自由群の部分群はまた自由になる……グラフの基本群で示す

自由群の部分群は、また自由群になります^[1]。純粋に群論の主張ですが、いちばん見通しのよい証明は位相を使います。

自由群をグラフの基本群として実現し、部分群を被覆グラフとして読む。グラフの基本群がいつでも自由なので、それで終わります。

以下ではグラフの基本群から始め、被覆グラフで定理を証明し、指数の公式と具体例を並べます。

グラフの基本群

連結なグラフ $\Gamma$ をとります。頂点の個数を $V$、辺の本数を $E$ とします。

全域木 $T$ を $1$ つ選びます。$T$ は $V-1$ 本の辺を持ち、可縮です。

$T$ を $1$ 点につぶすと、$\Gamma$ は円の花束になります。残った辺の本数だけ円がある。

$${\pi }_1(\Gamma )\cong F_{E-V+1}$$

グラフの基本群はいつでも自由群です。階数は $1-\chi (\Gamma )$ にあたります^[3]。

例: 8 の字

頂点 $1$ 個、辺 $2$ 本のグラフが $8$ の字です。全域木は $1$ 点だけなので、輪は $2-1+1=2$ 本。

$${\pi }_1(S^1\vee S^1)\cong F_2$$

$n$ 個の円の花束なら $F_n$ になります。逆に、どんな自由群もこの形で実現できます^[3]。

例: 完全グラフ

$4$ 頂点の完全グラフ $K_4$ では $V=4$、$E=6$ です。

$${\pi }_1(K_4)\cong F_{6-4+1}=F_3$$

全域木は $3$ 本の辺を持ち、残る $3$ 本が輪を生みます。図の形がどうであれ、数え上げだけで階数が出ます。

被覆グラフ

$\Gamma$ の連結な被覆は、また連結なグラフです^[1,4]。

被覆写像は局所同相なので、頂点は頂点へ、辺は辺へ移ります。上の空間にグラフの構造がそのまま持ち上がる。

ここが証明の要です。被覆をとってもグラフのままなら、基本群は自由のままになります。

定理の証明

$F$ を自由群、$H$ をその部分群とします。

$F$ を階数ぶんの円の花束 $\Gamma$ の基本群として実現します。ガロア対応から、$H$ に対応する連結な被覆 $\tilde{\Gamma }\to \Gamma$ がとれます^[2]。

被覆はグラフなので、その基本群は自由です。いっぽう被覆の基本群は $H$ と同型でした。

$$H\cong {\pi }_1(\tilde{\Gamma })\cong \text{自由群}$$

これで証明が終わります^[4]。群論の主張が、グラフの絵 $1$ 枚で片づきました。

ニールセンが 1921 年に有限生成の場合を、シュライアーが 1926 年に一般の場合を示しています^[1]。

指数の公式

被覆の枚数が分かれば、部分群の階数が計算できます^[1,4]。

$F$ の階数を $r$、部分群 $H$ の指数を $e$ とします。

$$\mathrm{rank}(H)=1+e(r-1)$$

証明はオイラー標数の掛け算です。$e$ 枚の被覆では $\chi (\tilde{\Gamma })=e\cdot \chi (\Gamma )$ になります。

$\chi (\Gamma )=1-r$ なので $\chi (\tilde{\Gamma })=e(1-r)$、階数は $1-\chi (\tilde{\Gamma })=1+e(r-1)$ です。

例: 指数 2 の部分群

$F_2$ で $r=2$、$e=2$ とします。

$$\mathrm{rank}(H)=1+2\cdot 1=3$$

階数 $2$ の群の中に、階数 $3$ の部分群があります。生成元が増えている。

具体例を挙げます。$F(a,b)$ から $\mathbb{Z}/2$ への準同型で $a$ と $b$ をどちらも $1$ へ送ると、核は長さが偶数の語の集まりです。指数は $2$ で、階数は $3$ になります^[1]。

例: 階数が減らない

自由アーベル群では、部分群の階数がもとを超えません。${\mathbb{Z}}^n$ の部分群は ${\mathbb{Z}}^m$（$m\le n$）です。

自由群では逆になります。$r\ge 2$ なら、いくらでも大きい有限階数の自由部分群が入ります^[4]。

$e$ を大きくすれば $1+e(r-1)$ もいくらでも大きくなる。指数の公式がそのまま言っています。

可換なときと非可換なときで、振る舞いが正反対になる例です。

例: 交換子部分群

$F_2=F(a,b)$ の交換子部分群を見ます。商が ${\mathbb{Z}}^2$ なので、指数は無限です。

指数の公式は使えません。それでも自由であることは定理から言えます。

階数は可算無限です。$[a^m,b^n]$（$m,n$ は $0$ でない整数）が自由な生成系になります^[3]。

有限階数の群の中に、無限階数の部分群がある。可換化すると ${\mathbb{Z}}^2$ という小さな群になるのに、核は巨大です。

例: 階数 1 の場合

$r=1$、つまり $F=\mathbb{Z}$ で確かめます。

$$\mathrm{rank}(H)=1+e(1-1)=1$$

指数が何であっても階数は $1$ です。$\mathbb{Z}$ の部分群が $n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}$ になる、という古典的な事実にあたります^[4]。

対応する被覆は円周の $n$ 重被覆で、これも円周でした。グラフの側でも階数が変わらない。

例: 自由積との関係

$2$ つの群の自由積についても、似た定理があります。クロシュの部分群定理といいます。

自由積の部分群は、いくつかの共役の交わりと自由群との自由積になる。証明はやはり被覆空間を使います。

グラフを木にとり替え、群が作用する対象として扱う。この見方を進めたものが、群のグラフ上の作用を調べるバス・セール理論です。

自由群の部分群の話が、群論の広い枠組みへつながっていく出発点になっています。

参考文献