曲面をひねると何が残るのか？写像類群とデーンひねり

曲面をそれ自身へ写す同相写像を集め、連続に動かして移り合うものを同じと見なす。できあがる群が写像類群です^[1]。

曲面そのものではなく、曲面の対称性を調べる群になります。曲面の形は分類定理で決まってしまうので、次に問うのはこちらです。

以下では定義と易しい例から始め、デーンひねりで群を組み立て、ホモロジーへの作用とニールセン・サーストンの分類まで進みます。

定義

$S$ を向きづけ可能な曲面とします。向きを保つ自己同相写像の全体を、イソトピーで割ります^[1,4]。

$Mod (S) = Homeo^{+} (S) / Homeo_{0} (S)$

分母は恒等写像にイソトピックな写像の全体です。連続に動かして恒等写像へ戻せる写像を、無視することにあたります。

境界がある場合は、境界を各点で固定する写像だけに絞ります。

例: 球面と円板

$S = S^{2}$ とします。向きを保つ自己同相写像は、どれも恒等写像にイソトピックです^[4]。

$Mod (S^{2}) = 1$

円板でも同じで、群は自明になります。境界を固定する条件を付けても変わりません。

アレクサンダーのトリックと呼ばれる議論が効きます。円板の写像を、中心へ向かって縮めながら恒等写像へつないでいく。

例: 円環

$S = S^{1} \times [0, 1]$ とし、境界を固定します。

内側の円を止めて外側だけを $1$ 周ねじる写像が作れます。これは恒等写像へ戻せません。

$Mod (S^{1} \times [0, 1]) ≅ Z$

ねじった回数が整数として残ります^[1]。回数を足すことが写像の合成に対応するので、群は $Z$ 。

この写像がデーンひねりです。曲面の写像類群を組み立てる部品になります。

デーンひねり

単純閉曲線 $c$ をとり、そのまわりの管状近傍 $A$ を選びます。 $A$ は円環と同相です^[2]。

$A$ の中の座標を $(s, t)$ 、 $s = e^{i θ}$ 、 $t \in [0, 1]$ とすると、写像は次の形になります。

$f (s, t) = (s e^{2 π i t}, t)$

$A$ の外では恒等写像です。境界で連続につながるので、曲面全体の同相写像になります。

曲線 $c$ に沿ったデーンひねりといい、 $T_{c}$ と書きます。 $c$ をイソトピーで動かしても、 $T_{c}$ の類は変わりません。

例: トーラス

$T^{2}$ を正方形の辺を貼ったものと見て、横の曲線を $a$ 、縦の曲線を $b$ とします。

$a$ に沿ったデーンひねり $T_{a}$ は、 $a$ を動かさず、 $b$ を $b$ と $a$ をつないだ道へ送ります^[2]。

$T_{a} ([a]) = [a], T_{a} ([b]) = [b] + [a]$

$1$ 次ホモロジーの基底 $([a], [b])$ で行列に直します。

$T_{a} \mapsto (1011)$

$b$ に沿ったひねりは下三角の行列になります。この $2$ つが $S L_{2} (Z)$ を生成します。

トーラスでは、写像類群がホモロジーへの作用で完全に決まります^[1]。

$Mod (T^{2}) ≅ S L_{2} (Z)$

行列が $1$ つ決まれば写像類が $1$ つ決まる。トーラスは、写像類群が具体的に書き下せる数少ない例です。

デーン・リッコリッシュの定理

一般の曲面でも、部品はデーンひねりで足ります^[1]。

種数 $g$ の閉曲面の写像類群は、単純閉曲線に沿ったデーンひねりで生成されます。しかも有限個で足りる。

リッコリッシュは $3 g - 1$ 本のひねりで生成できることを示し、のちに $2 g + 1$ 本まで減らせると分かりました^[2]。

種数 $2$ なら $5$ 本です。無限群が $5$ 個の元で生成される、と言い直せます。

関係式

生成元が分かっても、関係式が要ります。 $2$ つの曲線の交わり方で形が決まります^[4]。

交わらない $2$ 本なら、ひねりは可換です。 $T_{a} T_{b} = T_{b} T_{a}$ 。

ちょうど $1$ 点で交わる $2$ 本では、組みひも関係が成り立ちます。

