「輪が縮むなら球面」を 100 年かけて示す｜ポアンカレ予想と幾何化予想

どんな輪も $1$ 点へ縮められる閉じた $3$ 次元多様体は、$3$ 次元球面に限る。ポアンカレが 1904 年に問いとして置いた主張です^[1]。

$100$ 年近く未解決のまま残り、ペレルマンが 2003 年に決着させました。しかも、はるかに強い幾何化予想を示すという形で。

以下では主張の確かめ方から始め、次元ごとの歴史、幾何化予想の中身、そしてリッチ流による証明の筋を扱います。

主張

$M$ を閉じた連結な $3$ 次元多様体とし、基本群が自明だとします。このとき $M$ は $S^3$ と同相です^[1,3]。

基本群が自明とは、どんな閉じた輪も $1$ 点へ縮められるという意味です。単連結ともいいます。

$2$ 次元では対応する主張が古くから知られています。単連結な閉曲面は球面だけ、というのは曲面の分類定理の一部です。

ポアンカレ自身の反例

最初にポアンカレが考えたのは、もっと弱い条件でした。ホモロジー群が球面と一致すれば球面だろう、という形です^[1]。

1904 年に自分で反例を作ります。ホモロジー球面と呼ばれる $3$ 次元多様体で、ホモロジーが $S^3$ とすべて一致します。

それでも基本群は位数 $120$ の二項正二十面体群で、自明ではありません。可換化すると消えてしまうため、ホモロジーには見えない。

そこで条件を基本群にとり替え、問いとして書き直しました。反例を作ったことが、正しい問いの形を決めた場面です。

高い次元から解けた

不思議なことに、高い次元のほうが先に片づきました^[3]。

スメールが 1961 年に $5$ 次元以上で示します。モース理論とハンドル体の操作を使う証明で、ハンドルを打ち消し合わせて減らしていきます。

$4$ 次元はフリードマンが 1982 年に示しました。位相多様体としての主張です。

$3$ 次元だけが残りました。次元が低いと動かす余地が少なく、ハンドルの打ち消しが効きません。

なお $4$ 次元の滑らかな版は、いまも未解決です^[1]。位相同型な $2$ つの $4$ 次元多様体が微分同相かどうかは分かっていません。

幾何化予想

サーストンは 1970 年代に、はるかに強い予想を立てました^[2]。

向きづけられた素な閉 $3$ 次元多様体は、いくつかのトーラスに沿って切ることで、有限体積の幾何構造を持つ部分に分かれる。

$2$ 次元では、閉曲面がすべて球面幾何・ユークリッド幾何・双曲幾何のどれかを持ちます。その $3$ 次元版にあたる主張です。

切ってから幾何を入れる、という $2$ 段構えになっている点が $2$ 次元との違いです。

サーストンの 8 つの幾何

$3$ 次元では、モデルとなる幾何が $8$ 種類あります^[2]。

双曲幾何がいちばん多く現れます。既約で、中にトーラスがなく、基本群が無限なら双曲になる^[2]。

ポアンカレ予想は系になる

幾何化予想を認めると、ポアンカレ予想はすぐ出ます^[2]。

単連結な閉 $3$ 次元多様体は素で、中に切るべきトーラスがありません。よって $1$ つの幾何構造が全体に入ります。

$8$ つのうち、単連結で有限体積になるモデルは球面幾何だけです。基本群が自明なので商をとる余地もなく、$S^3$ そのものになります。

強い主張を示して弱い主張を系として得る。遠回りに見えて、こちらの道が通りました。

リッチ流

ハミルトンが 1982 年に導入した方法です。多様体にリーマン計量を入れ、時間について変形させます^[1]。

$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2\mathrm{Ric}(g)$$

曲率の高いところが縮み、低いところが広がります。熱が均されるのと似た振る舞いで、計量が一様な形へ寄っていく。

