輪切りにするか筒で巻くか〜回転体の体積と曲線の長さを積分で出す

回転体の体積を出す式は $2$ つあります。回転軸に垂直な円板を積み上げる形と、軸に平行な筒を巻いていく形です。

$$V=\pi {\int }_a^b\{f(x){\}}^{2}dx,V=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$$

どちらでも同じ値が出ます。選ぶ基準は、積分が $1$ 本で済むかどうかだけ^[2]。

円板を積み上げる

$x$ 軸のまわりに回すとき、$x$ のところで軸に垂直に切ると断面は半径 $f(x)$ の円になります。

面積は $\pi \{f(x){\}}^2$。厚さ $dx$ を掛けて足し合わせたものが体積です。

領域が軸から離れていて中に穴があくときは、外側の円から内側の円を引きます。

$$V=\pi {\int }_a^b\left(\{R(x){\}}^2-\{r(x){\}}^2\right)dx$$

筒を巻いていく

$y$ 軸のまわりに回すときは、縦の短冊がそのまま筒になります。半径 $x$、高さ $f(x)$、厚さ $dx$ の筒です。

側面積は $2\pi xf(x)$ なので、体積は $2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$。半径に $x$ が掛かるところが円板の式との違いになります^[2]。

短冊の向きと回転軸の関係だけで決まります。短冊が軸に垂直なら円板、平行なら筒。

問題 1：放物線を x 軸で回す

$y=\sqrt{x}$ と $x$ 軸、$x=4$ で囲まれた領域を $x$ 軸のまわりに回した体積を求めよ。

解答 1

断面は半径 $\sqrt{x}$ の円です。$\{f(x){\}}^2=x$ なので、根号が消えます。

$$V=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^4=8\pi$$

$2$ 乗する式なので、根号を含む関数ほど計算が軽くなる。円板が有利な典型です。

問題 2：穴のあく形

$y=x^2$ と $y=2x$ で囲まれた領域を $x$ 軸のまわりに回した体積を求めよ。

解答 2

交点は $x^2=2x$ から $x=0$ と $x=2$。この区間では $2x$ が上にあります。

外側の半径が $2x$、内側が $x^2$ です。

$$\begin{array}{rl}V& =\pi {\int }_0^2\left\{(2x{)}^2-(x^2{)}^2\right\}dx\\ & =\pi {\int }_0^2(4x^2-x^4)dx\\ & =\pi {\left[\frac{4x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]}_0^2=\frac{64\pi }{15}\end{array}$$

引くのは半径ではなく、半径の $2$ 乗どうしです。$(2x-x^2{)}^2$ としてしまう誤りがいちばん多い。

問題 3：y 軸で回す

$y=\sin x$ と $x$ 軸、$0\le x\le \pi$ で囲まれた領域を $y$ 軸のまわりに回した体積を求めよ。

解答 3

円板でやると $x$ を $y$ の式に直す必要があり、$y=\sin x$ の逆関数が $2$ つに分かれます。筒で巻きます。

$$V=2\pi {\int }_0^{\pi }x\sin xdx$$

部分積分で $\int x\sin xdx=-x\cos x+\sin x$ なので、$0$ から $\pi$ で $\pi$ です。

したがって $V=2{\pi }^2$。逆関数が要らないところが筒の強みになります。

問題 4：どちらでも解ける形

$y=x$、$y=2-x$、$x$ 軸で囲まれた三角形を $x$ 軸のまわりに回した体積を求めよ。

解答 4

円板でやると、頂点の $x=1$ で上側の直線が入れ替わります。積分が $2$ 本に割れる。

$$\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx+\pi {\int }_1^2(2-x{)}^{2}dx=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$$

筒なら $1$ 本で済みます。高さ $y$ のところで領域を横に切ると、幅は $(2-y)-y=2-2y$ です。

$$V=2\pi {\int }_0^{1}y(2-2y)dy=2\pi {\left[y^2-\frac{2y^3}{3}\right]}_0^1=\frac{2\pi }{3}$$

両方の値が合いました。$2$ 通りで解ける問題は、そのまま検算になります。

曲線の長さ

曲線を細かい折れ線で置きかえます。$1$ 本の長さは $\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$ です。

$\Delta x$ でくくると $\sqrt{1+(\Delta y/\Delta x{)}^2}\Delta x$ になり、平均値の定理から $\Delta y/\Delta x$ が $f^{\prime }$ の値に等しくなります^[3]。

$$L={\int }_a^b\sqrt{1+\{f^{\prime }(x){\}}^2}dx$$

媒介変数で与えられているときは、$\sqrt{\{x^{\prime }(t){\}}^2+\{y^{\prime }(t){\}}^2}$ を $t$ で積分します。

問題 5：懸垂線

$y=\cosh x$ の $0\le x\le 1$ の部分の長さを求めよ。

解答 5

$y^{\prime }=\sinh x$ で、双曲線関数の関係から $1+{\sinh }^{2}x={\cosh }^{2}x$ です。

根号がそのまま外れます。

$$L={\int }_0^1\sqrt{{\cosh }^{2}x}dx={\int }_0^1\cosh xdx=\sinh 1=\frac{e-e^{-1}}{2}$$

