中身が分かれば外側が決まる（アレクサンダー双対性）

球面の中に図形を置き、その外側を眺める。外側のホモロジーが、中身のコホモロジーだけで決まってしまいます^[1]。

次数はひっくり返ります。$q$ 次を知りたければ、中身の $n-q-1$ 次を見る。

以下では主張と例を並べ、結び目の補空間、向きづけできない曲面の埋め込み、そして組み合わせ版まで扱います。

主張

$X$ を $S^n$ の空でないコンパクトな部分空間とし、局所可縮だとします。次の同型が成り立ちます^[1,2]。

$${\tilde{H}}_q(S^n\setminus X)\cong {\tilde{H}}^{n-q-1}(X)$$

係数はどのアーベル群でも通ります。局所可縮という条件は、コホモロジーを Čech でとれば外せます。

簡約をとっている点が大事です。$0$ 次の $\mathbb{Z}$ を引いた形どうしが対応します。

例: 1 点を抜く

$X$ を $1$ 点とします。${\tilde{H}}^q(X)=0$（すべての $q$）なので、右辺はいつでも $0$。

したがって $S^n\setminus X$ の簡約ホモロジーはすべて消えます。$1$ 点を抜いた球面は ${\mathbb{R}}^n$ で、たしかに可縮です。

例: 2 点を抜く

$X=S^0$、つまり $2$ 点とします。${\tilde{H}}^0(S^0)\cong \mathbb{Z}$ で、ほかの次数は $0$ です。

右辺が $0$ でないのは $n-q-1=0$、つまり $q=n-1$ のときだけ。

$${\tilde{H}}_q(S^n\setminus S^0)\cong \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (q=n-1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$

$2$ 点を抜いた球面は $S^{n-1}$ とホモトピー同値です。$S^2$ から $2$ 点を抜くと円筒になり、円周に縮む。合っています。

例: 円周を抜く

$n=2$、$X=S^1$ とします。${\tilde{H}}^0(S^1)=0$、${\tilde{H}}^1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ です。

$q=0$ では右辺が ${\tilde{H}}^1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ になります。

$${\tilde{H}}_0(S^2\setminus S^1)\cong \mathbb{Z}$$

簡約 $0$ 次が $\mathbb{Z}$ とは、連結成分が $2$ つという意味です。球面に埋め込まれた円周は、球面を $2$ つに分ける^[2]。

$q=1$ では ${\tilde{H}}^0(S^1)=0$ なので、各成分に穴はありません。分けられた $2$ つはどちらも円板と同じホモロジーを持ちます。

例: 球面の中の球面

$X=S^k\subseteq S^n$ とします。${\tilde{H}}^q(S^k)$ が $0$ でないのは $q=k$ のときだけ。

$n-q-1=k$ を解くと $q=n-k-1$ です。

$${\tilde{H}}_q(S^n\setminus S^k)\cong \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (q=n-k-1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$

補空間は $S^{n-k-1}$ と同じホモロジーを持ちます。埋め込み方がどれだけ絡んでいても、この答えは変わりません。

例: 結び目の補空間

$n=3$、$X$ を $S^3$ に埋め込まれた円周、つまり結び目 $K$ とします。$k=1$ なので $n-k-1=1$。

$${\tilde{H}}_1(S^3\setminus K)\cong \mathbb{Z},{\tilde{H}}_q(S^3\setminus K)=0(q\ne 1)$$

どんな結び目でも同じ値になります。三葉結び目でも、ほどけた円周でも、補空間のホモロジーは区別できません。

生成元は結び目のまわりを $1$ 周する小さなループです。何回まわったかを数える、それだけの群になっています。

結び目を見分けるには足りない

結び目の情報は補空間に全部入っています。補空間が同相なら結び目も同じだ、という定理があるからです^[4]。

それでもホモロジーでは足りません。上の計算のとおり、答えが結び目によらないためです。

基本群まで上がれば見分けられます。補空間の基本群を結び目群といい、こちらは結び目ごとに違います。

可換化すると $\mathbb{Z}$ につぶれる。$1$ 次ホモロジーが結び目を見分けられないのは、この可換化のせいです。

例: 絡み目の成分の個数

$X$ を $m$ 本の円周の直和とします。${\tilde{H}}^1(X)\cong {\mathbb{Z}}^m$、${\tilde{H}}^0(X)\cong {\mathbb{Z}}^{m-1}$ です。

