境界が A に落ちればサイクル - 相対ホモロジーと対の長完全列

部分空間 $A$ の中で起きていることを見ないことにして、 $X$ を眺める。相対ホモロジー $H_{n} (X, A)$ はそういう群です^[1]。

サイクルの条件がゆるみます。境界が $0$ になる必要はなく、 $A$ の中に落ちてくれればよい。

このゆるみのおかげで、 $X$ と $A$ と対のホモロジーが $1$ 本の長い完全列でつながります。以下では鎖複体の作り方から始め、連結準同型の構成、そして計算例を並べます。

相対鎖複体

$A \subseteq X$ とします。 $A$ の特異鎖は $X$ の特異鎖の部分群なので、商をとれます。

$C_{n} (X, A) = C_{n} (X) / C_{n} (A)$

境界作用素は $A$ の鎖を $A$ の鎖へ送るので、商へ落ちます。落ちた作用素をあらためて $\partial$ と書けば、 $\partial \circ \partial = 0$ はそのまま成り立ちます。

この複体のホモロジーが相対ホモロジー群です。

$H_{n} (X, A) = ker \partial_{n} / im \partial_{n + 1}$

$A = \emptyset$ とすると $C_{n} (A) = 0$ なので、もとのホモロジーに戻ります。

相対サイクルは A まで届けばよい

商をとった意味を、代表元の言葉に直します。 $C_{n} (X, A)$ の元は $C_{n} (X)$ の鎖を、 $A$ の鎖の差を無視して見たものでした。

$c$ が相対サイクルであるとは、 $\partial c$ が商で $0$ になること、つまり $\partial c \in C_{n - 1} (A)$ を意味します。

$X$ の中で閉じている必要はありません。端が $A$ にさえ届けば数に入る、という約束です。

相対境界のほうも同じ調子でゆるみます。 $c = \partial b + a$ （ $b$ は $X$ の鎖、 $a$ は $A$ の鎖）と書ければ、 $c$ は $0$ と見なされます。

例: 区間と両端

$X = [0, 1]$ 、 $A = {0, 1}$ とします。区間を $0$ から $1$ へ走る道 $σ$ をとりましょう。

$\partial σ = {1} - {0}$ で、これは $A$ の鎖です。よって $σ$ は相対サイクル。

$X$ は可縮なので、絶対ホモロジーでは $1$ 次に何もありません。ところが相対では $σ$ が生き残ります。

$H_{1} ([0, 1], {0, 1}) ≅ Z$

両端をつまんで貼り合わせると円周ができます。相対ホモロジーが見ているのは、その円周の $1$ 次と同じものです。

長完全列

鎖複体の短完全列がひとつあります。

$0 \to C_{∙} (A) \to C_{∙} (X) \to C_{∙} (X, A) \to 0$

左は包含、右は商写像です。各次数で完全なので、ホモロジーをとると長完全列が生まれます^[1,2]。

$\dots \to H_{n} (A) \to H_{n} (X) \to H_{n} (X, A) \partial H_{n - 1} (A) \to H_{n - 1} (X) \to \dots$

最初の 2 本は包含と商から来る素直な写像です。問題は $3$ 本目で、次数を $1$ つ下げる写像がどこから現れるのか。

証明: 連結準同型を作る

作り方は図式追跡です。蛇の補題の構成をそのまま使います^[4]。

$H_{n} (X, A)$ の元を $[\overset{c}{ˉ}]$ とします。まず商写像が全射なので、 $\overset{c}{ˉ}$ を持ち上げて $c \in C_{n} (X)$ がとれます。

次に $\partial c$ を見ます。 $\overset{c}{ˉ}$ が相対サイクルなので、 $\partial c$ の商での像は $0$ 、つまり $\partial c$ は $C_{n - 1} (A)$ の元です。

さらに $\partial (\partial c) = 0$ なので、 $\partial c$ は $A$ のサイクル。そのホモロジー類を $\partial [\overset{c}{ˉ}]$ と定めます。

途中で選んだものが 2 つあります。持ち上げ $c$ と、類の代表 $\overset{c}{ˉ}$ です。

持ち上げを変えると差は $C_{n} (A)$ の元なので、境界をとった差は $A$ の中の境界。ホモロジー類は動きません。

代表を変えると差は相対境界なので、同じ計算で $A$ のサイクルの類が変わらないと分かります。よって $\partial$ は矛盾なく定まります。

完全列が言っていること

$3$ 本の写像の並びを、意味の側から読みます。

$H_{n} (A) \to H_{n} (X)$ の核にいるのは、 $A$ の中では消えないのに $X$ に入れると消えるサイクルです。連結準同型の像がちょうどこれにあたります。