$T_{a} T_{b} T_{a} = T_{b} T_{a} T_{b}$

さらに $7$ 本の曲線がからむランタン関係もあります。これらを合わせると、写像類群の有限表示が得られます。

ホモロジーへの作用

写像類は $H_{1} (S; Z) ≅ Z^{2 g}$ に作用します。交叉形式を保つので、行き先はシンプレクティック群です^[3]。

$1 \to I (S) \to Mod (S) \to S p_{2 g} (Z) \to 1$

右の写像は全射です。核をトレリ群といい、ホモロジーには何も見えない写像類の集まりになります。

種数 $1$ ではトレリ群が自明です。トーラスの写像類群がそのまま $S L_{2} (Z) = S p_{2} (Z)$ になる、という事情でした^[3]。

種数 $2$ 以上ではトレリ群が無限群になります。ホモロジーだけでは写像類群を追いきれません。

ニールセン・サーストンの分類

種数 $2$ 以上の閉曲面では、写像類が $3$ つの型に分かれます^[5]。

周期的。ある

n > 0

で

g^{n}

が恒等写像になる。

可約。互いに交わらない単純閉曲線の有限個の和を保つ。

擬アノソフ。上の

2

つのどちらでもない。

どの写像類も、この $3$ つのちょうど $1$ つに入ります。分類が排他的である点が定理の中身です。

擬アノソフの場合、横断する $2$ 枚の葉層が保たれます。片方は引き伸ばされ、もう片方は縮められる^[5]。

例: トーラスでの 3 つの型

$S L_{2} (Z)$ の行列で、 $3$ 型がそのまま見えます。トレースの絶対値で分かれます。

トレースの絶対値が $2$ より小さければ有限位数で、周期的です。 $90$ 度回転にあたる行列がその例。

絶対値がちょうど $2$ なら、さきほどのデーンひねりの行列のような形になります。ある曲線を保つので可約です。

絶対値が $2$ より大きい行列は擬アノソフです。固有値が $λ$ と $1/ λ$ に分かれ、片方の向きへ伸び、もう片方へ縮む。

$A = (2111)$

トレースは $3$ です。固有値は $(3 \pm 5) /2$ で、伸び率が黄金比の $2$ 乗になります。

タイヒミュラー空間への作用

写像類群は、曲面の複素構造を並べた空間に作用します^[1]。

タイヒミュラー空間といい、種数 $g$ の閉曲面では $6 g - 6$ 次元のユークリッド空間と同相です。

作用の様子が $3$ 型に対応します。周期的な元は内部に不動点を持ち、擬アノソフの元は境界に $2$ つの不動点を持ちます。

商をとるとモジュライ空間になります。曲面の複素構造の分類そのものが、この商として書かれる。

例: 写像トーラスとの関係

写像類 $φ$ から $3$ 次元多様体が作れます。 $S \times [0, 1]$ の両端を $φ$ で貼る、写像トーラスです。

分類の型と、できる多様体の幾何が対応します^[5]。

周期的なら $H^{2} \times R$ の構造、可約なら中に圧縮不可能なトーラスが現れます。擬アノソフなら双曲構造が入ります。

曲面の写像を分類する問題が、 $3$ 次元多様体を分類する問題へつながっています。サーストンの幾何化の出発点の $1$ つがここにあります。

参考文献

Mapping class group of a surface - Wikipedia（英語）

Dehn twist - Wikipedia（英語）

Torelli group - Wikipedia（英語）

Abbildungsklassengruppe - Wikipedia（ドイツ語）

Nielsen–Thurston classification - Wikipedia（英語）

自己同相写像をイソトピーで割った群が写像類群です。球面と円板では自明、円環ではねじった回数が整数として残り、トーラスでは $SL_2(\mathbb{Z})$ そのものになります。曲線に沿ったデーンひねりが部品になり、種数 $g$ の曲面なら $2g+1$ 本で生成できる。ホモロジーへの作用ではシンプレクティック群に落ち、見えない部分がトレリ群として残ります。周期的・可約・擬アノソフの 3 分類と、写像トーラスの幾何との対応まで。