「連続関数の列」の一様収束における極限は連続関数になる｜証明と、仮定をどこまでゆるめられるか

連続な関数を並べて極限を取っても、極限が連続とは限りません。各点収束では飛びが生まれます。

一様収束を仮定すると飛べなくなります。これが一様収束の極限定理で、証明は $\epsilon$ を 3 つに割る 1 本の三角不等式で終わります。

以下では主張を正確に述べ、証明を書き下し、一様性がどこで効いているのかを確かめます。そのうえで仮定をどこまでゆるめられるか、逆が成り立つのはどんなときかまで扱います。

主張を正確に述べる

定理。$X$ を位相空間、$(Y,d)$ を距離空間とします。関数列 $f_n:X\to Y$ が $f$ に一様収束し、各 $f_n$ が連続であるとします。このとき $f$ は連続です。

一様収束とは、番号 $N$ を点によらず 1 つ選べる、ということでした。

$$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n\ge N,\forall x\in X:d(f_n(x),f(x))<\epsilon$$

$\forall x$ が $\exists N$ より後ろにある点が要です。各点収束では順序が逆になり、$N$ が $x$ ごとに変わります。

実数値で区間の上の話に限れば、$f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ が連続で一様収束するなら極限も連続、という形になります。

直観：幅 2ε の帯から出られない

一様収束は「極限 $f$ を中心とする幅 $2\epsilon$ の帯の中に、番号の大きい $f_n$ がすっぽり入る」ことだと読めます。

もし $f$ が 1 点で飛んでいるとしましょう。飛びの高さより $\epsilon$ を小さく取ると、帯は飛びのところで上下に分かれます。

連続な $f_n$ がこの帯の中を通り抜けるには、分かれた 2 つの帯を連続的に行き来しなければなりません。しかし帯の間には隙間があるので、途中で必ず外に出ます。

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	<line x1="60" y1="132" x2="225" y2="132" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
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	<text x="55" y="26" font-size="11" fill="#1f1f1f">極限が飛ぶなら、連続な関数は帯からはみ出さざるをえない</text>
	<text x="118" y="144" font-size="11" fill="#1f1f1f">極限 f</text>
	<text x="66" y="188" font-size="11" fill="#9a9a9a">幅 2ε の帯</text>
	<text x="246" y="126" font-size="11" fill="#d0562a">帯の外に出る</text>
	<text x="320" y="128" font-size="11" fill="#1b81e0">連続な関数</text>
	<text x="55" y="228" font-size="11" fill="#9a9a9a">極限が不連続なら、収束は一様ではない</text>
</svg>

なぜ ε を 3 つに割るのか

示したいのは $d(f(x),f(x_0))$ が小さいことです。ところが $f$ について直接わかっているのは、$f_n$ に近いということだけです。

そこで $f_n$ を経由します。$f(x)$ から $f_n(x)$ へ、$f_n(x)$ から $f_n(x_0)$ へ、$f_n(x_0)$ から $f(x_0)$ へと 3 歩で渡ります。

3 歩それぞれを $\frac{\epsilon }{3}$ で押さえれば、合計が $\epsilon$ になります。両端の 2 歩は一様収束が、真ん中の 1 歩は $f_n$ の連続性が担当します。

証明

$x_0\in X$ と $\epsilon >0$ を取ります。

一様収束から、番号 $N$ が存在して、すべての $x\in X$ について次が成り立ちます。この $N$ は $x$ に依存しません。

$$d(f_N(x),f(x))<\frac{\epsilon }{3}$$

$f_N$ は $x_0$ で連続なので、$x_0$ の近傍 $U$ が存在して、$x\in U$ なら次が成り立ちます。

$$d(f_N(x),f_N(x_0))<\frac{\epsilon }{3}$$

$x\in U$ を取り、三角不等式を 2 回使います。

$$d(f(x),f(x_0))\le d(f(x),f_N(x))+d(f_N(x),f_N(x_0))+d(f_N(x_0),f(x_0))$$

右辺の第 1 項は 1 つ目の評価を $x$ に、第 3 項は同じ評価を $x_0$ に当てたものです。第 2 項は近傍の取り方から押さえられます。

$$d(f(x),f(x_0))<\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}=\epsilon$$

