何重に巻きついているかを整数で書く｜写像度の定義と計算

同じ次元の閉多様体のあいだの写像に、整数を $1$ つ割り当てます。何重に巻きついているか、という数です^[1]。

巻き数はホモトピーで動きません。連続に変形しても整数は変わらないので、写像を分類する道具になります。

以下ではホモロジーによる定義と正則値による定義を並べ、符号を数える計算を重ね、ホップの定理と代数学の基本定理まで進みます。

ホモロジーによる定義

$X$, $Y$ を向きづけられた連結な閉 $n$ 次元多様体とします。最高次のホモロジーはどちらも $\mathbb{Z}$ で、基本類が生成元です。

連続写像 $f:X\to Y$ は準同型 $f_{\ast }$ を誘導します。$\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}$ への準同型は整数倍しかありません^[1,3]。

$$f_{\ast }([X])=\mathrm{deg}(f)\cdot [Y]$$

この整数を写像度といいます。ホモトピックな写像は同じ準同型を誘導するので、写像度もそろいます。

向きを決めておく必要があります。どちらかの向きを裏返すと符号が変わる。

例: 円周の z の n 乗

$S^1$ を複素平面の単位円と見て、$f(z)=z^n$ とします。

$H_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ の生成元は $1$ 周する道です。$f$ で送ると $n$ 周する道になります。

$$\mathrm{deg}(z^n)=n$$

$n$ が負でも同じで、逆向きに $|n|$ 周します。写像度は巻き数そのものです^[1]。

正則値による定義

$f$ が滑らかなら、幾何的に数えられます。サードの定理から正則値 $y$ がとれます^[3]。

逆像 $f^{-1}(y)$ は有限個の点です。各点で $f$ は局所的に微分同相で、向きを保つか裏返すかのどちらか。

$$\mathrm{deg}(f)=\sum _{x\in f^{-1}(y)}\mathrm{sgn}\det (Df{)}_x$$

向きを保つ点を $+1$、裏返す点を $-1$ として足します。正則値の選び方によらずに同じ値が出る、というところが定理です。

図では上向きの交わりが $3$ つ、下向きが $1$ つで、合計は $2$ です。破線の高さを変えても和は変わりません。

局所写像度

正則値でなくても、逆像が孤立していれば計算できます。各点のまわりの小さな球体をとり、そこでの局所的な次数を定めます。

$$\mathrm{deg}(f)=\sum _i\mathrm{deg}(f{|}_{x_i})$$

局所写像度は、その点のまわりの小球の境界から、行き先の小球の境界への写像の次数です^[3]。

滑らかで正則な点では $\pm 1$ になり、さきほどの符号の式に戻ります。滑らかでない写像でも数えられる、という点でこちらのほうが広く使えます。

性質

写像度は次の性質を持ちます。

最後の $1$ つは短く示せます。$f$ が点 $p$ を外すなら、$f$ は $S^n\setminus \{p\}$ を通ります。この空間は可縮なので $f$ は定値写像にホモトピック、よって次数 $0$。

