シグマの中に k/n が見えたら積分に直す（区分求積法の計算問題）

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$ は $\log 2$ です。和を先に計算してから極限をとるのではありません。和のほうを積分に読み替えます。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$$

$\frac{1}{n}$ が短冊の幅、$\frac{k}{n}$ が短冊の立っている位置です^[3]。この $2$ つが見えた時点で、和は積分になります。

短冊の幅と高さ

区間 $[0,1]$ を $n$ 等分すると、$1$ 本の幅は $\frac{1}{n}$。$k$ 番目の右端は $\frac{k}{n}$ にあります。

高さを $f\left(\frac{k}{n}\right)$ にとると、$1$ 本の面積が $\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$。全部足したものが和です。

$n$ を大きくすると短冊は細くなり、面積の合計は曲線の下の面積に近づく。これが積分の定義そのものです^[2]。

減っていく関数なので、右端で高さをとった和は積分より小さくなります。図の数値がいつも $0.6931$ の手前にいるのは、そのためです。

3 つの読み替え

やることは $3$ つだけです。$\frac{1}{n}$ を $dx$ に、$\frac{k}{n}$ を $x$ に、$k$ の走る範囲を積分区間に直します。

区間を $n$ 等分して右端で高さをとる形は、等分割のリーマン和と呼ばれるものにあたります^[1]。

むずかしいのは $1$ つ目です。$\frac{1}{n}$ が式の中に隠れていることが多く、それを表に出す変形が実際の手間になります。

問題 1：k の 2 乗を n の 3 乗で割る

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^3}$ を求めよ。

解答 1

分母の $n^3$ を $n$ と $n^2$ に分けます。$\frac{1}{n}$ を外に出すと、残りが ${\left(\frac{k}{n}\right)}^2$ になる。

$$\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^2⟶{\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$$

この問題は和の公式でも解けます。$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ の極限は $\frac{1}{3}$ で、確かに一致しました。

問題 2：分母が n と k の和

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)$ を求めよ。

解答 2

第 $k$ 項は $\frac{1}{n+k}$ です。分母と分子を $n$ で割ると $\frac{1}{n}$ が出てきます。

$$\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$$

したがって ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=[\log (1+x){]}_0^1=\log 2$。値は $0.693$ ほどです。

和の公式は使えません。$\frac{1}{n+k}$ の和に閉じた形はなく、積分に読み替えるしか道がない型です。

問題 3：分母が 2 乗の和

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$ を求めよ。

解答 3

分母と分子を $n^2$ で割ります。分子の $n$ は $\frac{1}{n}$ になり、分母は $1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2$ になる。

$$\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$$

積分すると ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=[\arctan x{]}_0^1=\frac{\pi }{4}$ です。

目印は、分子に $n$ が $1$ つ立っていること。これが $\frac{1}{n}$ の変装した姿です。

問題 4：根号の中に n の 2 乗

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}$ を求めよ。

解答 4

根号の中から $n^2$ をくくり出すと、外へ $n$ が出ます。

$$\frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}=\frac{1}{n\sqrt{1+\frac{k}{n}}}=\frac{1}{n}\cdot {\left(1+\frac{k}{n}\right)}^{-1/2}$$

あとは積分するだけ。${\int }_0^1(1+x{)}^{-1/2}dx=[2\sqrt{1+x}{]}_0^1=2\sqrt{2}-2$ になります。

数値では $0.828$ ほど。根号を含む型でも、$n^2$ をくくり出す一手で $\frac{1}{n}$ が現れます。

問題 5：k が 0 から始まる

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}$ を求めよ。

解答 5

$\frac{k\pi }{n}=\pi \cdot \frac{k}{n}$ なので、$f(x)=\sin \pi x$ とみます。

$${\int }_0^1\sin \pi xdx={\left[-\frac{\cos \pi x}{\pi }\right]}_0^1=\frac{2}{\pi }$$

$0.6366$ ほどです。$k$ が $0$ から $n-1$ まででも、$1$ から $n$ まででも、答えは変わりません。

端の 1 項は効かない

$k$ の始まりと終わりが $1$ つずれても極限は動きません。差は $\frac{1}{n}$ に $f$ の値を掛けた $1$ 項だけで、$n\to \infty$ で $0$ へ行くため。

短冊の左端で高さをとるか、右端でとるか。この違いも同じ理由で消えます^[2]。

問題 $7$ と問題 $8$ がその型になります。

問題 6：k を 2n で割る形

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\cos \frac{k\pi }{2n}$ を求めよ。

解答 6

$\frac{k\pi }{2n}=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{k}{n}$ と読み替えます。$\frac{k}{2n}$ を $x$ と置くのではありません。

$${\int }_0^1\cos \frac{\pi x}{2}dx={\left[\frac{2}{\pi }\sin \frac{\pi x}{2}\right]}_0^1=\frac{2}{\pi }$$

外に出ている $\frac{1}{n}$ が幅を決めているので、$x$ に対応するのは $\frac{k}{n}$ のほうです。$2$ は関数の中に押し込みます。

