テンソル積はどこで壊れるか｜Tor と Ext の作り方

テンソル積は完全列を完全列のまま送りません。左端で単射性が壊れます。

壊れ具合を測るために置かれた群が $Tor$ です。 $Hom$ のほうは右端で全射性が壊れ、そこを測る群が $Ext$ です^[1]。

以下では壊れる様子を計算で見てから、自由分解による定義、計算規則、そして $Ext$ と拡大の対応まで扱います。

テンソル積が壊れるところ

$- \otimes B$ は右完全です。短完全列に当てると、右端の $3$ 項だけが完全のまま残ります。

具体例で確かめましょう。次の短完全列に $\otimes Z /2$ を当てます。

$0 \to Z 2 Z \to Z /2 \to 0$

$Z \otimes Z /2 = Z /2$ で、 $2$ 倍写像は $Z /2$ の上では $0$ 写像です。

$Z /2 0 Z /2 \to Z /2 \to 0$

左端に $0$ を付けたら完全になりません。核が $Z /2$ ぶん余っています。

この余りが $Tor (Z /2, Z /2) = Z /2$ です。

自由分解

測るための道具立てを作ります。アーベル群 $A$ に対し、自由群による分解をとります。

$\dots \to F_{2} \to F_{1} \to F_{0} \to A \to 0$

各 $F_{i}$ は自由で、列は完全です。生成元と関係式を書き下せば、いつでも作れます。

整数を係数とする場合は短くて済みます。自由アーベル群の部分群は自由なので、 $2$ 段で終わる分解がとれます。

$0 \to F_{1} \to F_{0} \to A \to 0$

Tor の定義

分解から $A$ を外し、残った複体に $\otimes B$ を当てます。

$\dots \to F_{2} \otimes B \to F_{1} \otimes B \to F_{0} \otimes B \to 0$

この複体の $i$ 次ホモロジーを $Tor_{i} (A, B)$ と定めます^[1,4]。テンソル積の左導来関手、という言い方をします。

$0$ 次は $A \otimes B$ そのものです。 $- \otimes B$ が右完全なので、 $0$ 次では何も新しくなりません。

情報が出てくるのは $1$ 次からです。整数係数では $2$ 次以上がすべて $0$ になります。分解が $2$ 段で終わるためです。

例: 巡回群の分解

$A = Z / n$ の分解は $1$ 行で書けます。

$0 \to Z n Z \to Z / n \to 0$

$Z / n$ を外して $\otimes B$ を当てると、 $B n B$ という $1$ 本の写像だけが残ります。

$1$ 次ホモロジーはこの写像の核です。

$Tor (Z / n, B) ≅ B [n] = {x \in B ∣ n x = 0}$

$0$ 次は余核で、 $B / n B$ 、つまり $Z / n \otimes B$ です^[2]。

例: 巡回群どうし

$B = Z / m$ とします。 $Z / m$ の中で $n$ 倍して $0$ になる元を数えます。

$n x \equiv 0 (mod m)$ の解は $g cd (n, m)$ 個です。

$Tor (Z / n, Z / m) ≅ Z / g cd (n, m)$

$Tor (Z /6, Z /4) = Z /2$ 、 $Tor (Z /2, Z /3) = 0$ です^[2]。

互いに素なら消えます。ねじれどうしが重なる部分だけを拾っている、と読めます。

分解のとり方によらない

$2$ つの自由分解をとると、恒等写像を延長する複体の射が作れます。行き先が自由なので、各段で写像を持ち上げられるからです。

そのような射は鎖ホモトピーを除いて一意になります。よってホモロジーの上では同じ写像を誘導します。

両向きに射をとると、合成が恒等写像にホモトピックです。ホモロジーの上では互いに逆の同型になり、群は同型を除いて定まります^[5]。

分解は $1$ 通りではないのに答えは $1$ つ。導来関手の構成は、どれもこの筋で正当化されます。

Tor の性質

計算でよく使う性質を並べます。

自由な群や平坦な加群では消える。

Tor (Z^{r}, B) = 0

。

入れ替えても変わらない。

Tor (A, B) ≅ Tor (B, A)

。

直和とは交換する。成分ごとに計算してよい。

短完全列に対して長完全列が伸びる。

対称性は定義からは見えません。 $A$ 側で分解をとったのに、 $B$ 側で分解をとっても同じ答えが出る、という主張です^[2]。

長完全列は次の形になります。

$0 \to Tor (A^{'}, B) \to Tor (A, B) \to Tor (A^{''}, B) \to A^{'} \otimes B \to A \otimes B \to A^{''} \otimes B \to 0$