対偶をとると、次数が $0$ でなければ全射だと分かります。方程式 $f(x)=y$ が解を持つ、という主張に読み替えられます^[2]。

例: 対蹠写像

$S^n$ の各点を原点について反対側へ送る写像 $a(x)=-x$ を考えます。

座標を $1$ つずつ反転する写像の合成として書けます。反転は $1$ 回で次数 $-1$ です。

$n$ 次元球面は ${\mathbb{R}}^{n+1}$ の中にあるので、座標は $n+1$ 個。

$$\mathrm{deg}(a)=(-1{)}^{n+1}$$

$n$ が奇数なら $+1$、偶数なら $-1$ です^[1]。$S^1$ では対蹠写像が回転にホモトピックで、たしかに次数 $1$。

$S^2$ では次数 $-1$ なので、恒等写像にホモトピックにはなりません。偶数次元の球面で連続な向きの反転が起きない、という事情がここに現れます。

ホップの定理

球面の自己写像では、次数が完全な不変量になります^[1]。

$$f\simeq g⟺\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}(g)$$

$2$ つの写像がホモトピックであることと、次数が等しいことが同値です。整数 $1$ つで写像のホモトピー類が決まってしまう。

より一般に、$n$ 次元の閉多様体から $S^n$ への写像も次数で分類されます。ホップの次数定理といいます^[3]。

例: 球面の n 次ホモトピー群

ホップの定理を ${\pi }_n(S^n)$ に当てます。元は $S^n$ から $S^n$ への写像のホモトピー類でした。

次数が類を決めるので、対応は $1$ 対 $1$ です。次数の和が写像の和に対応するので、群としても同型になります。

$${\pi }_n(S^n)\cong \mathbb{Z}$$

生成元は恒等写像、つまり次数 $1$ の元です。ここでも整数が巻き数として現れています。

例: 代数学の基本定理

$p(z)$ を次数 $n\ge 1$ の複素係数多項式とし、根を持たないと仮定します^[4]。

半径 $R$ の円周に $p$ を制限し、原点のまわりの巻き数を見ます。$R$ を大きくとると最高次の項が支配的になり、巻き数は $n$ です。

$R$ を $0$ に近づけると、像は $1$ 点 $p(0)$ に縮みます。仮定から $p(0)\ne 0$ なので、巻き数は $0$。

$R$ を連続に動かすと像も連続に動きます。巻き数は整数なので、途中で飛べません。

$0$ から $n$ へ変わるには、どこかで曲線が原点を通る必要があります。それは $p(z)=0$ という根の存在にほかならず、仮定に反します。

代数の定理が、巻き数が整数だという事実だけで証明されました。

例: 被覆写像の次数

$f:X\to Y$ を $k$ 枚の被覆写像とし、両方とも向きづけられた閉多様体だとします。

正則値をとると、逆像はちょうど $k$ 点です。被覆写像は局所的に微分同相なので、各点の符号は $\pm 1$。

向きを保つ被覆なら全部 $+1$ で、次数は $k$ です。

$$\mathrm{deg}(z\mapsto z^k)=k$$

円周の $k$ 乗写像は $k$ 枚の被覆でした。さきほどの計算と一致します。

向きを裏返す被覆が混じると、符号が打ち消し合います。$S^n\to \mathbb{R}{P}^n$ は $2$ 枚の被覆ですが、$n$ が偶数のとき $\mathbb{R}{P}^n$ が向きづけできないため、この形の議論はそのまま使えません。

例: トーラスから球面へ

出発と行き先が違う多様体でも次数は定まります。$T^2$ から $S^2$ への写像を作ってみましょう。

トーラスを正方形の辺を貼ったものと見て、辺の部分を $1$ 点につぶします。残るのは正方形の内部と $1$ 点なので、できる空間は $S^2$ です。

この写像は $2$ 次元の胞体を $1$ 対 $1$ に送るので、基本類を基本類へ移します。

$$\mathrm{deg}(T^2\to S^2)=1$$

あとは $S^2$ の $k$ 次写像を後ろにつなげば、次数 $k$ の写像が作れます。合成の次数が積になる性質を使いました。

どの整数も実現できる、と分かります。次数は写像を分類するだけでなく、写像を設計する目安にもなります。

一般の多様体のあいだ

定義には向きづけ可能性が要りました。向きづけできない場合は、係数を $\mathbb{Z}/2$ にとります。

$H_n(X;\mathbb{Z}/2)\cong \mathbb{Z}/2$ はどの閉多様体でも成り立つので、$\mathbb{Z}/2$ に値をとる次数が定まります。

$\mathbb{Z}/2$ 次数は偶奇しか見ません。それでも全射性の判定には十分で、$1$ なら全射だと言えます。

解析の側では、有界領域と境界を使ったブラウワーの写像度が使われます^[2]。$d(f,\Omega ,y)\ne 0$ なら方程式が解ける、という形で、微分方程式の存在定理に使われる道具です。

参考文献