

$2$ 枚のときだけ神経が線分になり、円周と形が違います。コホモロジーの値は正しく出たのに、神経は形を写していません。

細分と極限

被覆を変えると値が変わるかもしれません。そこで細かい被覆へ移る操作を用意します。

$\mathcal{V}$ が $\mathcal{U}$ の細分であるとは、各 $V_j$ がある $U_{h(j)}$ に含まれること。細分は $H^q(\mathcal{U})\to H^q(\mathcal{V})$ を誘導します^[2]。

細分の順序について極限をとったものが、空間の Čech コホモロジーです。

$${\check{H}}^q(X;A)=\underset{\mathcal{U}}{\underrightarrow{\lim }}{H}^q(\mathcal{U};A)$$

これで被覆の選び方に依存しなくなりました。実際の計算では、極限をとらずに済む被覆を最初から選びます。

神経定理

いつ極限をとらずに済むのか。答えが神経定理です。

被覆 $\mathcal{U}$ が良い被覆であるとは、空でない有限個の共通部分がすべて可縮になること^[3]。

良い被覆なら、神経の実現が空間とホモトピー同値になります。

$$|N(\mathcal{U})|\simeq X$$

そこまで言えれば、コホモロジーは神経の側で計算できます。無限の極限が、有限の単体複体に置き換わる。

例: 球面を 4 枚で覆う

$S^2$ を、四面体の各面を少し膨らませた $4$ 枚の開集合で覆います。どの共通部分も可縮な小片です。

神経は頂点 $4$、辺 $6$、面 $4$ の複体、つまり四面体の表面になります。

$${\check{H}}^q(S^2;\mathbb{Z})\cong H^q(\partial {\Delta }^3;\mathbb{Z})=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (q=0,2)\\ 0& (q=1)\end{array}$$

球面のコホモロジーが、$4$ 個の頂点と $6$ 本の辺の数え上げで出ました。

例: 良い被覆でないと落ちる

同じ $S^2$ を、上下 $2$ 枚の膨らませた円板で覆ってみます。

$3$ 枚の重なりがないので $C^q=0$（$q\ge 2$）です。$2$ 次のコホモロジーは、はじめから出てきません。

$$H^0=\mathbb{Z},H^1=0,H^2=0$$

正しい値は $H^2=\mathbb{Z}$ でした。$2$ 枚の交わりが赤道のまわりの帯で、可縮でないことが原因です。

粗い被覆では、共通部分の中に隠れた穴が見えません。良い被覆という条件は、そこを塞ぐためにあります。

特異コホモロジーとの一致

比べる相手は特異コホモロジーです。一致する条件はかなりゆるく、次が知られています^[1]。

$X$ が $CW$ 複体とホモトピー同値なら、両者は自然に同型です。パラコンパクトなハウスドルフ空間でも、すべての次数で一致します^[2]。

日ごろ扱う空間はこの範囲に収まります。多様体も $CW$ 複体も、どちらも入っています。

$0$ 次と $1$ 次については、条件なしで一致します。低い次数だけなら、空間の性質を問わずに使える。

例: ワルシャワの円

一致しない空間もあります。$\sin (1/x)$ のグラフに縦線分と弧をつないだ図形を、ワルシャワの円といいます^[4]。

見た目は円ですが、縦線分のところで局所連結性が壊れています。弧状連結でもありません。

特異ホモロジーは正の次数がすべて消えます。ホモトピー群も自明です。それでも $1$ 点にホモトピー同値ではありません。

いっぽう Čech の側では、どの被覆の神経も円周と同じ形になります。極限をとっても円周のままです。

$${\check{H}}^1\cong \mathbb{Z}$$

道でたどれない穴を、開集合の重なりが拾いました。局所の様子が悪い空間では、$2$ つの理論が分かれます。

係数を層にとる

割り当てる先を、群ではなく層の切断にすると、そのまま層コホモロジーの計算法になります^[2]。

定数層をとった場合が、ここまで見てきた形です。$0$ 次は各連結成分に $1$ つずつ値を選ぶことなので、成分の個数だけ $A$ が並びます。

一般の層では、共通部分の上で高次コホモロジーが消える被覆を選ぶ必要があります。良い被覆の条件が、層の言葉で言い直された形。

被覆の重なりだけを見るという方針は変わりません。変わるのは、重なりの上に何を置くかだけです。

参考文献