係数を替えるたびに調べ直さなくてよい、普遍係数定理のしくみ

整数係数のホモロジーさえ分かっていれば、ほかの係数の値は代数だけで決まります。空間をもう一度調べ直す必要はありません。

その計算式を与えるものが普遍係数定理です^[1]。答えは $2$ つの部分に分かれ、片方は同じ次数から、もう片方は $1$ つ下の次数から来ます。

以下ではホモロジーの形とコホモロジーの形を並べ、 $Tor$ と $Ext$ が何を測っているかを確かめ、射影空間やクラインの壺で計算を重ねます。

ホモロジーの普遍係数定理

$X$ を位相空間、 $A$ をアーベル群とします。次の短完全列があり、これは分裂します^[1,2]。

$0 \to H_{n} (X) \otimes A \to H_{n} (X; A) \to Tor (H_{n - 1} (X), A) \to 0$

分裂するので、群としては直和に書けます。

$H_{n} (X; A) ≅ (H_{n} (X) \otimes A) \oplus Tor (H_{n - 1} (X), A)$

$1$ つ下の次数から $Tor$ の項が上がってくる、この形が要点です。整数係数で $n - 1$ 次にあったねじれが、 $n$ 次に顔を出します。

Tor が測っているもの

$Tor$ の値は、簡単な規則で計算できます^[4]。

自由な群では消えます。 $Tor (Z, B) = 0$ で、 $Z^{r}$ でも同じです。

巡回群では $B$ の $n$ 倍して $0$ になる元が出ます。

$Tor (Z / n, B) ≅ B [n] = {x \in B ∣ n x = 0}$

巡回群どうしなら最大公約数になります。

$Tor (Z / m, Z / n) ≅ Z / g cd (m, n)$

$Tor$ が拾うのはねじれどうしの重なりです。片方に $2$ のねじれ、係数に $3$ のねじれ、なら共通部分がなく $0$ になります。

例: 球面

$S^{n}$ のホモロジーは $Z$ が $2$ か所に立つだけで、ねじれがありません。

自由群では $Tor$ が消えるので、第 $2$ 項は現れません。

$H_{k} (S^{n}; A) ≅ H_{k} (S^{n}) \otimes A$

$0$ 次と $n$ 次に $A$ が立ち、あとは $0$ です。係数をどう変えても形は変わりません。

ねじれのない空間では、普遍係数定理はテンソル積を $1$ 回とるだけの規則になります。

例: 実射影平面に mod 2 係数

$H_{*} (R P^{2}) = (Z, Z /2, 0)$ でした^[3]。係数を $Z /2$ にします。

$0$ 次は $Z \otimes Z /2 = Z /2$ です。

$1$ 次は $Z /2 \otimes Z /2 = Z /2$ に、 $Tor (Z, Z /2) = 0$ を足します。

$2$ 次はテンソル側が $0$ ですが、 $Tor (Z /2, Z /2) = Z /2$ が上がってきます。

$H_{k} (R P^{2}; Z /2) ≅ Z /2 (k = 0, 1, 2)$

整数係数では $0$ だった $2$ 次に、 $Z /2$ が現れました。 $1$ 次のねじれが $1$ つ上へ持ち上がった形です。

例: 有理係数と mod 3 係数

同じ $R P^{2}$ に $Q$ を入れます。 $Z /2 \otimes Q = 0$ 、 $Tor (Z /2, Q) = Q [2] = 0$ です。

$H_{k} (R P^{2}; Q) = {Q 0 (k = 0) (k \geq 1)$

$Z /3$ でも同じ結果です。 $g cd (2, 3) = 1$ なので、テンソル側も $Tor$ 側も消えます。

係数のねじれと空間のねじれがかみ合わないと、何も見えません。 $R P^{2}$ を見るには $2$ で割った係数が要ります。

$R P^{3}$ の整数係数は $(Z, Z /2, 0, Z)$ です。 $Z /2$ 係数にすると $4$ つの次数すべてに $Z /2$ が並びます。

コホモロジーの普遍係数定理

矢印を逆にすると、 $Tor$ の代わりに $Ext$ が出てきます^[1,2]。

$0 \to Ext^{1} (H_{n - 1} (X), A) \to H^{n} (X; A) \to Hom (H_{n} (X), A) \to 0$

この列も分裂します。ただし分裂は自然ではありません。

$H^{n} (X; A) ≅ Hom (H_{n} (X), A) \oplus Ext^{1} (H_{n - 1} (X), A)$

ホモロジーの側と違い、 $A = Z$ の場合でも中身のある主張になります。整数係数のホモロジーから整数係数のコホモロジーを出す、という使い方が主です。

Ext が測っているもの

$Ext^{1}$ の計算規則も短くまとまります^[5]。

自由な群では消えます。 $Ext^{1} (Z, B) = 0$ 。

巡回群では商が出ます。 $Tor$ が核をとったのに対し、こちらは余核です。

$Ext^{1} (Z / n, B) ≅ B / n B$

とくに $B = Z$ とすると $Z / n$ がそのまま出ます。 $Hom (Z / n, Z) = 0$ なので、ねじれはこちら側にだけ残ります。