$1.1752$ ほど。曲線の長さで根号が外れる関数は限られていて、懸垂線はその代表です。

問題 6：サイクロイドの 1 山

$x=r(t-\sin t)$、$y=r(1-\cos t)$ の $0\le t\le 2\pi$ の長さを求めよ。

解答 6

$x^{\prime }=r(1-\cos t)$、$y^{\prime }=r\sin t$ です。$2$ 乗して足します。

$$\begin{array}{rl}(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2& =r^2\left\{(1-\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t\right\}\\ & =r^2(2-2\cos t)=4r^2{\sin }^2\frac{t}{2}\end{array}$$

半角の公式で $1-\cos t=2{\sin }^2\frac{t}{2}$ を使いました。$0\le t\le 2\pi$ では $\sin \frac{t}{2}\ge 0$ なので、根号が素直に外れます。

$$L={\int }_0^{2\pi }2r\sin \frac{t}{2}dt=2r{\left[-2\cos \frac{t}{2}\right]}_0^{2\pi }=8r$$

転がる円の半径の $8$ 倍。円周 $2\pi r$ より少しだけ長く、$\pi$ を含まない整数倍になります。

曲面積

曲線を回してできる面の面積は、円錐の側面を細かく積み上げて出します^[1]。

半径 $f(x)$ の輪が、長さ $\sqrt{1+\{f^{\prime }(x){\}}^2}dx$ のぶんだけ伸びる形です。

$$S={\int }_a^{b}2\pi f(x)\sqrt{1+\{f^{\prime }(x){\}}^2}dx$$

長さの式に $2\pi f(x)$ が掛かっただけ。曲線の長さを先に出しておくと、そのまま流用できます。

問題 7：放物線を回した曲面

$y=\sqrt{x}$ の $1\le x\le 4$ の部分を $x$ 軸のまわりに回してできる曲面の面積を求めよ。

解答 7

$f^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ なので、根号の中は $1+\frac{1}{4x}=\frac{4x+1}{4x}$ です。

$2\pi \sqrt{x}$ を掛けると $\sqrt{x}$ が約分で消えます。

$$S={\int }_1^{4}2\pi \sqrt{x}\cdot \frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}dx=\pi {\int }_1^4\sqrt{4x+1}dx$$

積分すると $\pi {\left[\frac{(4x+1{)}^{3/2}}{6}\right]}_1^4=\frac{\pi }{6}\left(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\right)$。$30.85$ ほどになります^[3]。

約分が起きるのは偶然ではありません。$f=\sqrt{x}$ のとき $f\cdot \sqrt{1+(f^{\prime }{)}^2}$ が有理式の根号にまとまるためです。

極座標での面積

極方程式 $r=r(\theta )$ で囲まれた図形の面積は、細い扇形を足して出します。

中心角 $d\theta$、半径 $r$ の扇形の面積が $\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$ です。

$$A=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }\{r(\theta ){\}}^{2}d\theta$$

$\frac{1}{2}$ を落とす誤りが多い。三角形の面積の $\frac{1}{2}$ と同じものだと思っておくと忘れません。

問題 8：カージオイド

$r=a(1+\cos \theta )$ が囲む面積を求めよ。ただし $a>0$ とする。

解答 8

$\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで回します。展開してから項ごとに積分します。

$$\begin{array}{rl}A& =\frac{a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }(1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta )d\theta \\ & =\frac{a^2}{2}\left(2\pi +0+\pi \right)=\frac{3\pi a^2}{2}\end{array}$$

${\int }_0^{2\pi }\cos \theta d\theta =0$ と ${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta d\theta =\pi$ を使いました。

半径 $a$ の円の面積 $\pi a^2$ の $1.5$ 倍。くぼみがあるぶん小さくなりそうに見えて、実際は広いほうです。

パップス・ギュルダンの定理

回転体の体積と表面積には、積分を組まずに出せる場合があります^[4]。

回転軸が図形と交わらないとき、体積は図形の面積に、重心が動いた距離を掛けたものになります。

$$V=2\pi \rho A,S=2\pi \rho L$$

$\rho$ は軸から重心までの距離です。面積 $A$ には図形の重心、長さ $L$ には曲線の重心を使います^[5]。

問題 9：トーラス

半径 $a$ の円板を、中心から距離 $b$ だけ離れた軸のまわりに回した立体の体積と表面積を求めよ。ただし $b>a$ とする。

解答 9

円板の重心は中心にあります。$\rho =b$、$A=\pi a^2$ を代入するだけ。

$$V=2\pi b\cdot \pi a^2=2{\pi }^2{a}^{2}b$$

表面積は円周 $L=2\pi a$ を使って $S=2\pi b\cdot 2\pi a=4{\pi }^{2}ab$ です。

積分で出そうとすると、上半分と下半分に分けて根号を含む式を扱うことになる。定理を使えば $2$ 行で終わります。

問題 10：半円の重心を逆に出す

半円 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ の弧を $x$ 軸のまわりに回すと球面になる。この事実から弧の重心の高さを求めよ。

解答 10

球面の面積は $4\pi r^2$、半円の弧の長さは $\pi r$ です。定理の式に入れます。

$$4\pi r^2=2\pi \bar{y}\cdot \pi r$$

したがって $\bar{y}=\frac{2r}{\pi }$。$0.637r$ ほどで、半径の中点より少し上にあります^[1]。

定理は重心を求める側にも使えます。面積か体積のどちらかが分かっていれば、逆に解けばよい。

刻む向きを決めて、半径と高さを読む。曲線の長さと曲面積も、根号を $1$ つ足すだけで同じ流れに乗ります。

参考