いちばん左に $0$ が来るのは、 $2$ 次以上が消える整数係数だからです。

Hom が壊れるところ

$Hom (-, B)$ は反変で左完全です。今度は右端の全射性が壊れます。

さきほどの短完全列に $Hom (-, Z)$ を当てます。

$0 \to Hom (Z /2, Z) \to Hom (Z, Z) 2 Hom (Z, Z)$

左端は $0$ です。 $Z$ には位数 $2$ の元がありません。

右の $2$ 倍写像は $Z \to Z$ で、全射ではありません。余りは $Z /2$ 。

この余りが $Ext^{1} (Z /2, Z) = Z /2$ です。

Ext の定義

作り方は $Tor$ と同じ $3$ 段です。 $A$ の自由分解をとり、 $A$ を外し、 $Hom (-, B)$ を当てます。

$0 \to Hom (F_{0}, B) \to Hom (F_{1}, B) \to \dots$

矢印の向きが逆になるので、複体はコチェイン複体になります。その $i$ 次コホモロジーが $Ext^{i} (A, B)$ です^[3,5]。

$0$ 次は $Hom (A, B)$ です。左完全なので、こちらも $0$ 次では新しくなりません。

例: 巡回群の Ext

$Z / n$ の分解に $Hom (-, B)$ を当てると、 $B n B$ が残ります。 $Tor$ のときと同じ写像です。

違うのはどちらを読むかです。核ではなく余核をとります。

$Ext^{1} (Z / n, B) ≅ B / n B, Hom (Z / n, B) ≅ B [n]$

$Tor$ と $Hom$ が核を、 $\otimes$ と $Ext$ が余核を見ている。 $4$ つの関手が $1$ 本の写像の両端に割り当てられています。

$B = Z$ とすると $Ext^{1} (Z / n, Z) = Z / n$ 、 $Hom (Z / n, Z) = 0$ です^[3]。

Ext と拡大

$Ext$ という名前は拡大から来ています。 $Ext^{1} (A, B)$ の元は、次の形の短完全列の同値類と $1$ 対 $1$ に対応します^[3]。

$0 \to B \to E \to A \to 0$

零元にあたるものは直和 $E = A \oplus B$ です。分裂する拡大、と言い直せます。

$Ext^{1} = 0$ なら拡大は分裂するものしかありません。 $Z$ が自由なので $Ext^{1} (Z, B) = 0$ 、つまり $Z$ による拡大はいつでも分裂します。

例: 拡大が 2 通りある場合

$A = B = Z /2$ とします。上の規則で $B /2 B$ を計算すると $Ext^{1} (Z /2, Z /2) ≅ Z /2$ となり、元は $2$ つ。

対応する拡大を書き出します。

$0 \to Z /2 \to Z /2 \oplus Z /2 \to Z /2 \to 0$

$0 \to Z /2 \to Z /4 \to Z /2 \to 0$

前者が零元、後者が $0$ でない元です。位数 $4$ の群が $2$ 種類あることと、群の個数がぴったり合っています。

$Ext^{1} (Z /2, Z /3) = 0$ なら拡大は $1$ 通りだけ。実際、位数 $6$ のアーベル群は $Z /6$ しかありません。

高次はどこへ消えるか

整数を係数とするかぎり、 $Tor_{i}$ も $Ext^{i}$ も $i \geq 2$ で $0$ です。

理由は分解の短さにあります。自由アーベル群の部分群は自由なので、 $F_{1} \to F_{0}$ の核をとった時点で分解が閉じます。

より一般の環では事情が変わり、高次が生き残ります。多項式環の変数が $n$ 個なら、 $n$ 次まで出てくる。

位相幾何で係数を整数にとるかぎり、 $Tor_{1}$ と $Ext^{1}$ だけを覚えれば足ります。添字を省いて $Tor$ 、 $Ext$ と書く習慣は、この事情から来ています。

参考文献

Derived functor - Wikipedia（英語）

Tor functor - Wikipedia（英語）

Ext functor - Wikipedia（英語）

Abgeleiteter Funktor - Wikipedia（ドイツ語）

Foncteur dérivé - Wikipédia（フランス語）

完全列にテンソル積を当てると左端の単射性が崩れ、$\mathrm{Hom}$ を当てると右端の全射性が崩れます。崩れ幅を測るために自由分解をとり、関手を当ててホモロジーを読む。この 3 段が導来関手の作り方です。$\mathbb{Z}/n$ の分解 1 本から $\mathrm{Tor}$ と $\mathrm{Ext}$ が核と余核として同時に出てくる様子、$\mathbb{Z}/4$ と $\mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2$ が拡大の 2 元に対応すること、整数係数では $2$ 次以上が消える理由まで。