写像のほうを動かして骨格にそろえる……胞体近似定理

$CW$ 複体のあいだの連続写像は、骨格を骨格へ送る写像にホモトピーで直せます^[1]。胞体近似定理といいます。

もとの写像は $n$ 骨格を高い次元へ運んでいて差し支えありません。直したあとは、次元を上げない写像になります。

以下では胞体写像の定義から始め、主張と証明の筋、そして球面のホモトピー群や $CW$ 近似への使い方までを扱います。

胞体写像

$X$ と $Y$ を $CW$ 複体とします。$n$ 骨格 $X^n$ は、$n$ 次元以下の胞体をあわせた部分複体でした^[2]。

連続写像 $f:X\to Y$ が胞体写像であるとは、すべての $n$ で次をみたすこと。

$$f(X^n)\subseteq Y^n$$

$n$ 胞体が $n$ 胞体へ行く必要はありません。低い次元へつぶれてもよく、次元が上がらなければ通ります^[3]。

主張

任意の連続写像は、胞体写像にホモトピックです^[1]。

もとの写像が骨格をどう乱していても、連続に動かすだけで骨格を保つ形に直せる。骨格の構造が、写像の側からも見えるようになります。

対の写像でも同じです。$f:(X,A)\to (Y,B)$ に対し、対の胞体写像へホモトピーで移せます。

さらに、$f$ がすでに部分複体 $A$ の上で胞体写像なら、ホモトピーを $A$ の上で動かさずにとれます^[1]。すでに整っているところを壊しません。

証明の筋

骨格についての帰納法で進みます^[1]。

$n=0$ から始めます。$Y$ の各弧状連結成分は $0$ 胞体を含むので、$X$ の $0$ 胞体の像を道に沿って $0$ 胞体まで動かせます。

$n$ 骨格まで直せたとして、$n+1$ 胞体を見ます。像はコンパクトなので、$Y$ の有限個の胞体にしか触れません^[1]。

触れている胞体のうち、いちばん次元の高いものを $e$ とします。$e$ の次元が $n+1$ より大きいなら、$e$ の中の $1$ 点を選んで、像をその点から外へ押し出せます。

押し出せる理由が要点です。$n+1$ 次元からの写像は、より高い次元の胞体を埋め尽くせません。避けるべき点が必ず残ります。

押し出しをくり返すと、触れる胞体の次元が $n+1$ まで下がります。これで $n+1$ 骨格まで直せました。

例: 球面の低い次のホモトピー群

$k<n$ とし、${\pi }_k(S^n)$ を計算します^[1]。

$S^n$ に、$0$ 胞体 $1$ つと $n$ 胞体 $1$ つの $CW$ 構造を入れます。$k$ 骨格は $0$ 胞体だけ、つまり $1$ 点です。

$f:S^k\to S^n$ をとり、胞体写像に直します。$S^k$ の $k$ 骨格は $S^k$ 全体なので、像は $S^n$ の $k$ 骨格に入る。

$$f(S^k)\subseteq (S^n{)}^k=\{\text{点}\}$$

定値写像になりました。もとの写像はこれにホモトピックなので、次が出ます。

$${\pi }_k(S^n)=0(k<n)$$

球面の低い次のホモトピー群が消える、という基本的な事実が、骨格を数えるだけで出ました。

例: 骨格までで決まる

同じ議論を一般の $CW$ 複体で行います。$i<n$ とすると、包含 $X^n\hookrightarrow X$ が同型を誘導します^[1]。

$${\pi }_i(X^n)\stackrel{\cong }{\to }{\pi }_i(X)(i<n)$$

$i=n$ では全射までが言えます。${\pi }_i$ を調べたければ、$i$ より少し上の骨格まで見れば足ります。

無限次元の複体でも、低い次数のホモトピー群は有限の部分で決まる。計算がここで有限に落ちます。

例: 基本群は 2 骨格で決まる

$i=1$ で当てます。$n=2$ とすれば ${\pi }_1(X^2)\cong {\pi }_1(X)$ です。

$3$ 胞体より上をいくら貼っても、基本群は動きません。$2$ 胞体が関係式を与え、そこで止まる。

$1$ 骨格はグラフなので基本群は自由群です。$2$ 胞体を貼るごとに関係式が $1$ つ入る、という表示がここから出ます。

例: 対は n 連結

胞体近似を対に当てると、次が出ます^[1]。

$${\pi }_i(X,X^n)=0(i\le n)$$

対 $(X,X^n)$ は $n$ 連結です。$X^n$ の外にあるものは、$n$ より上の次数にしか現れません。

長完全列と組み合わせると、さきほどの同型がこの形からも読めます。

CW 近似

任意の位相空間 $X$ に対し、$CW$ 複体 $Z$ と弱ホモトピー同値 $Z\to X$ がとれます^[1]。

作り方は骨格を $1$ つずつ上げる形です。ホモトピー群の生成元を胞体で作り、関係式を $1$ つ上の胞体で殺す。

胞体近似定理が、この構成の各段で効きます。写像を骨格に沿わせられるので、帰納法が回る。

$CW$ 複体でだけ成り立つ定理を、一般の空間へ運ぶ通り道になります。

例: ホワイトヘッドの定理と組み合わせる

ホワイトヘッドの定理は、$CW$ 複体のあいだの弱ホモトピー同値がホモトピー同値だと述べます^[4]。

$CW$ という仮定は外せません。ワルシャワの円はホモトピー群がすべて自明なのに、$1$ 点にホモトピー同値ではありません^[4]。

いっぽう $CW$ 近似があるので、一般の空間でも弱ホモトピー同値の範囲までは扱えます。$2$ つの定理は、こういう分業になっています。

なお、ホモトピー群が同型なだけでは足りません。写像が必要です。$S^2\times \mathbb{R}{P}^3$ と $\mathbb{R}{P}^2\times S^3$ は、基本群も普遍被覆も同じでホモトピー群がすべて一致しますが、ホモロジーが違うのでホモトピー同値ではありません^[4]。

胞体ホモロジーが関手になる

胞体ホモロジーは、骨格の対から作る鎖複体で定義されます。定義に使うのは胞体写像だけです。

連続写像に対して準同型を定めたいとき、胞体近似が要ります。$f$ を胞体写像 $g$ に直し、$g$ が誘導する鎖写像をとる。

ホモトピックな $2$ つの胞体写像は、鎖ホモトピックな鎖写像を誘導します。よって $f$ から定まる準同型は、$g$ の選び方によりません。

胞体ホモロジーが関手になる、という事実がここで支えられています。

例: 単体近似定理との違い

似た定理に単体近似定理があります。連続写像を単体写像で近似する、という主張です。

$2$ つには違いがあります。単体近似では出発側を重心細分し、細かくしてから近似します。胞体近似では細分せず、写像のほうをホモトピーで動かします。

複体の構造をいじらずに済むので、$CW$ 複体の側では扱いが軽い。$CW$ 複体には細分という操作がそもそも定まっていない、という事情もあります。

得られる結論も違います。単体近似では有限個の単体写像に落ちるので、ホモトピー類の集合が可算だと言えます。胞体近似では骨格の情報が保たれ、次元についての帰納法が回せるようになります。

参考文献