部分群を選ぶと被覆が決まる、デッキ変換群とガロア対応

被覆空間と、基本群の部分群が $1$ 対 $1$ に対応します^[1]。体の拡大と群の部分群が対応するガロア理論と、同じ形の主張です。

対応を動かす側にいる群がデッキ変換群です。被覆の上を、下を動かさずに滑らせる同相写像を集めた群になります。

以下ではデッキ変換の定義から始め、正規被覆と対応の定理、そして具体的な被覆の並びを見ていきます。

デッキ変換

被覆写像 $p:E\to X$ に対し、同相写像 $d:E\to E$ が $p\circ d=p$ をみたすとき、$d$ をデッキ変換といいます^[2]。

下へ落とすと何も変わらない、という条件です。合成について群をなし、$\mathrm{Deck}(p)$ と書きます。

$E$ が連結なら、デッキ変換はファイバーの $1$ 点の行き先だけで決まります。$1$ 点でも動かさなければ、恒等写像です^[3]。

作用は自由になります。ファイバーの点を置換するだけで、固定点を持ちません。

例: 直線から円周へ

$p:\mathbb{R}\to S^1$、$p(t)=(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t)$ とします。

整数だけ平行移動する写像 $t\mapsto t+k$ は、$p$ を変えません。逆に、デッキ変換はこれしかない。

$$\mathrm{Deck}(p)\cong \mathbb{Z}$$

${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ と同じ群が出ました。普遍被覆では、デッキ変換群が基本群と同型になります^[2]。

例: 円周の n 重被覆

$q:S^1\to S^1$、$q(z)=z^n$ とします。ファイバーは $n$ 点です。

デッキ変換は $2\pi /n$ の回転で、$n$ 回まわると恒等写像に戻ります。

$$\mathrm{Deck}(q)\cong \mathbb{Z}/n$$

対応する部分群は $n\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}$ です。商 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ がそのままデッキ変換群になっています。

正規被覆

$H=p_{\ast }({\pi }_1(E))$ と置きます。デッキ変換群は一般に次の形になります^[2]。

$$\mathrm{Deck}(p)\cong N(H)/H$$

$N(H)$ は $H$ の正規化群です。$H$ が正規部分群なら $N(H)={\pi }_1(X)$ となり、式が簡単になります。

$$\mathrm{Deck}(p)\cong {\pi }_1(X)/H$$

このとき被覆を正規被覆といいます。デッキ変換群がファイバーに推移的に作用し、商をとると $X$ に戻る、という性質と同値です^[3]。

普遍被覆では $H$ が自明なので、いつでも正規です。

ガロア対応

対応の定理を書きます。$X$ を連結、局所弧状連結、半局所単連結とします^[1,3]。

${\pi }_1(X,x_0)$ の部分群と、$X$ の連結な被覆の同値類が $1$ 対 $1$ に対応します。

大きい部分群には小さい被覆、小さい部分群には大きい被覆が対応します。順序が逆になる点がガロア理論と同じです。

全体の群には $X$ 自身、自明な部分群には普遍被覆が対応します。

例: トーラスの被覆

${\pi }_1(T^2)\cong {\mathbb{Z}}^2$ です。部分群を選ぶと被覆が決まります^[1]。

指数有限の部分群には、有限重の被覆が対応します。行き先もトーラスです。

$\mathbb{Z}\times \{0\}$ のような階数 $1$ の部分群には、$S^1\times \mathbb{R}$ が対応します。片方の向きだけほどけた形。

自明な部分群には ${\mathbb{R}}^2$、つまり普遍被覆が対応します。${\mathbb{Z}}^2$ が可換なのですべての部分群が正規で、被覆もすべて正規です。

例: 8 の字の被覆

${\pi }_1(S^1\vee S^1)$ は階数 $2$ の自由群 $F_2$ です。部分群が多いので、被覆も豊富にあります^[1]。

被覆はグラフになります。各頂点から $a$ の辺と $b$ の辺が $1$ 本ずつ出て、$1$ 本ずつ入る。

$n$ 重被覆は、$n$ 個の頂点に $a$ と $b$ の置換を $2$ つ割り当てることで作れます。$2$ つの置換が生成する群が推移的なら、被覆は連結です。

自由群の部分群は無限に多く、正規でないものも含まれます。

例: 正規でない被覆

$3$ 頂点のグラフを作ります。$a$ を置換 $(23)$、$b$ を置換 $(12)$ として作用させます。

$2$ つが生成する群は $3$ 次対称群で、位数 $6$。$3$ 点に推移的に作用するので、連結な $3$ 重被覆になります。

対応する部分群は、頂点 $1$ を固定する元の集まりです。作用が正則でないので、この部分群は正規ではありません。

$$\mathrm{Deck}(p)=1$$

デッキ変換群が自明になります。$3$ 枚のシートがあるのに、どれ $1$ つも互いに移せない。

正規被覆なら $3$ 枚が対等に入れ替わります。正規でないと、シートごとに役割が違ってしまう。

例: 実射影空間

$p:S^n\to \mathbb{R}{P}^n$（$n\ge 2$）を考えます。$S^n$ は単連結なので、これは普遍被覆です^[3]。

デッキ変換は恒等写像と対蹠写像の $2$ つだけです。

$$\mathrm{Deck}(p)\cong \mathbb{Z}/2\cong {\pi }_1(\mathbb{R}{P}^n)$$

部分群は自明なものと全体の $2$ つしかないので、連結な被覆も $2$ つです。$\mathbb{R}{P}^n$ 自身と $S^n$。

普遍被覆の存在

普遍被覆はいつでもあるわけではありません。半局所単連結という条件が要ります^[3]。

各点にある近傍 $U$ があって、$U$ の中の輪が $X$ の中では縮められる、という条件です。$U$ の中で縮まる必要はありません。

多様体も $CW$ 複体も、この条件をみたします。日ごろ扱う空間では気にせずに済む。

例: ハワイアンイヤリング

条件が破れる例を見ます。半径 $1/n$ の円を、$1$ 点で接するように無限個並べたものです。

接点のどんな近傍にも、小さい円が丸ごと入ります。その円は $X$ の中でも縮められません。

半局所単連結ではないので、普遍被覆がありません^[3]。ガロア対応も、そのままの形では成り立ちません。

基本群も自由群にならず、非可算群になります。素朴な図形なのに、被覆の理論から外れてしまう例です。

群作用の側から

対応を逆向きに読むこともできます。群 $G$ が空間 $E$ に自由かつ真性不連続に作用しているとします。

このとき $E\to E/G$ は正規被覆になり、デッキ変換群が $G$ に一致します。

$${\pi }_1(E/G)/p_{\ast }({\pi }_1(E))\cong G$$

$E$ が単連結なら ${\pi }_1(E/G)\cong G$ です。群から空間を作る手続きになります。

レンズ空間は $S^3$ に $\mathbb{Z}/p$ を作用させた商でした。基本群が $\mathbb{Z}/p$ になるのは、この式のとおりです。

参考文献