射影加群と自由加群

射影加群と自由加群はホモロジー代数の基本的な対象であり、加群の構造を理解する上で重要な役割を果たします。

自由加群の定義

$R$ を可換環とします。$R$-加群 $F$ が自由であるとは、$R$-加群として

$$F\cong \underset{i\in I}{⨁}R$$

と表せることをいいます。同値な条件として、$F$ が基底をもつこと、すなわち任意の元が基底の元の $R$-線型結合として一意に表せることがあります。

自由加群の例

射影加群の定義

$R$-加群 $P$ が射影的であるとは、任意の全射 $\pi :M\to N$ と準同型 $f:P\to N$ に対し、$\pi \circ \tilde{f}=f$ となる準同型 $\tilde{f}:P\to M$ が存在することをいいます。

図式で書くと

$$\begin{array}{ccc}& & M\\ & \tilde{f}\nearrow & \downarrow \pi \\ P& \stackrel{f}{\to }& N\to 0\end{array}$$

$\tilde{f}$ を $f$ の持ち上げといいます。

射影加群の特徴づけ

次の条件は同値です。

自由加群と射影加群の関係

自由加群は射影加群ですが、逆は一般には成り立ちません。

射影加群が自由になる場合

射影加群の例

$R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ において、イデアル $I=(2,1+\sqrt{-5})$ は射影加群ですが自由ではありません。$I\oplus I\cong R^2$ となります。

射影加群と平坦加群の関係

射影加群は平坦加群です。$P$ が射影なら $P$ は自由加群 $F$ の直和因子であり、$-{\otimes }_{R}P$ は $-{\otimes }_{R}F$ の直和因子として完全性を保ちます。

逆に、有限生成平坦加群は局所環上では自由であり、したがって射影的です。

有限表示加群

射影性と平坦性の差は有限表示のときに縮まります。