$q=1$ では $n-q-1=1$ なので ${\mathbb{Z}}^m$ が出ます。

$${\tilde{H}}_1(S^3\setminus L)\cong {\mathbb{Z}}^m$$

成分の本数だけ生成元があり、それぞれの成分をまわるループに対応します。

$q=0$ では ${\tilde{H}}^2(X)=0$ なので、補空間は連結です。絡み目がどう絡んでいても、外側はひとつながり。

絡み方の違いはカップ積やマッセイ積に現れます^[1]。ホモロジー群だけでは、ボロミアン環と自明な絡み目が同じ値を返します。

例: 向きづけできない閉曲面は 3 次元球面に入らない

閉曲面 $\Sigma$ が $S^3$ に埋め込めたとします。$q=0$ で双対性を当てましょう。

$${\tilde{H}}_0(S^3\setminus \Sigma )\cong {\tilde{H}}^2(\Sigma )$$

左辺は連結成分の個数から $1$ を引いたぶんの自由アーベル群です。ねじれは絶対に持ちません。

$\Sigma$ が向きづけできないとすると、$H_2(\Sigma ;\mathbb{Z})=0$ で $H_1(\Sigma ;\mathbb{Z})$ にねじれが $\mathbb{Z}/2$ ぶんあります。普遍係数の関係から $H^2(\Sigma ;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/2$ です。

自由アーベル群が $\mathbb{Z}/2$ と同型になることはありません。矛盾します。

$$\text{クラインの壺も実射影平面も }{S}^3\text{ に埋め込めない}$$

$3$ 次元空間の中で自己交叉なしに作れない、という事実が、双対性 $1$ 本から出ました。

組み合わせ版

有限集合 $V$ を頂点集合とする抽象単体複体 $X$ に対し、双対複体を次で定めます^[1]。

$$X^{\ast }=\{\sigma \subseteq V\mid V\setminus \sigma \notin X\}$$

$X$ の面でない集合の補集合を集めたもの。$2$ 回とると元に戻ります。

$|V|=n$ とすると、次の同型が成り立ちます。

$${\tilde{H}}_q(X^{\ast })\cong {\tilde{H}}^{n-q-3}(X)$$

空間の埋め込みを持ち出さずに、集合の補集合をとるだけで双対がとれます。

例: 4 頂点で試す

$V=\{1,2,3,4\}$ とし、$X$ を辺 $\{1,2\}$ と辺 $\{3,4\}$ からなる複体とします。図形としては交わらない $2$ 本の線分で、$2$ 点と同じ形です。

双対を計算します。$\{1,2\}$ の補集合は $\{3,4\}$ で、これは $X$ の面なので $\{1,2\}$ は $X^{\ast }$ に入りません。$\{3,4\}$ も同じ理由で外れます。

残る $4$ 本の辺 $\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\}$ は、補集合が $X$ の面でないので入ります。頂点はすべて入ります。

$X^{\ast }$ は $1-3-2-4-1$ とめぐる $4$ 角形です。円周と同じ形になりました。

$X$ は $2$ 点と同じなので ${\tilde{H}}^0(X)\cong \mathbb{Z}$、${\tilde{H}}^1(X)=0$ です。

$n=4$ で公式に当てると、${\tilde{H}}_1(X^{\ast })\cong {\tilde{H}}^0(X)\cong \mathbb{Z}$、${\tilde{H}}_0(X^{\ast })\cong {\tilde{H}}^1(X)=0$。

計算した $4$ 角形の値と一致しました。$0$ 次と $1$ 次が入れ替わっています。

Čech で述べ直す

もとの主張には局所可縮という条件が付いていました。$X$ が悪い形をしていると、特異コホモロジーが役に立たないためです。

コホモロジーを Čech でとると条件が外れます^[1]。どんなコンパクト部分集合でも双対が成り立つ。

理由の側から見ると、双対性は空間の局所の様子ではなく、外から近づく開集合の系列で決まっています。空間の中を単体でたどる特異理論とは、相性の違いが出る。

安定ホモトピー論では、この双対がスパニエ・ホワイトヘッド双対として整理されます^[3]。補空間という具体物を、抽象的な双対対象に置き換えた形です。

参考文献