$\epsilon$ は任意だったので、$f$ は $x_0$ で連続です。$x_0$ は任意なので、$f$ は $X$ 全体で連続になります。

一様性が効いたのは 1 か所だけ

証明で一様収束を使ったのは、同じ番号 $N$ を $x$ と $x_0$ の両方に当てたところです。ここだけです。

各点収束しか仮定しないと、$x$ に対する番号 $N(x)$ と $x_0$ に対する番号 $N(x_0)$ が別々になります。

順序を思い出してください。近傍 $U$ を取るには、先に $f_N$ を 1 つ固定しなければなりません。ところが $N(x)$ は $x$ とともに動き、$U$ を決める前に $x$ は決まりません。

$N$ が $x$ に依らないことが、この循環を断ち切っています。$\epsilon$ を 3 つに割る技法そのものより、この 1 点のほうが本質です。

計算例：各点収束では飛びが生まれる

$f_n(x)=x^n$ を $[0,1]$ で考えます。各 $f_n$ は多項式なので連続です。

$0\le x<1$ では $x^n\to 0$、$x=1$ では $x^n=1$ のままです。極限関数は $x=1$ でだけ $1$ を取ります。

$$f(x)=0(0\le x<1),f(1)=1$$

$f$ は $x=1$ で不連続です。定理の対偶から、この収束は一様ではないと分かります。

実際、差の上限は ${\sup }_{x\in [0,1)}{x}^n=1$ で、$n$ によらず $1$ のままです。

計算例：ちぎれる位置が真ん中にある場合

$f_n(x)={\sin }^{n}x$ を $[0,\pi ]$ で考えます。各項は連続です。

$x=\frac{\pi }{2}$ では $\sin x=1$ なので値は $1$ のままです。それ以外の点では $|\sin x|<1$ なので $0$ に収束します。

極限は $x=\frac{\pi }{2}$ でだけ $1$ を取る関数で、そこで不連続です。したがって一様収束していません。

飛びの位置は端でなくてもかまいません。連続な関数を並べておいて、極限で 1 点だけ突き出させることができます。

計算例：階段に近づく列

$f_n(x)=\arctan (nx)$ を $\mathbb{R}$ で考えます。各項は連続で、有界です。

$x>0$ なら $nx\to \infty$ なので $\arctan (nx)\to \frac{\pi }{2}$、$x<0$ なら $-\frac{\pi }{2}$、$x=0$ では $0$ のままです。

極限は原点で飛ぶ階段状の関数になり、連続ではありません。ここでも一様収束は成り立ちません。

3 つの例に共通するのは、収束の速さが場所によって際限なく違うことです。飛びの近くだけ、いくらでも遅くなります。

対偶として使うのがいちばん多い

実務では、定理そのものより対偶を使う場面が多くなります。

極限関数が不連続なら、収束は一様ではない。これで上限を計算せずに一様収束を否定できます。

上の 3 例はどれもこの形で片づきました。極限を求めて連続性を見るだけなので、$\sup$ の見積もりより手軽です。

ただし逆は言えません。極限が連続でも、一様収束しているとは限りません。あとの節で扱います。

仮定は 1 点に落とせる

定理を各点の主張として述べ直すと、仮定がずっと軽くなります。

各 $f_n$ が点 $x_0$ で連続で、$f_n\to f$ が一様収束するなら、$f$ は $x_0$ で連続です。$x_0$ 以外での連続性は使っていません。

証明を読み返すと、$f_N$ の連続性を使ったのは $x_0$ の近傍を取る 1 か所だけです。他の点では何も要求していません。

たとえば各 $f_n$ が有理数の点で不連続でも、$x_0$ で連続でありさえすれば結論は変わりません。

一様収束も局所でよい

連続性は局所的な性質なので、一様収束も局所で足ります。

$x_0$ のある近傍の上で $f_n\to f$ が一様収束すれば、$f$ は $x_0$ で連続です。定義域全体での一様収束は要りません。

したがって、各点のまわりで一様収束していれば極限は全体で連続になります。これを局所一様収束といいます。

コンパクト集合ごとに一様収束する広義一様収束も、局所一様収束を含みます。べき級数が収束円の内部で連続なのは、この形の議論です。

定義域と値域はどこまで一般でよいか

証明で定義域に使ったのは「近傍」という言葉だけです。距離も座標も使っていません。したがって定義域は位相空間でかまいません。

値域には三角不等式が要るので、距離空間である必要があります。ただし完備性は使っていません。極限 $f$ が最初から与えられているからです。

$Y$ の完備性が効くのは別の場面です。極限が存在することを一様コーシー列から言いたいときに要ります。

一様コーシー列と極限の存在

極限 $f$ が与えられていない状況では、まずその存在を言う必要があります。ここで完備性が働きます。

関数列 $f_n$ が一様コーシー列であるとは、次が成り立つことをいいます。番号が $x$ によらない点は、一様収束と同じです。

$$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall m,n\ge N,\forall x\in X:d(f_n(x),f_m(x))<\epsilon$$

