水位を上げると「形が変わる高さ」がある｜モース理論

多様体の上に関数を $1$ つ置き、その臨界点を数えるだけで、多様体の形がかなり分かります^[1]。

水位を上げていくと、ある高さで急に形が変わる。変わるのは臨界点を越える瞬間だけで、そこで胞体が $1$ つ貼られます。

以下ではモース関数と指数の定め方から始め、$2$ つの基本定理、$CW$ 構造、不等式、そしてエキゾチックな球面まで扱います。

モース関数

$M$ を滑らかな多様体、$f:M\to \mathbb{R}$ を滑らかな関数とします。

微分が消える点を臨界点といいます。その点でヘッセ行列が正則なとき、臨界点は非退化であるといいます^[1]。

非退化な臨界点しか持たない関数をモース関数といいます。

めったにない性質に見えますが、逆です。滑らかな関数のほとんどはモース関数で、開かつ稠密な集合をなします^[3]。

指数

非退化な臨界点 $p$ における指数を、ヘッセ行列が負定値になる最大の部分空間の次元と定めます^[1]。

関数が減る向きの本数、と読めます。$n$ 次元多様体なら $0$ から $n$ までの値をとります。

風景にたとえると、極小点が指数 $0$、鞍点が指数 $1$、極大点が指数 $2$ です。

モースの補題

指数が分かれば、その点のまわりの形も決まります^[1,3]。

非退化な臨界点 $p$ の指数を $\gamma$ とすると、適当な座標系をとって次の形に書けます。

$$f(x)=f(p)-x_1^2-\cdots -x_{\gamma }^2+x_{\gamma +1}^2+\cdots +x_n^2$$

減る向きが $\gamma$ 本、増える向きが $n-\gamma$ 本。ほかの情報は残りません。

この形から、非退化な臨界点が孤立していると分かります。近くに別の臨界点は来られません。

臨界値をまたがなければ形は変わらない

$M^a=f^{-1}(-\infty ,a]$ を劣位集合と書きます。水位 $a$ より下の部分です。

第 $1$ の基本定理はこうなります^[1]。

$f^{-1}[a,b]$ の中に臨界値がなく、そこがコンパクトなら、$M^a$ と $M^b$ は微分同相です。しかも $M^b$ は $M^a$ へ変形レトラクトします。

