重解のときだけ x を掛ける、定数係数 2 階線形微分方程式の計算問題

$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }-4y=0$ の解は $y=c_1{e}^{-4x}+c_2{e}^x$ です。${\lambda }^2+3\lambda -4=0$ を解いて、出てきた $-4$ と $1$ を指数の肩に乗せただけ^[1]。

微分を $\lambda$ に、$2$ 階微分を ${\lambda }^2$ に置きかえる。定数係数の $2$ 階線形方程式は、この置きかえで $2$ 次方程式になります。

$$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0⟹a{\lambda }^2+b\lambda +c=0$$

特性方程式の 3 つの場合

$2$ 次方程式なので、判別式で $3$ 通りに分かれます。解の形もそれに合わせて $3$ 通り^[3]。

任意定数は必ず $2$ つ出ます。$2$ 階の方程式だからで、$1$ つしか出ていなければどこかで解を落としている。

境目の $p=1$ が重解にあたります。振動する側と振動しない側の、ちょうど境界にいる解です。

問題 1：異なる 2 実解

$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-6y=0$ を解け。

解答 1

${\lambda }^2-\lambda -6=(\lambda -3)(\lambda +2)=0$ から $\lambda =3,-2$ です。

$$y=c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{-2x}$$

因数分解できる形なら、そこで終わり。できなければ解の公式に回します。

問題 2：重解

$y^{\prime \prime }-6y^{\prime }+9y=0$ を解け。

解答 2

${\lambda }^2-6\lambda +9=(\lambda -3{)}^2=0$ で、$\lambda =3$ が重解です。

$$y=(c_1+c_{2}x)e^{3x}$$

$e^{3x}$ だけでは任意定数が $1$ つしか置けません。$x$ を掛けた $x{e}^{3x}$ を足して $2$ つにします。

重解でなぜ x が付くのか

代入すれば確かめられます。$y=x{e}^{3x}$ のとき $y^{\prime }=(1+3x)e^{3x}$、$y^{\prime \prime }=(6+9x)e^{3x}$ です。

$$(6+9x)-6(1+3x)+9x=6+9x-6-18x+9x=0$$

確かに $0$ になりました。もう少し筋の通った見方もあります。

解が ${\lambda }_1$ と ${\lambda }_2$ に分かれているとき、$\frac{e^{{\lambda }_{2}x}-e^{{\lambda }_{1}x}}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}$ も解です。定数倍と差は解のままなので。

問題 3：虚数解

$y^{\prime \prime }+6y^{\prime }+13y=0$ を解け。

解答 3

$\lambda =\frac{-6\pm \sqrt{36-52}}{2}=-3\pm 2i$ です。実部が $-3$、虚部が $2$。

$$y=e^{-3x}(c_1\cos 2x+c_2\sin 2x)$$

実部が指数の肩、虚部が三角関数の角の係数に入ります。オイラーの公式で $e^{(-3+2i)x}$ をほどくと、この形になる^[1]。

問題 4：初期条件を入れる

$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=0$、$y(0)=1$、$y^{\prime }(0)=5$ を解け。

解答 4

$(\lambda -2{)}^2=0$ で重解 $\lambda =2$。一般解は $y=(c_1+c_{2}x)e^{2x}$ です。

$y(0)=c_1=1$。微分すると $y^{\prime }=\{c_2+2(c_1+c_{2}x)\}{e}^{2x}$ なので、$y^{\prime }(0)=c_2+2c_1=5$。