$H_{n} (X) \to H_{n} (X, A)$ の核にいるのは、 $A$ の鎖を足せば境界に直せるサイクル。 $A$ から来たものの像がちょうどこれです。

A の中では消えないが X で消える

連結準同型が拾う

1 つ上の相対ホモロジーに現れる

$A$ が $X$ の中でどう埋まっているか、その差し引きが完全列に書き込まれています。

例: 1 点との対は簡約ホモロジー

$A = {x_{0}}$ の場合を見ます。 $H_{n} ({x_{0}}) = 0$ （ $n \geq 1$ ）なので、長完全列の両端がやせます。

$n \geq 2$ では $0 \to H_{n} (X) \to H_{n} (X, x_{0}) \to 0$ となり、そのまま同型です。

$n = 1$ の付近だけ少していねいに見ます。 $H_{0} ({x_{0}}) = Z \to H_{0} (X)$ は単射なので、その手前の $\partial$ は $0$ 写像。

$H_{n} (X, x_{0}) ≅ \tilde{H}_{n} (X)$

簡約ホモロジーの $Z$ 引きは、 $1$ 点との対をとる操作と同じでした^[3]。

例: 円板と円周

$X = D^{n}$ 、 $A = S^{n - 1}$ とします。 $D^{n}$ は可縮なので $H_{k} (D^{n}) = 0$ （ $k \geq 1$ ）です。

長完全列の一部を書き出します。

$0 = H_{k} (D^{n}) \to H_{k} (D^{n}, S^{n - 1}) \partial H_{k - 1} (S^{n - 1}) \to H_{k - 1} (D^{n})$

$k \geq 2$ なら右端も $0$ なので、 $\partial$ が同型です。 $k = 1$ でも簡約ホモロジーで見れば同じ形になります。

$H_{k} (D^{n}, S^{n - 1}) ≅ \tilde{H}_{k - 1} (S^{n - 1})$

$n \geq 1$ で $k = n$ とすると $Z$ が出ます。それ以外の次数は $0$ です。

例: 球面のホモロジーを帰納法で出す

前の例と、あとで見る商空間の関係を組み合わせます。 $D^{n} / S^{n - 1} ≅ S^{n}$ でした。

$\tilde{H}_{k} (S^{n}) ≅ H_{k} (D^{n}, S^{n - 1}) ≅ \tilde{H}_{k - 1} (S^{n - 1})$

次元が $1$ つずつ下がる漸化式が立ちました。 $S^{0}$ が $2$ 点で $\tilde{H}_{0} (S^{0}) ≅ Z$ なので、あとは降りるだけ。

$\tilde{H}_{k} (S^{n}) ≅ {Z 0 (k = n) (k \neq = n)$

球面のホモロジーが、対の長完全列だけで出ました。トーラスや射影空間の値も同じ表に並びます^[5]。

例: 円周と 2 点

$X = S^{1}$ 、 $A$ を円周上の相異なる $2$ 点とします。 $A$ は $2$ 点なので $H_{0} (A) ≅ Z^{2}$ 、 $H_{1} (A) = 0$ です。

長完全列を書きます。

$0 \to H_{1} (S^{1}) \to H_{1} (S^{1}, A) \partial H_{0} (A) \to H_{0} (S^{1}) \to H_{0} (S^{1}, A) \to 0$

$H_{0} (A) ≅ Z^{2} \to H_{0} (S^{1}) ≅ Z$ は $(a, b) \mapsto a + b$ です。全射なので $H_{0} (S^{1}, A) = 0$ 、核は $Z$ 。

残った部分は $0 \to Z \to H_{1} (S^{1}, A) \to Z \to 0$ という形です。右端が自由なので列は分裂します。

$H_{1} (S^{1}, A) ≅ Z^{2}$

$2$ 点をつぶすと円周は $2$ つの円の花束になります。得られた $Z^{2}$ は、その $1$ 次ホモロジーと一致しています。

例: メビウスの帯と境界の円

$X$ をメビウスの帯、 $A$ をその境界の円周とします。 $X$ は中心の円へ変形レトラクトするので $H_{1} (X) ≅ Z$ です。

境界は中心を $2$ 周します。よって包含が誘導する写像 $H_{1} (A) ≅ Z \to H_{1} (X) ≅ Z$ は $2$ 倍写像。

$2$ 倍写像は単射なので、その手前の $H_{2} (X, A) \to H_{1} (A)$ は $0$ 写像です。 $H_{2} (X) = 0$ とあわせて $H_{2} (X, A) = 0$ が出ます。

$1$ 次を見ます。 $H_{1} (X) / im ≅ Z /2 Z$ が $H_{1} (X, A)$ に単射で入り、その先は $H_{0} (A) \to H_{0} (X)$ が同型なので $0$ 写像です。