問題 7：k が n + 1 から始まる

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}$ を求めよ。

解答 7

$\frac{1}{k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{k/n}$ と書くと、$\frac{k}{n}$ は $1$ から $2$ まで走ります。

$${\int }_1^2\frac{dx}{x}=[\log x{]}_1^2=\log 2$$

問題 $2$ と同じ値になりました。それもそのはずで、$\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$ と $\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}$ は同じ和です。

同じ和が、区間 $[0,1]$ の積分とも区間 $[1,2]$ の積分とも読めます。どちらで読んでも値は一致する。

問題 8：k が 3n まで走る

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{3n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$ を求めよ。

解答 8

$\frac{k}{n}$ は $0$ から $3$ まで動きます。区間を $[0,3]$ にとる。

$${\int }_0^3\frac{dx}{1+x}=[\log (1+x){]}_0^3=\log 4$$

$\frac{1}{n}$ を見て $[0,1]$ と決めつけると、ここで落ちます。区間を決めるのは $k$ の走る範囲です。

問題 9：p 乗の和

$p>0$ とする。$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^p+2^p+\cdots +n^p}{n^{p+1}}$ を求めよ。

解答 9

分母を $n\cdot n^p$ と分けます。問題 $1$ の $p=2$ を一般にしただけです。

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^p⟶{\int }_0^1{x}^{p}dx=\frac{1}{p+1}$$

$p=1$ なら $\frac{1}{2}$、$p=2$ なら $\frac{1}{3}$。$p$ が整数でなくても、$p=\frac{1}{2}$ なら $\frac{2}{3}$ になります。

和の公式が使えるのは $p$ が小さい整数のときだけ。積分のほうは $p$ を選びません。

積の形は対数で和に直す

積の極限にも使えます。$\log$ をとれば積が和になり、和が積分になるためです。

最後に $e$ の肩へ戻すのを忘れると、答えが対数のまま残ります。

問題 10：n 乗根と積

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots (2n)}$ を求めよ。

解答 10

$n$ 乗根の中の積は $n$ 個です。$\frac{1}{n}$ を根号の中へ入れると、$\frac{1}{n}$ が $n$ 個ぶんになる。

$$\frac{1}{n}\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n(n+k)}=\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n\frac{n+k}{n}}=\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right)}$$

対数をとると和になります。

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log \left(1+\frac{k}{n}\right)& ⟶{\int }_0^1\log (1+x)dx\\ & =[(1+x)\log (1+x)-x{]}_0^1\\ & =2\log 2-1\end{array}$$

指数に戻して $e^{2\log 2-1}=\frac{4}{e}$。数値では $1.4715$ ほどになります。

問題 11：階乗の n 乗根

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ を求めよ。

解答 11

$\frac{1}{n}$ を根号の中へ入れる手は同じです。

$$\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n\frac{k}{n}}$$

対数をとると $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log \frac{k}{n}$ で、${\int }_0^1\log xdx=[x\log x-x{]}_0^1=-1$ です。

答えは $e^{-1}=\frac{1}{e}$。$0.3679$ ほどになります。

端で発散する場合

問題 $11$ の $\log x$ は $x\to 0$ で下へ発散します。区分求積の定理は有界な関数について述べたものなので、そのままでは枠の外です^[2]。

それでも結論は変わりません。$\log x$ が単調増加なので、$k=1$ の項を切り離せば残りは有界な範囲に収まり、切り離した $\frac{1}{n}\log \frac{1}{n}$ も $0$ へ行くためです。

答案では、広義積分が収束することを一言添えておけば足ります。

問題 12：区分求積では書けない形

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$ を求めよ。

解答 12

同じ手を当ててみます。$n^2$ をくくり出すと、中に残るのは $\frac{k}{n^2}$ です。

$$\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}}$$

$\frac{k}{n}$ ではないので、区分求積の形になりません。ここははさみうちに切り替えます。

$1\le k\le n$ の範囲で $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\le \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$ なので、$n$ 項を足すと次が成り立ちます。

$$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le \sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$$

両端とも $1$ に収束するので、答えは $1$ です。

問題 $4$ との差は $kn$ と $k$ の $1$ 文字だけ。それで手法が変わります。

検算のしかた

区分求積には、向きの決まった検算があります。$f$ が単調なら、和と積分の大小が最初から分かるため。

$f$ が減っていく関数なら、右端で高さをとった和は積分より小さくなる。増えていく関数なら大きくなります。

問題 $3$ で $n=4$ として計算すると、$\frac{4}{17}+\frac{4}{20}+\frac{4}{25}+\frac{4}{32}=0.7203$。

$\frac{\pi }{4}=0.7854$ なので、確かに下から近づいています。向きが合わなければ、どこかで式を写し違えている。

シグマの中に $\frac{k}{n}$ を見つける。あとは幅の $\frac{1}{n}$ を表に出して、区間を読むだけです。

参考文献