$Ext^{1} (Z / n, Z) ≅ Z / n, Hom (Z / n, Z) = 0$

意味づけもあります。 $Ext^{1} (A, B)$ の元は、 $B$ を $A$ で拡大する短完全列の同値類と $1$ 対 $1$ に対応します^[5]。

例: 球面のコホモロジー

$H_{k} (S^{n}) = Z$ （ $k = 0, n$ ）で、ねじれはありません。 $Ext^{1}$ の項は消えます。

$H^{k} (S^{n}; Z) ≅ Hom (H_{k} (S^{n}), Z) = {Z 0 (k = 0, n) (それ以外)$

ホモロジーと同じ形です。自由な部分だけを持つ空間では、上下の区別が見えません。

例: 実射影平面のコホモロジー

$H_{*} (R P^{2}) = (Z, Z /2, 0)$ に当てます。

$0$ 次は $Hom (Z, Z) = Z$ です。

$1$ 次は $Hom (Z /2, Z) = 0$ と $Ext^{1} (Z, Z) = 0$ で、あわせて $0$ 。

$2$ 次は $Hom (0, Z) = 0$ に $Ext^{1} (Z /2, Z) = Z /2$ が加わります。

$H^{0} = Z, H^{1} = 0, H^{2} = Z /2$

ホモロジーで $1$ 次にあった $Z /2$ が、コホモロジーでは $2$ 次に移りました。ねじれが $1$ つ上へずれる、という現象です^[2]。

例: クラインの壺のコホモロジー

$H_{*} (K) = (Z, Z \oplus Z /2, 0)$ です。

$1$ 次は $Hom (Z \oplus Z /2, Z) = Z$ に、 $Ext^{1} (Z, Z) = 0$ を足して $Z$ 。

$2$ 次は $Ext^{1} (Z \oplus Z /2, Z) = Z /2$ です。

$H^{0} (K) = Z, H^{1} (K) = Z, H^{2} (K) = Z /2$

$1$ 次では $Hom$ がねじれを落とし、 $2$ 次で $Ext$ が拾い直しています。落としたものが上の階で戻ってくる、という配置です。

分裂するが自然ではない

$2$ つの短完全列は分裂します。それでも「自然に」とは書けません^[1]。

自然でないとは、空間の写像 $f : X \to Y$ をとったとき、直和分解が $f$ と両立するとは限らない、という意味です。

群として同型なので、値を計算するぶんには直和の形で困りません。困るのは、写像が誘導する準同型を成分ごとに追いたいときです。

証明でこの列を使うときは、分裂ではなく完全性のほうに寄りかかります。

体を係数にすると簡単になる

$A$ が体 $F$ なら、 $F$ 上のベクトル空間はすべて自由です。 $Tor$ も $Ext^{1}$ も消えます。

$H_{n} (X; F) ≅ H_{n} (X; Z) \otimes F, H^{n} (X; F) ≅ Hom_{F} (H_{n} (X; F), F)$

コホモロジーはホモロジーの双対空間です。次元が等しくなるので、上下の区別が消えます。

体係数の計算が易しい理由がここにあります。そのかわり、ねじれの情報は落ちてしまいます。

例: ベッチ数と mod p の次元差

有限生成の場合、 $Z / p$ 係数の次元は $3$ つの量の和になります。

$dim_{F_{p}} H_{n} (X; F_{p}) = b_{n} + t_{n} + t_{n - 1}$

ここで $b_{n}$ はベッチ数、 $t_{n}$ は $H_{n}$ に含まれる $p$ ベキの巡回因子の個数です。

$R P^{2}$ で確かめます。 $p = 2$ として $b_{1} = 0$ 、 $t_{1} = 1$ 、 $t_{0} = 0$ なので $1$ 次の次元は $1$ 。 $2$ 次は $b_{2} = t_{2} = 0$ 、 $t_{1} = 1$ で次元 $1$ です。

有理係数と mod $p$ 係数の次元差を見れば、 $p$ ねじれの個数が読めます。ねじれを直接見ずに、 $2$ つの体で測って差をとる手です。

参考文献

Universal coefficient theorem - Wikipedia（英語）

Universelles Koeffiziententheorem - Wikipedia（ドイツ語）

Real projective space - Wikipedia（英語）

Tor functor - Wikipedia（英語）

Ext functor - Wikipedia（英語）

$H_n(X; A)$ は、同じ次数のテンソル積と $1$ つ下の次数の $\mathrm{Tor}$ に分かれます。球面では $\mathrm{Tor}$ が消え、実射影平面では $1$ 次のねじれが $2$ 次へ持ち上がる。$\mathbb{Q}$ や $\mathbb{Z}/3$ を入れると何も見えなくなる様子まで計算で並べました。コホモロジー側は $\mathrm{Ext}$ が担い、ねじれが $1$ つ上の次数へずれます。体係数で列がつぶれる理由と、ベッチ数との次元差からねじれを読む手順も。