シンプソン則はなぜ 3 次まで当たるのか？台形則と誤差を比べる

${\int }_0^1\frac{4}{1+x^2}dx$ は $\pi$ です。区間を $4$ 等分し、同じ $5$ 個の値だけを使って近似すると、台形則が $3.13118$、シンプソン則が $3.141569$ になります。

真の値は $3.1415927$。使った情報は同じなのに、誤差が $0.0104$ と $0.000024$ で $400$ 倍以上ちがう。

差は重みの付け方だけです。台形則は両端を半分にして足し、シンプソン則は $1,4,2,4,1$ の比で足します。

台形則

区間を $n$ 等分し、隣り合う $2$ 点を直線で結びます。$1$ 区間ぶんの面積が台形になる。

これを全部足すと、内側の点は $2$ つの台形に共有されるので係数が $1$、両端だけが $\frac{1}{2}$ になります^[3]。

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx h\left(\frac{f_0}{2}+f_1+\cdots +f_{n-1}+\frac{f_n}{2}\right)$$

$h=\frac{b-a}{n}$、$f_k=f(a+kh)$ です。$n$ に制限はありません。

シンプソン則

$2$ 区間をひと組にして、$3$ 点を通る放物線で近似します。直線ではなく $2$ 次曲線を当てる形です^[2]。

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{3}\left(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+\cdots +4f_{n-1}+f_n\right)$$

$2$ 区間で $1$ 組なので、$n$ は偶数に限られます。奇数を渡すと組が余って式が成り立ちません。

係数は端が $1$、奇数番目が $4$、偶数番目が $2$。$4$ と $2$ が交互に並ぶところをとり違えやすい。

図の関数では、台形則の誤差が $0.524$、シンプソン則が $0.032$。放物線のほうが曲線に寄り添っています。

問題 1：台形則で計算する

${\int }_1^2\frac{dx}{x}$ を $n=4$ の台形則で近似せよ。

解答 1

$h=0.25$ で、$x=1,1.25,1.5,1.75,2$ の $5$ 点をとります。値は $1$、$0.8$、$0.66667$、$0.57143$、$0.5$ です。

両端を半分にして足します。

$$0.25\left(\frac{1}{2}+0.8+0.66667+0.57143+\frac{0.5}{2}\right)=0.697024$$

真の値は $\log 2=0.693147$ なので、誤差は $0.00388$。上から近づいています。

問題 2：シンプソン則で計算する

同じ ${\int }_1^2\frac{dx}{x}$ を $n=4$ のシンプソン則で近似せよ。

解答 2

点は問題 $1$ と同じです。重みだけが $1,4,2,4,1$ に変わります。

$$\frac{0.25}{3}\left(1+4(0.8)+2(0.66667)+4(0.57143)+0.5\right)=0.693254$$

誤差は $0.000107$。台形則の $36$ 分の $1$ ほどになりました。同じ $5$ 点で、この差が出ます。

重みの和で確かめる

重みを足すと $b-a$ になります。$f$ が定数関数のとき、近似が厳密に一致するということです。

シンプソン則で $n=4$ なら $\frac{h}{3}(1+4+2+4+1)=\frac{12h}{3}=4h=b-a$。

一般の偶数 $n$ でも同じです。$4$ が $\frac{n}{2}$ 個、$2$ が $\frac{n}{2}-1$ 個、$1$ が $2$ 個なので、合計は $3n$ になります。

$$\frac{h}{3}\left(2+4\cdot \frac{n}{2}+2\left(\frac{n}{2}-1\right)\right)=\frac{h}{3}\cdot 3n=nh=b-a$$

計算を始める前に、この和が合うかを見ておく。重みを写し違えていれば、ここで止まります。

誤差の式

誤差には閉じた形があります。台形則は $2$ 階微分、シンプソン則は $4$ 階微分で決まります^[1]。

$$E=-\frac{(b-a)h^2}{12}{f}^{\prime \prime }(\xi ),E=-\frac{(b-a)h^4}{180}{f}^{(4)}(\xi )$$

$\xi$ は区間のどこかにある点で、場所は分かりません。分かるのは、$|f^{\prime \prime }|$ や $|f^{(4)}|$ の最大値で押さえられることだけです^[3]。

$h$ の冪が $2$ と $4$ です。分割を $2$ 倍に細かくすると、台形則の誤差は $\frac{1}{4}$、シンプソン則は $\frac{1}{16}$ になる。

$n$ を $2$ 倍にするたびに、シンプソン則の棒は $4$ 段階ぶん一気に縮みます。この差が、必要な分割数の差になって出てきます。

問題 3：台形則の誤差を押さえる

${\int }_1^2\frac{dx}{x}$ を $n=4$ の台形則で近似したときの誤差を、上から押さえよ。

解答 3

$f=\frac{1}{x}$ なので $f^{\prime \prime }=\frac{2}{x^3}$ です。$1\le x\le 2$ での最大値は $x=1$ での $2$。