$Y$ が完備なら、各点 $x$ で数列 $f_n(x)$ はコーシー列なので収束します。その極限を $f(x)$ と定めます。

上の不等式で $m\to \infty$ とすると、$n\ge N$ とすべての $x$ について $d(f_n(x),f(x))\le \epsilon$ が成り立ちます。$N$ は $x$ によらないので、収束は一様です。

極限の存在まで込みで扱いたいときは、この形で使います。そのうえで元の定理を当てれば、極限が連続であることまで言えます。

一様連続性も保たれる

同じ $\epsilon /3$ の形で、もう少し強い主張も出ます。

定理。各 $f_n$ が一様連続で、$f_n\to f$ が一様収束するなら、$f$ も一様連続です。

証明。$\epsilon >0$ に対し、一様収束から $N$ を取って、すべての $x$ で $d(f_N(x),f(x))<\frac{\epsilon }{3}$ とします。

$f_N$ の一様連続性から $\delta >0$ が取れて、$d(x,y)<\delta$ なら $d(f_N(x),f_N(y))<\frac{\epsilon }{3}$ です。この $\delta$ は点によりません。

先ほどと同じ三角不等式で $d(f(x),f(y))<\epsilon$ が出ます。$\delta$ が点によらないので、結論も一様連続になります。

違いは、真ん中の 1 歩を点ごとの連続性で押さえるか、一様連続性で押さえるかだけです。

関数空間の言葉に直す

有界関数の全体 $B(X)$ に、上限ノルムを入れます。

$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{x\in X}{\sup }|f(x)|$$

このノルムによる収束が、一様収束そのものです。$B(X)$ はこのノルムで完備になります。

一様収束の極限定理は、この言葉では次のように読めます。有界な連続関数の全体 $C_b(X)$ は、$B(X)$ の閉部分集合である。

完備距離空間の閉部分集合は完備なので、$C_b(X)$ も完備です。つまり $C_b(X)$ はバナッハ空間になります。

「連続関数の一様収束極限は連続」という主張と、「連続関数の空間は閉じている」という主張は、同じことの言い換えです。

定理の使い道：極限で関数を定義する

この定理がいちばん働くのは、関数を無限和や極限で定義したときです。

定義式から直接 $\epsilon$ と $\delta$ を追いかけるのは大変です。ところが一様収束さえ確かめれば、連続性はただで付いてきます。

級数なら、部分和が連続であることは有限和なので明らかです。あとは一様収束を言えばよく、その道具がワイエルシュトラスの $M$ 判定法です。

計算例：級数で定義された関数の連続性

次の関数が $\mathbb{R}$ 全体で連続であることを示します。

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos (nx)}{n^2}$$

各項は $\left|\frac{\cos (nx)}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}$ で押さえられます。$\sum \frac{1}{n^2}$ が収束するので、$M$ 判定法から級数は一様収束します。

部分和はすべて連続です。一様収束の極限定理から、和 $f$ も連続になります。

$f$ の閉じた形を求める必要はありません。上限を 1 つ押さえるだけで、連続性が出てしまいます。

計算例：どこでも微分できない連続関数

同じ手口で、扱いにくい関数の連続性も言えます。

$$W(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}^n\cos (b^n\pi x)(0<a<1)$$

各項は $a^n$ で押さえられ、$\sum a^n$ は収束します。したがって級数は一様収束し、$W$ は連続です。

ところが $ab$ が十分大きいと、$W$ はどの点でも微分できません。ワイエルシュトラス関数と呼ばれる例です。

連続性は一様収束から自動的に出ますが、微分可能性は保証されません。この関数は、その差をいちばん極端な形で見せています。

逆は成り立たない

極限が連続だからといって、収束が一様とは限りません。

$f_n(x)=x^n$ を $[0,1)$ に制限します。各点極限は $0$ で、連続です。ところが ${\sup }_{x\in [0,1)}{x}^n=1$ なので一様収束しません。

動く山の例もあります。$g_n$ を、$\left[0,\frac{2}{n}\right]$ の外では $0$、$x=\frac{1}{n}$ で高さ $1$ になる三角形とします。

