図では明らかなのに証明が要る〜ジョルダン曲線定理と領域不変性

平面に単純閉曲線を描くと、平面が内側と外側の $2$ つに分かれる。誰もが正しいと思うのに、証明はやさしくありません^[1]。

ジョルダンが 1887 年に発表した論証は不完全とされ、ヴェブレンが 1905 年に完全な証明を与えました^[3]。図の直観をそのまま数式にできない、という難しさがあります。

以下ではホモロジーによる証明の筋をたどり、高い次元への一般化、領域不変性、そして貼り合わせが素直でない例までを扱います。

主張

$C$ を平面の単純閉曲線、つまり円周と同相な部分集合とします。

補集合 ${\mathbb{R}}^2\setminus C$ はちょうど $2$ つの連結成分に分かれ、片方は有界、もう片方は非有界です^[1]。

どちらの成分も、境界が $C$ そのものになります。有界なほうを内部、非有界なほうを外部といいます。

証明の筋

素直に進む道はホモロジーです。${\mathbb{R}}^2$ のかわりに $S^2$ で考えると、無限遠の扱いが楽になります。

必要なのは $2$ つの補題です。どちらも次元についての帰納法で示します^[1]。

第 $1$ に、$S^n$ の中の $k$ 次元球体と同相な部分集合をとると、その補集合は非輪状です。簡約ホモロジーがすべて消えます。

第 $2$ に、$S^n$ の中の $k$ 次元球面と同相な部分集合をとると、補集合のホモロジーは $1$ か所にだけ立ちます。

$${\tilde{H}}_i(S^n\setminus X)\cong \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (i=n-k-1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$

補題の示し方

球体の場合から見ます。$k=0$ なら $1$ 点で、補集合は ${\mathbb{R}}^n$ なので非輪状です。

$k$ 次元の球体 $D$ を、真ん中で $2$ つの $k$ 次元球体 $D_1$, $D_2$ に切ります。交わりは $k-1$ 次元の球体です。

補集合たちに Mayer-Vietoris 完全列を当てます。帰納法の仮定から交わりの側が非輪状なので、$S^n\setminus D$ のホモロジーが $S^n\setminus D_1$ と $S^n\setminus D_2$ の側から決まります。

もし $S^n\setminus D$ に $0$ でない類があれば、切り分けをくり返すことで、いくらでも小さい球体の補集合に $0$ でない類が残ってしまいます。コンパクト性を使うと矛盾が出ます。

球面の場合は、球面を上下 $2$ つの球体に分けて同じ完全列を使います。今度は交わりが $k-1$ 次元球面なので、次数が $1$ つずれた漸化式になります。

例: 平面の場合

$n=2$、$k=1$ とします。$n-k-1=0$ なので、簡約 $0$ 次に $\mathbb{Z}$ が立ちます。

$${\tilde{H}}_0(S^2\setminus C)\cong \mathbb{Z}$$

簡約 $0$ 次が $\mathbb{Z}$ とは、連結成分が $2$ つという意味でした。無限遠点を除くと、平面が $2$ つに分かれます。

$1$ 次が $0$ なので、どちらの成分も穴を持ちません。円板と同じホモロジーになります。

例: 高い次元

$n=3$、$k=2$ とすると、$3$ 次元空間に埋め込まれた球面が空間を $2$ つに分けます。

一般に、${\mathbb{R}}^n$ の中の $n-1$ 次元球面は空間を $2$ つに分けます。ジョルダン・ブラウワーの分離定理といいます^[3]。

$k$ が小さい場合も読めます。$n=3$、$k=1$、つまり $3$ 次元空間の中の結び目なら $n-k-1=1$ です。補集合は連結で、$1$ 次に $\mathbb{Z}$ が立ちます。

結び目が空間を分けないことと、まわりを $1$ 周するループが消せないことが、同じ式から出ました。

例: 2 つの領域の境界はどちらも曲線全体

分かれた $2$ つの成分について、境界がどうなるかも主張に含まれます。

内部の境界も外部の境界も、$C$ 全体と一致します。片方だけに面した点はありません。

素朴に見えて、これも自明ではありません。曲線がどこかで自分に押しつぶされていれば、片側からしか触れない点がありそうに思えます。

単純閉曲線という仮定、つまり自己交叉がないことが効いています。高い次元でも同じで、分けられた $2$ つの成分の境界はどちらも埋め込まれた球面そのものになります^[3]。