うまく行けば、流れの果てに幾何構造が現れます。多様体の形が、方程式を解いた先に出てくる。

手術が要る理由

そのままでは流れが止まります。有限時間で曲率が発散し、細くくびれた場所ができるためです。

ハミルトンの計画は、特異点が現れたらそこを切り、球で塞いでから流しを再開する、というものでした。手術付きリッチ流といいます^[1]。

問題は、特異点の形が分からないことと、手術が無限に続くかもしれないことでした。ここで計画が止まっていました。

ペレルマンの仕事

2002 年から 2003 年にかけて、ペレルマンが $3$ 本の論文をアーカイブに置きます^[1,3]。

特異点の形が単純なもの、つまり球面か円柱に限られると示しました。どこをどう切ればよいかが決まります。

さらに、単連結な $3$ 次元多様体では手術が有限回で終わることを示しました。流れが有限時間で消えてしまい、多様体が球面だったと分かる。

$3$ 本あわせて 70 ページほどの短さです。検証には数年かかり、複数の研究班が細部を埋めました^[1]。

ペレルマンはフィールズ賞もクレイ研究所の $100$ 万ドルも辞退しています。ハミルトンの寄与が自分と同等だ、という理由でした。

例: レンズ空間

球面幾何が入る例を見ます。$S^3$ に有限巡回群を自由に作用させ、商をとったものがレンズ空間でした。

作用が球面の計量を保つので、商にも球面幾何がそのまま落ちます。基本群は $\mathbb{Z}/p$ で有限です^[2]。

球面幾何を持つ閉多様体は、どれも $S^3$ の有限群による商として書けます。基本群が有限であることが、この幾何の目印になります。

例: 3 次元トーラス

ユークリッド幾何の代表例が $T^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ です。平行移動の群で割っただけなので、平らな計量が落ちます。

基本群は ${\mathbb{Z}}^3$ で無限ですが、可解群です。曲率が $0$ の幾何では、基本群がこの程度までしか大きくなれません。

ユークリッド幾何を持つ閉 $3$ 次元多様体は $10$ 種類しかありません^[2]。向きづけ可能なものは $6$ 種類です。

例: 8 の字結び目の補空間

双曲幾何の例として、いちばん有名なものを挙げます。$8$ の字結び目の補空間には完備な双曲構造が入ります。

正四面体を $2$ つ、頂点が無限遠へ抜けた形で貼り合わせると作れます。体積は $2.02988$ ほどで、双曲結び目の中で最小です。

体積が具体的な数として決まるので、そのまま不変量になります。$2$ つの双曲多様体の体積が違えば、同相ではありません。

三葉結び目の補空間は双曲になりません。中に本質的なトーラスがあり、ザイフェルト多様体として $SL(2,\mathbb{R})$ の幾何に入ります。

例: 分解の手順

一般の閉 $3$ 次元多様体では、$2$ 段階で分けます^[2]。

まず連結和について素な部分に分けます。$2$ 次元球面に沿って切り、球で塞ぐ操作です。この分解は一意に定まります。

次に、素な部分をトーラスに沿って切ります。JSJ 分解といい、こちらも一意です。

出てきた部分に、$8$ つのどれかの幾何が入る。切る道具が球面とトーラス、という点が $3$ 次元の特徴です。

例: 双曲多様体が多いこと

$8$ つのうち $7$ つは、比較的狭い条件のもとでしか現れません。

球面幾何は基本群が有限の場合、ユークリッド幾何は $10$ 種類だけ、$S^2\times \mathbb{R}$ は $4$ 種類だけです^[2]。

残りはほとんど双曲です。既約で、中に本質的なトーラスがなく、基本群が無限、という条件がそろえば双曲になります。

体積が最小の双曲 $3$ 次元多様体はウィークス多様体と呼ばれ、値が具体的に知られています。双曲多様体では体積そのものが不変量になる、という事情もあります。

参考文献