各点では $0$ に収束し、極限は連続です。しかし山の高さは $1$ のままなので、上限は $0$ に行きません。

定理は十分条件を与えているだけで、必要条件ではありません。

逆を成り立たせる追加条件

条件を足せば逆も言えます。よく使われるのがディニの定理です。

$X$ をコンパクト、$f_n$ を連続、$f_n$ が各点で単調に $f$ へ収束し、$f$ が連続であるとします。このとき収束は一様です。

コンパクト性と単調性と極限の連続性、この 3 つがそろって初めて言えます。どれか 1 つを外すと反例があります。

上に挙げた $[0,1)$ 上の $x^n$ は、単調で極限も連続ですが、定義域がコンパクトでないので結論が出ません。

本当の必要十分条件

一様収束より弱く、しかも必要十分になる条件が知られています。擬一様収束といいます。

各点収束する連続関数列 $f_n\to f$ について、$f$ が連続であることと、$f_n$ が $f$ に擬一様収束することは同値です。アルツェラの定理と呼ばれ、アレクサンドロフによる一般化があります。

定義はやや込み入っています。任意の $\epsilon >0$ と任意の番号 $N$ に対して、$X$ の可算開被覆 ${\Gamma }_0,{\Gamma }_1,\dots$ と、$N$ より大きい番号の列 $n_0,n_1,\dots$ が取れて、各 $k$ について次が成り立つことをいいます。

$$d(f(x),f_{n_k}(x))<\epsilon (x\in {\Gamma }_k)$$

一様収束なら、被覆を $X$ 1 枚にして番号も 1 つで済みます。だから一様収束は擬一様収束を含みます。

擬一様収束の読み方

一様収束は「1 つの番号が全体で効く」条件でした。擬一様収束は「場所ごとに番号を選び直してよい」条件です。

ただし勝手に選べるわけではありません。与えられた $N$ より先の番号から選ぶことと、可算個の領域で全体を覆えることが要求されます。

各点収束は「点ごとに番号を選び直してよい」条件です。選び直しの単位が、点なのか領域なのか全体なのか。3 つの条件はこの粗さで並んでいます。

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	<text x="55" y="26" font-size="11" fill="#1f1f1f">番号を選び直す単位が、条件の強さを決める</text>
	<text x="55" y="54" font-size="11" fill="#1b81e0">一様収束：全体を 1 つの番号で押さえる</text>
	<text x="212" y="83" font-size="11" fill="#1b81e0">n = 7</text>
	<text x="55" y="118" font-size="11" fill="#d0562a">擬一様収束：領域ごとに番号を選び直してよい</text>
	<text x="80" y="147" font-size="11" fill="#d0562a">n = 9</text>
	<text x="165" y="147" font-size="11" fill="#d0562a">n = 5</text>
	<text x="248" y="147" font-size="11" fill="#d0562a">n = 20</text>
	<text x="335" y="147" font-size="11" fill="#d0562a">n = 12</text>
	<text x="55" y="186" font-size="11" fill="#9a9a9a">どちらも、与えられた番号より先から選ぶ</text>
</svg>

計算例：擬一様収束もしていないこと

$[0,1]$ 上の $x^n$ に戻ります。極限が不連続でした。

アルツェラの定理の対偶から、この列は擬一様収束もしていないと分かります。一様収束より弱い条件すら満たしていません。

逆に $[0,1)$ に制限した場合は、極限が連続なので擬一様収束はしています。一様収束はしていないので、2 つの条件の差がこの例に出ています。

実際に使うのはほとんど一様収束のほうです。確かめやすさと強さの釣り合いが取れているからです。

連続性は保たれても微分可能性は保たれない

同じ問いを微分について立てると、答えが変わります。

$f_n(x)=\frac{\sin (n^{2}x)}{n^2}$ は $0$ に一様収束します。各項は何回でも微分できます。

ところが項別に微分した $\cos (n^{2}x)$ は、$x=0$ で $1$ のままです。導関数の列は $0$ に収束しません。

値の近さは傾きの近さを含みません。微分について同じ結論を得るには、導関数の列のほうに一様収束を仮定する必要があります。

積分は保たれる

有限区間の上でなら、積分は連続性と同じように保たれます。

$[a,b]$ 上で $f_n$ が積分可能で $f$ に一様収束するなら、$f$ も積分可能で、積分は極限と交換します。

$${\int }_a^{b}f=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n$$

証明は $\left|{\int }_a^b(f-f_n)\right|\le (b-a)\sup |f-f_n|$ という 1 行です。区間の長さが有限であることを使っています。

よくある誤り

参考文献