$c_2=3$ となり、$y=(1+3x)e^{2x}$ です。$2$ 階なので条件は $2$ つ要ります。

右辺があるとき

右辺が $0$ でない場合は、一般解が $2$ つの部分に分かれます^[2]。

$$y=(\text{同次方程式の一般解})+(\text{もとの方程式の解 1 つ})$$

後者を特殊解といいます。$1$ つ見つければよく、どうやって見つけたかは問われません。

右辺が指数関数・多項式・三角関数なら、答えの形が予想できます。微分してもその仲間から出ないためです。

多項式のときは、右辺に現れない次数の項も全部置きます。$x^2$ だけでも $A{x}^2+Bx+C$ と置く^[2]。

三角関数も同じで、$\sin$ だけでも $\cos$ を添えて置きます。

問題 5：右辺が指数関数

$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=4e^{3x}$ を解け。

解答 5

同次のほうは $(\lambda -1)(\lambda -2)=0$ で $\lambda =1,2$ です。$3$ は解に入っていません。

$y_p=A{e}^{3x}$ と置いて代入します。$9A-9A+2A=2A$ なので $2A=4$、つまり $A=2$。

$$y=c_1{e}^x+c_2{e}^{2x}+2e^{3x}$$

肩の $3$ が特性方程式の解と重ならないので、そのまま通ります。

問題 6：右辺が多項式

$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=4x^2$ を解け。

解答 6

同次は $\lambda =2,-1$。$y_p=A{x}^2+Bx+C$ と置きます。

$y_p^{\prime }=2Ax+B$、$y_p^{\prime \prime }=2A$ を代入して、次数ごとにそろえます。

$$\begin{array}{r}-2A{x}^2+(-2A-2B)x+(2A-B-2C)=4x^2\end{array}$$

$-2A=4$ から $A=-2$。$-2A-2B=0$ から $B=2$。$2A-B-2C=0$ から $C=-3$ です。

$$y=c_1{e}^{2x}+c_2{e}^{-x}-2x^2+2x-3$$

$B$ と $C$ を省くと、$x$ の項と定数項が合いません。次数を落とさずに置くのはこのためです。

問題 7：右辺が三角関数

$y^{\prime \prime }+y=3\sin 2x$ を解け。

解答 7

同次は $\lambda =\pm i$ なので $y_c=c_1\cos x+c_2\sin x$。角が $2x$ で、同次解の $x$ とは違います。

$y_p=A\cos 2x+B\sin 2x$ と置くと $y_p^{\prime \prime }=-4A\cos 2x-4B\sin 2x$ です。

足すと $-3A\cos 2x-3B\sin 2x=3\sin 2x$ となり、$A=0$、$B=-1$。

$$y=c_1\cos x+c_2\sin x-\sin 2x$$

$A$ が $0$ に落ちました。それでも最初から $\cos$ を省くと、$A\ne 0$ になる問題で行き詰まります。

共鳴のときは x を掛ける

置いた形が同次解と重なると、代入したときに左辺が $0$ になります。$A$ が決まりません。

そのときは全体に $x$ を掛けます。$x$ を掛けてもまだ重なるなら、もう $1$ 回掛ける^[2,4]。

物理では共鳴と呼ばれる現象です。外から加える力の振動数が、系そのものの振動数と一致した状態にあたります。

問題 8：右辺が同次解と重なる

$y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+6y=3e^{-2x}$ を解け。

解答 8

同次は $(\lambda +2)(\lambda +3)=0$ で $\lambda =-2,-3$。右辺の肩の $-2$ が解に入っています。

$A{e}^{-2x}$ と置いても左辺は $0$ になるので、$x$ を掛けて $y_p=Ax{e}^{-2x}$ と置きます。

代入して整理すると左辺は $A{e}^{-2x}$ になり、$A=3$。

$$y=c_1{e}^{-2x}+c_2{e}^{-3x}+3x{e}^{-2x}$$

$-2$ は単根なので、掛けるのは $x$ が $1$ つで足ります。

問題 9：2 重に重なる

$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=e^{2x}$ を解け。

解答 9

同次は重解 $\lambda =2$ で、$y_c=(c_1+c_{2}x)e^{2x}$。$e^{2x}$ も $x{e}^{2x}$ も同次解です。

$x$ を $1$ 回掛けただけでは足りません。$y_p=A{x}^2{e}^{2x}$ と置きます。

代入すると左辺は $2A{e}^{2x}$ になるので $A=\frac{1}{2}$。

$$y=(c_1+c_{2}x)e^{2x}+\frac{x^2}{2}{e}^{2x}$$

重解に重なった場合は $x^2$ まで上がる。掛ける回数は重なりの重複度と一致します^[3]。

問題 10：右辺が和になっている

$y^{\prime \prime }-y=e^x+2$ を解け。

解答 10

右辺を $2$ つに分け、それぞれの特殊解を出して足します。線形なので重ね合わせが効きます。

$e^x$ の側は、$\lambda =1$ が同次の解なので $y_1=Ax{e}^x$。代入すると $2A{e}^x=e^x$ で $A=\frac{1}{2}$。

定数 $2$ の側は $y_2=B$ と置いて $-B=2$ から $B=-2$。

$$y=c_1{e}^x+c_2{e}^{-x}+\frac{x}{2}{e}^x-2$$

片方だけ共鳴して、もう片方はしない。この組み合わせはよく出ます。

定数変化法

右辺が $\tan x$ や $\frac{1}{x}$ のように、微分しても仲間から出ない関数だと、置く形を予想できません。

そのときは定数変化法を使います。同次解 $y_1$、$y_2$ の定数を関数に変え、$y_p=u{y}_1+v{y}_2$ と置く方法です^[2]。

$$u^{\prime }=\frac{-y_{2}r(x)}{W},v^{\prime }=\frac{y_{1}r(x)}{W},W=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2$$

$W$ はロンスキアンです。この形にするには、方程式を $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=r(x)$ の形、つまり $y^{\prime \prime }$ の係数を $1$ にしておきます。

問題 11：未定係数法が効かない右辺

$y^{\prime \prime }+y=\tan x$ を $0<x<\frac{\pi }{2}$ で解け。

解答 11

$y_1=\cos x$、$y_2=\sin x$ で、$W={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ です。

$$u^{\prime }=-\sin x\tan x=-\frac{1-{\cos }^{2}x}{\cos x}=\cos x-\frac{1}{\cos x}$$

積分して $u=\sin x-\log (\sec x+\tan x)$。$v^{\prime }=\cos x\tan x=\sin x$ なので $v=-\cos x$ です。

$$\begin{array}{rl}{y}_p& =u\cos x+v\sin x\\ & =\sin x\cos x-\cos x\log (\sec x+\tan x)-\cos x\sin x\\ & =-\cos x\log (\sec x+\tan x)\end{array}$$

第 $1$ 項と第 $3$ 項が消えました。一般解は $y=c_1\cos x+c_2\sin x-\cos x\log (\sec x+\tan x)$ です。

問題 12：三角関数で共鳴する

$y^{\prime \prime }+4y=\cos 2x$ を解け。

解答 12

同次は $\lambda =\pm 2i$ で $y_c=c_1\cos 2x+c_2\sin 2x$。右辺の $\cos 2x$ がそのまま同次解です。

$y_p=x(A\cos 2x+B\sin 2x)$ と置いて代入すると、$x$ を含む項が打ち消し合います。

残るのは $-4A\sin 2x+4B\cos 2x$ で、これが $\cos 2x$ に等しい。$A=0$、$B=\frac{1}{4}$ です。

$$y=c_1\cos 2x+c_2\sin 2x+\frac{x}{4}\sin 2x$$

図に描いた解がこれです。振幅が $\frac{x}{4}$ で伸びていきます。

まちがえやすい点

特性方程式を解いて、右辺と見比べて、重なっていたら $x$ を掛ける。手順はこれだけです。

出典