$H_{1} (X, A) ≅ Z /2$

境界をつぶしたメビウスの帯は実射影平面になります。 $\tilde{H}_{1} (R P^{2}) ≅ Z /2$ と合っています。

例: 実射影平面とその中の円周

$X = R P^{2}$ 、 $A = R P^{1} ≅ S^{1}$ とします。包含が誘導する $H_{1} (A) ≅ Z \to H_{1} (X) ≅ Z /2$ は、 $2$ で割った余りをとる写像です。

全射なので、その先の $H_{1} (X, A) \to H_{0} (A)$ は $0$ 写像になります。 $H_{0} (A) \to H_{0} (X)$ が単射なので $H_{1} (X, A) = 0$ です。

$2$ 次を見ます。 $H_{2} (X) = 0$ から、 $\partial : H_{2} (X, A) \to H_{1} (A)$ は単射。像は $Z \to Z /2$ の核、すなわち $2 Z$ です。

$H_{2} (R P^{2}, R P^{1}) ≅ Z$

$R P^{2} / R P^{1} ≅ S^{2}$ なので、 $\tilde{H}_{2} (S^{2}) ≅ Z$ と合致します。

商空間との関係

上の例で毎回つぶしていたものを、定理として書きます。

$A$ が閉集合で、 $A$ を変形レトラクトに含む近傍を $X$ の中に持つとき、対 $(X, A)$ を良い対といいます。良い対では商写像が同型を誘導します^[3]。

$H_{n} (X, A) ≅ \tilde{H}_{n} (X / A)$

相対ホモロジーは「 $A$ を $1$ 点につぶした空間」を見ている、という読み方ができます。

良い対という条件は外せません。つぶし方が悪いと、商空間のほうがおかしな形になってしまいます。

$C W$ 対や、多様体と部分多様体の対はこの条件を満たします。実用上はほとんどの場合に使える定理です。

例: CW 複体の骨格の対

$X$ を $C W$ 複体、 $X^{n}$ を $n$ 骨格とします。 $X^{n} / X^{n - 1}$ は $n$ 胞体の個数だけ $S^{n}$ を花束にしたものです。

$H_{k} (X^{n}, X^{n - 1}) ≅ {Z^{(n 胞体の個数)} 0 (k = n) (k \neq = n)$

各次数の胞体が、そのまま自由アーベル群の基底を与えます^[3]。

胞体鎖複体はこの群を並べたもので、境界作用素は骨格の対の連結準同型から作ります。相対ホモロジーは、胞体で計算する仕組みの土台になっています。

例: 対の完全列で同型を示す

$2$ つの対のあいだの写像 $f : (X, A) \to (Y, B)$ を考えます。長完全列は $f$ に沿って並び、はしごの形になります。

$f ∣_{A} : A \to B$ と $f : X \to Y$ がどちらもホモロジーの同型を誘導するとしましょう。すると縦の写像のうち $2$ 本ずつが同型です。

$5$ つの補題を当てると、真ん中の $H_{n} (X, A) \to H_{n} (Y, B)$ も同型になります。

対の側を直に調べずに済むので、計算でよく使う手です。逆に相対の側と片方が分かっていれば、残りが決まります。

三つ組の長完全列

$B \subseteq A \subseteq X$ と $3$ 段になっているときも、同じ仕組みが働きます。

$0 \to C_{∙} (A, B) \to C_{∙} (X, B) \to C_{∙} (X, A) \to 0$

商をとった複体どうしにも短完全列があるので、長完全列が出ます。

$\dots \to H_{n} (A, B) \to H_{n} (X, B) \to H_{n} (X, A) \partial H_{n - 1} (A, B) \to \dots$

$B = \emptyset$ とすると、もとの対の長完全列に戻ります。骨格の列 $X^{n - 1} \subseteq X^{n} \subseteq X^{n + 1}$ に当てると、胞体鎖複体の境界作用素が $2$ 乗して消えることが読めます。

参考文献

Relative homology - Wikipedia（英語）

Relative Homologie - Wikipedia（ドイツ語）

relative homology - nLab

Snake lemma - Wikipedia（英語）

Homologie singulière - Wikipédia（フランス語）

部分空間 $A$ の中を見ないことにすると、閉じていない鎖もサイクルとして数えられます。相対鎖複体の作り方から始め、蛇の補題で連結準同型を組み立て、円板と円周・円周と 2 点・メビウスの帯と境界・実射影平面と直線で計算例を並べる。良い対なら $A$ をつぶした空間の簡約ホモロジーと一致し、$CW$ 複体では骨格の対が胞体鎖複体の土台になります。三つ組の完全列まで。