例: 平面グラフとオイラーの公式

グラフを平面に描けるかどうかの議論も、この定理に支えられています。

頂点を線で結んだ閉じた道は単純閉曲線です。したがって平面を内と外に分けます。この分離があってはじめて、面という概念が定まる。

面の個数が数えられれば、オイラーの公式 $V-E+F=2$ が意味を持ちます。

$K_5$ が平面に描けないことの証明でも、まず $3$ 頂点を通る三角形が平面を分けることを使います。残りの $2$ 頂点は内か外のどちらかに入り、そこから先の線が引けなくなる。

分離という結論を認めない立場では、この種の議論が全部止まります。図で見れば当たり前のことを、定理として置いておく必要があるわけです。

領域不変性

同じ道具立てから、もう $1$ つの基本定理が出ます^[2]。

$U$ を ${\mathbb{R}}^n$ の開集合とし、$f:U\to {\mathbb{R}}^n$ を連続な単射とします。このとき像 $f(U)$ は開集合で、$f$ は $U$ から $f(U)$ への同相写像です。

単射で連続、というだけで開写像になる。次元がそろっているところが効きます。

ブラウワーが 1912 年に示した定理で、証明にはホモロジーか不動点定理が要ります^[2]。

例: 次元の違う空間は同相でない

$n\ne m$ とし、${\mathbb{R}}^n$ と ${\mathbb{R}}^m$ が同相だと仮定します。$n<m$ としましょう。

${\mathbb{R}}^n$ を ${\mathbb{R}}^m$ の中の $n$ 次元部分空間と見ると、同相写像から連続な単射 ${\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^m$ が作れます。

領域不変性から像は開集合になります。ところが像は $n$ 次元部分空間の中にあり、$m$ 次元の空間では内点を持ちません。

矛盾します。したがって次元が違えば同相ではありません。

座標の個数が位相だけで決まる、という基本的な事実が、ここから出ます。

例: 仮定を落とすと崩れる

次元をそろえないと成り立ちません。$f:(0,1)\to {\mathbb{R}}^2$ を $f(t)=(t,0)$ とします^[2]。

連続で単射ですが、像は平面の中で開集合ではありません。線分に内点がないためです。

単射でない場合も崩れます。$g(t)=(t^2-1,t^3-t)$ を $(-1.1,1)$ で考えると、像が自分自身と交わり、同相写像になりません。

無限次元でも成り立ちません。バナッハ空間ではずらし作用素が反例を与えます。

例: 多様体の境界が定まる

領域不変性の応用として、境界の概念が座標によらないことが示せます。

$n$ 次元多様体の点が内部の点だとします。${\mathbb{R}}^n$ の開集合と同相な近傍を持つ、という意味です。

もし同じ点が境界の点でもあるなら、半空間の境界上の点と同相な近傍を持ちます。半空間の境界の点は、どの近傍をとっても ${\mathbb{R}}^n$ の中で開になりません。

領域不変性からこの $2$ つは両立しません。境界の点と内部の点が混じらない、と分かります。

ジョルダン・シェーンフリースの定理

平面ではもっと強い主張が成り立ちます。分けられた $2$ つの領域が、単位円板の内側と外側に同相になる^[1]。

さらに、その同相写像は平面全体の同相写像に延ばせます。曲線がどれだけ複雑でも、平面ごと動かして標準の円へ持っていける。

分けるだけでなく、分け方まで標準形に直せる、という主張です。

例: アレクサンダーの角つき球面

$3$ 次元では、この強い主張が崩れます^[4]。

トーラスから輪切りを $1$ つ抜き、切り口に絡み合った $1$ 対の穴あきトーラスを付けます。同じ操作を新しい部分でくり返し、無限に続けます。

できあがる曲面は $S^2$ と同相です。それでも外側は単連結ではありません。

角の先端はカントール集合をなし、そのまわりを通るループが枝に引っかかります。細かい枝が無限に続くので、曲面を突き抜けずには縮められません。

基本群が違うので、標準の球面へ平面ごと動かすことはできません。埋め込み方が野生的だと、内と外の様子が変わってしまう。

$2$ 次元と $3$ 次元で結論が分かれる。分離という結論は次元によらず成り立つのに、分け方の標準化は次元に依存します。

参考文献