水位を上げても、臨界点をまたがなければ形は変わりません。勾配に沿って押し下げれば、上のほうが下へ流れ落ちるためです。

臨界点を越えると胞体が貼られる

第 $2$ の基本定理が本題です^[1,3]。

臨界値 $q$ を持つ指数 $\gamma$ の臨界点を $1$ つだけまたぐとします。このとき次が成り立ちます。

$$M^{q+\epsilon }\simeq M^{q-\epsilon }{\cup }_{\phi }{e}^{\gamma }$$

$\gamma$ 胞体を $1$ つ貼ったものにホモトピー同値になる。指数がそのまま胞体の次元です。

減る向きが $\gamma$ 本あるので、その向きへ伸びた $\gamma$ 次元の板が新しく水面下に入る、という図です。

例: トーラスの高さ関数

トーラスを立てて置き、高さを $f$ とします。臨界点は $4$ つです^[1]。

いちばん下が指数 $0$、内側の穴の下と上が指数 $1$ で $2$ つ、いちばん上が指数 $2$。

水位を上げると、劣位集合が順に変わります。空、円板、円筒、穴あきトーラス、トーラス。

$0$ 胞体を置き、$1$ 胞体を $2$ 本貼り、最後に $2$ 胞体でふたをする。トーラスの標準的な $CW$ 構造がそのまま出てきます。

例: 球面

$S^n$ を高さ関数で切ります。臨界点は南極と北極の $2$ つだけ。

南極が指数 $0$、北極が指数 $n$ です。途中に臨界点がないので、そのあいだは形が変わりません。

$$S^n=e^0\cup e^n$$

$0$ 胞体に $n$ 胞体を貼る、という最小の $CW$ 構造が出ます。

例: 種数 g の閉曲面

${\Sigma }_g$ を立てて高さで切ると、臨界点は $2g+2$ 個になります。

極小 $1$ 個、鞍点 $2g$ 個、極大 $1$ 個です。穴が $1$ つ増えるたびに鞍点が $2$ つ増える。

胞体の個数もそのままで、$0$ 胞体 $1$ 個、$1$ 胞体 $2g$ 個、$2$ 胞体 $1$ 個です。

CW 構造が作れる

$2$ つの定理を合わせると、強い結論が出ます^[1]。

コンパクトな滑らかな多様体は、指数 $n$ の臨界点ごとに $n$ 胞体を $1$ つ持つ $CW$ 複体とホモトピー同値です。

多様体という滑らかな対象が、有限個の胞体という組み合わせの対象に置き換わります。関数を $1$ つ選ぶだけで、その分解が手に入る。

モースの等式

胞体の個数が分かれば、オイラー標数が読めます。指数 $\gamma$ の臨界点の個数を $C^{\gamma }$ と書きます^[1]。

$$\sum _{\gamma }(-1{)}^{\gamma }{C}^{\gamma }=\chi (M)$$

トーラスなら $1-2+1=0$ です。$\chi (T^2)=0$ と合っています。

$S^n$ なら $1+(-1{)}^n$ で、偶数次元なら $2$、奇数次元なら $0$。${\Sigma }_g$ なら $1-2g+1=2-2g$ です。

関数の臨界点を数えるだけで標数が出る、という関係になります。

モースの不等式

もっと細かい制限もあります。ベッチ数を $b_{\gamma }$ と書きます^[1,3]。

$$C^{\gamma }\ge b_{\gamma }$$

各次数で、臨界点の個数がベッチ数以上になります。弱い形の不等式といいます。

強い形は交代和についての主張です。

$$C^{\gamma }-C^{\gamma -1}+\cdots \pm C^0\ge b_{\gamma }-b_{\gamma -1}+\cdots \pm b_0$$

いちばん上まで足すと等号になり、モースの等式に戻ります。

例: 臨界点の個数の下限

$T^2$ のベッチ数は $1,2,1$ です。弱い不等式から、どんなモース関数でも臨界点が $4$ つ以上あると分かります。

高さ関数はちょうど $4$ つでした。下限に届いている関数を完全モース関数といいます。

$S^n$ でも $2$ つが下限で、高さ関数がそれを実現します。

係数を変えると下限が動きます。$\mathbb{R}{P}^2$ の有理ベッチ数は $1,0,0$ なので、有理係数では下限が $1$ にしかなりません。

$\mathbb{Z}/2$ 係数なら $1,1,1$ で、下限は $3$ になります。実際に $\mathbb{R}{P}^2$ には臨界点 $3$ つのモース関数があります。ねじれを見る係数のほうが、強い制限を出します。

モースホモロジー

胞体を数えるだけでなく、境界作用素まで臨界点から作れます^[2]。

リーマン計量を $1$ つ選び、勾配ベクトル場を考えます。各臨界点から出る流れと入る流れが横断的に交わるとき、組をモース・スメール条件をみたすといいます。

鎖複体は臨界点で生成し、指数で次数を付けます。境界作用素は、指数が $1$ だけ違う $2$ つの臨界点をつなぐ勾配の流線を、符号つきで数えたものです。

$$\partial ⟨p⟩=\sum _{\mathrm{ind}(q)=\mathrm{ind}(p)-1}n(p,q)⟨q⟩$$

$\partial \circ \partial =0$ は、流線の空間をコンパクト化したときに折れた流線が $2$ 通りに現れることから出ます。

このホモロジーは特異ホモロジーと同型です^[2]。関数と計量を選んで作ったのに、選び方によりません。

例: 臨界点 2 つなら球面

臨界点がちょうど $2$ つのモース関数を持つコンパクト多様体を考えます。

$0$ 胞体と $n$ 胞体を $1$ つずつ貼った形なので、$S^n$ とホモトピー同値です。

リーブは 1946 年に、もっと強い結論を示しました。この多様体は $S^n$ と同相になります^[4]。

同相であって、微分同相とは言っていません。この差が次の話につながります。

例: エキゾチックな 7 次元球面

ミルナーは 1956 年に、$S^7$ 上のベクトル束から $7$ 次元多様体を作りました^[4]。

その多様体には、非退化な臨界点をちょうど $2$ つ持つモース関数があります。リーブの定理から $S^7$ と同相です。

ところが微分同相ではありません。ミルナーは、この多様体が $4$ 次ベッチ数の消える滑らかな $8$ 次元多様体の境界にならないことを示しました。

$S^7$ には少なくとも $7$ 通りの微分構造がある、という結論になります。のちにケルヴェアとミルナーが、向きづけられたものは連結和について位数 $28$ の巡回群をなすと決めました^[4]。

関数の臨界点を数えるという素朴な手続きが、微分構造の分類という深いところまで届いています。

参考文献