群から空間を作ってホモロジーをとる分類空間 BG

群 $G$ から空間を作り、その空間のホモロジーを群のホモロジーと呼ぶ。作られる空間が分類空間 $BG$ です^[1]。

群だけの世界にある問いが、空間の問いに翻訳されます。逆に、空間の側の道具がそのまま群論に使えるようになる。

以下では $K(G,1)$ の定め方から始め、代表的な例を並べ、群のホモロジーとの対応と主束の分類まで扱います。

K(G,1) 空間

連結な $CW$ 複体 $X$ が、${\pi }_1(X)\cong G$ をみたし、$n\ge 2$ ですべて ${\pi }_n(X)=0$ となるとき、$X$ を $K(G,1)$ 空間といいます^[3]。

ホモトピー群が $1$ 次にしかない空間です。普遍被覆が可縮であることと同値になります。

弱ホモトピー同値を除いて $1$ つに決まります^[3]。作り方を変えても同じものが出るので、$BG$ と書いて群の側から呼べる。

例: 円周

$S^1$ の普遍被覆は $\mathbb{R}$ で、可縮です。よって ${\pi }_n(S^1)=0$（$n\ge 2$）。

$$B\mathbb{Z}=S^1$$

${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ なので、円周は $\mathbb{Z}$ の分類空間です^[1]。

例: 無限次元実射影空間

$\mathbb{R}{P}^{\infty }$ は、$\mathbb{R}{P}^n$ を $n$ について並べた極限です。普遍被覆は $S^{\infty }$ で、こちらは可縮になります。

$$B(\mathbb{Z}/2)=\mathbb{R}{P}^{\infty }$$

有限次元では止まりません。$\mathbb{R}{P}^n$ は ${\pi }_n$ が $0$ でないので、$K(\mathbb{Z}/2,1)$ になりません。無限に胞体を足す必要があります。

例: トーラスと無限次元複素射影空間

$T^n={\mathbb{R}}^n/{\mathbb{Z}}^n$ の普遍被覆は ${\mathbb{R}}^n$ で可縮です。

$$B{\mathbb{Z}}^n=T^n$$

$\mathbb{C}{P}^{\infty }$ は $S^1$ を群として持つ場合の分類空間です^[1]。こちらは離散群ではないので、$K(\mathbb{Z},2)$ でもあります。

$$B{S}^1=\mathbb{C}{P}^{\infty }=K(\mathbb{Z},2)$$

群のホモロジー

群のホモロジーは、もともと代数的に定義されます。不変量をとる関手の導来関手として作る形です^[2]。

位相の側から見ると、分類空間のホモロジーと一致します。

$$H_n(G;M)\cong H_n(BG;M),H^n(G;M)\cong H^n(BG;M)$$

代数と位相の $2$ 通りの定義が同じものを与える、という定理です。計算しやすいほうを選べます。

例: 低い次数の意味

$0$ 次と $1$ 次と $2$ 次には、群論の言葉での言い換えがあります^[2]。

$H_1(G)\cong G^{\mathrm{ab}}$ です。$BG$ の基本群が $G$ なので、$1$ 次ホモロジーが可換化になる、という話と同じ内容になります。

$H_2(G)$ はシューア乗数と呼ばれます。群の中心拡大を分類する量です。

コホモロジーの側では、$H^2(G;M)$ が $M$ による拡大を分類します。$H^1(G;M)$ は交叉準同型を主交叉準同型で割ったものです。

例: 巡回群

$G=\mathbb{Z}/m$ とします。$BG$ は無限次元のレンズ空間で、胞体が各次元に $1$ 個ずつ並びます。

胞体鎖複体は $0$ と $m$ が交互になり、計算が短く済みます。

$$H_k(\mathbb{Z}/m;\mathbb{Z})=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (k=0)\\ \mathbb{Z}/m& (k\text{ が奇数})\\ 0& (k\text{ が偶数で }k\ge 2)\end{array}$$

コホモロジーでは偶奇が入れ替わり、偶数次に $\mathbb{Z}/m$ が並びます^[2]。

$m=2$ なら $\mathbb{R}{P}^{\infty }$ のホモロジーです。$1,3,5,\dots$ 次に $\mathbb{Z}/2$ が立つ、という値と合っています。

例: 有限群では有理係数が消える

$G$ を位数 $n$ の有限群とします。$1$ 次以上のホモロジーは、すべて $n$ 倍すると $0$ になります^[2]。

したがって有理係数では $1$ 次以上が消えます。

$$H_k(BG;\mathbb{Q})=0(k\ge 1)$$

有理ホモロジーの目には、有限群の分類空間が $1$ 点に見えます。情報はすべてねじれの側に入っている。

$BG$ が無限次元の複体なのに、有理係数では何も出ない。有限群の研究で、素数ごとの局所化が使われる理由がここにあります。

主束の分類

$BG$ という名前の由来はここにあります^[1]。

可縮な空間 $EG$ に $G$ が自由に作用しているとし、商を $BG$ とします。$EG\to BG$ を普遍主束といいます。

パラコンパクトな空間 $X$ 上の主 $G$ 束の同型類が、$X$ から $BG$ への写像のホモトピー類と $1$ 対 $1$ に対応します。

$$\{X\text{ 上の主 }G\text{ 束}\}⟷[X,BG]$$

束を $1$ つ作ることと、写像を $1$ つ選ぶことが同じになる。分類空間という名前のとおりです。

例: 直線束と円周

$G=\mathbb{Z}/2$ とします。主 $\mathbb{Z}/2$ 束は $2$ 重被覆と同じものです。

$X=S^1$ なら $[S^1,\mathbb{R}{P}^{\infty }]=H^1(S^1;\mathbb{Z}/2)\cong \mathbb{Z}/2$ です。$2$ 種類しかありません。

自明な束が $2$ 本の円、非自明な束が $1$ 本の円を $2$ 重に巻いたものです。メビウスの帯の境界にあたる被覆になります。

$G=S^1$ なら $BG=\mathbb{C}{P}^{\infty }$ で、$[X,\mathbb{C}{P}^{\infty }]=H^2(X;\mathbb{Z})$ です。複素直線束が $2$ 次コホモロジーの元で分類される、というよく使う事実になります。

表現定理

$K(G,n)$ にはもっと一般の性質があります^[3]。$G$ をアーベル群とすると次が成り立ちます。

$$[X,K(G,n)]\cong H^n(X;G)$$

コホモロジーが、$1$ つの空間への写像の集合として書けます。$n=1$ の場合が、上で見た被覆や束の分類でした。

コホモロジー類が幾何的な対象になる、という読み方ができます。カップ積や作用素も、空間の写像として理解できるようになる。

例: 群の性質を空間に翻訳する

$BG$ の性質から群の性質が読めます。$G$ が自由群なら $BG$ はグラフにとれるので、$2$ 次以上のホモロジーが消えます。

逆に $H_2(G)\ne 0$ なら、$G$ は自由群ではありません。群の表示を調べずに判定できる。

有限位数の元を持つ群では、$BG$ が有限次元にできません。有限次元の $K(G,1)$ があると、ねじれが $1$ 次以上のホモロジーを無限に生んでしまうためです。

群論の問いを空間の問いに移し、位相の道具で答える。分類空間はその通り道になっています。

参考文献