$b-a=1$、$h=0.25$ を入れます。

$$|E|\le \frac{1\times 0.25^2}{12}\times 2=\frac{0.0625}{6}=0.01042$$

問題 $1$ の実際の誤差は $0.00388$ でした。押さえの内側に収まっています。

最大値をとる点は $\xi$ の位置とは限りません。だから式が与えるのは上限だけで、誤差そのものではない。

問題 4：分割数を決める

${\int }_1^2\frac{dx}{x}$ を台形則で、誤差 $10^{-4}$ 未満にしたい。$n$ をいくつにとればよいか。

解答 4

$h=\frac{1}{n}$ を誤差の式に入れます。

$$\frac{1}{12n^2}\times 2=\frac{1}{6n^2}<10^{-4}$$

$n^2>\frac{10^4}{6}=1666.7$ から $n>40.8$。整数にとって $n=41$ です。

$h$ ではなく $n$ について解くところが手順の要になります^[4]。

問題 5：シンプソン則で分割数を決める

同じ積分をシンプソン則で、誤差 $10^{-6}$ 未満にしたい。$n$ をいくつにとればよいか。

解答 5

$f^{(4)}=\frac{24}{x^5}$ で、$1\le x\le 2$ での最大値は $24$ です。

$$\frac{1}{180n^4}\times 24=\frac{2}{15n^4}<10^{-6}$$

$n^4>\frac{2\times 10^6}{15}=133333$。$19^4=130321$、$20^4=160000$ なので $n>19.1$ です。

偶数に限られるので $n=20$。台形則で $10^{-6}$ を狙うと $n>408$ となり、$409$ 点ぶんの計算が要ります。

なぜ 3 次まで当たるのか

シンプソン則は放物線を当てているので、$2$ 次関数までは厳密です。ところが $3$ 次関数でも厳密になります^[2]。

区間を $[-1,1]$ にとって $f(x)=x^3$ を入れると分かります。真の値は奇関数なので $0$。

近似のほうは $\frac{1}{3}\left\{(-1{)}^3+4\cdot 0+1^3\right\}=0$ で、こちらも $0$ です。

$3$ 次の項は中点をはさんで打ち消し合う。$1,4,1$ という左右対称の重みが、その打ち消しをそのまま拾っています。

問題 6：3 次関数で確かめる

${\int }_0^1{x}^{3}dx$ を $n=2$ のシンプソン則で計算し、真の値と比べよ。

解答 6

$h=0.5$ で、値は $f(0)=0$、$f(0.5)=0.125$、$f(1)=1$ です。

$$\frac{0.5}{3}\left(0+4(0.125)+1\right)=\frac{0.5}{3}\times 1.5=0.25$$

真の値も $\frac{1}{4}$ で、完全に一致しました。分割を $2$ つしかとっていないのに誤差が $0$ になります。

問題 7：4 次関数だと外れる

${\int }_0^1{x}^{4}dx$ を $n=2$ のシンプソン則で計算し、誤差を誤差の式と比べよ。

解答 7

値は $f(0)=0$、$f(0.5)=0.0625$、$f(1)=1$ です。

$$\frac{0.5}{3}\left(0+4(0.0625)+1\right)=\frac{0.5}{3}\times 1.25=0.208333$$

真の値は $\frac{1}{5}=0.2$ なので、誤差は $-0.008333$ になります。

誤差の式のほうも見ます。$f^{(4)}=24$ で定数なので、$\xi$ を選ぶ余地がありません。

$$-\frac{1\times 0.5^4}{180}\times 24=-\frac{1.5}{180}=-0.008333$$

数値がぴたりと合いました。$4$ 階微分が定数のときは、誤差の式が上限ではなく誤差そのものを返します。

問題 8：誤差の式が使えない場合

${\int }_0^1\sqrt{x}dx$ を台形則で近似すると、誤差はどう落ちるか。

解答 8

$f^{\prime \prime }=-\frac{1}{4}{x}^{-3/2}$ は $x\to 0$ で発散します。最大値がとれないので、誤差の式に入れる値がありません。

実際に計算します。$n=4$ で $0.643283$、$n=8$ で $0.658130$。真の値は $\frac{2}{3}=0.666667$ です。

誤差は $0.023384$ と $0.008537$ で、比は $2.74$。$h^2$ なら $4$ になるはずのところです。

$$\frac{0.023384}{0.008537}=2.74<4$$

$h^2$ より遅く落ちています。端点で導関数が発散する関数では、分割を細かくしても $h^2$ の速さは出ません。

置換 $x=t^2$ で ${\int }_0^{1}2t^{2}dt$ に直せば、なめらかな関数になって速さが戻ります。

整理

$2$ つの式のちがいを、$1$ か所にまとめます。

分割数の制限はシンプソン則だけにあります。偶数でなければ組が余る。

なめらかな関数ならシンプソン則が圧倒的に有利で、導関数が端で暴れる関数では、どちらも誤差の式が効かなくなります。

重みを並べて、微分の最大値を押さえて、$n$ について解く。数値積分の計算はこの $3$ 手で終わります。

参考文献