UFD（一意分解整域）の特徴づけ

UFD（一意分解整域）は整数環や多項式環のように、元が本質的に一意な方法で既約元の積に分解できる整域です。

UFD の定義

整域 $R$ が一意分解整域（UFD, Unique Factorization Domain）であるとは、次の条件を満たすことをいいます。

任意の

0

でも単元でもない元

a \in R

は既約元の有限積として書ける

その分解は本質的に一意（順序と単元倍を除いて一意）

ここで $p \in R$ が既約元であるとは、 $p = ab$ ならば $a$ か $b$ が単元となることをいいます。

UFD の例

整数環

$Z$ は UFD。素因数分解の一意性。

多項式環

$k$ が体または UFD なら $k [x]$ も UFD。帰納的に $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ も UFD。

主イデアル整域

PID は UFD。特に体上の一変数多項式環 $k [x]$ は PID かつ UFD。

UFD でない例

Z [- 5]

$6 = 2 \cdot 3 = (1 + - 5) (1 - - 5)$ という二通りの分解があり、UFD でない。

座標環

$k [x, y, z] / (x y - z^{2})$ は UFD でない。

既約元と素元

UFD では既約元と素元が一致します。

既約元

$p = ab \Rightarrow a$ または $b$ が単元。「これ以上分解できない」という条件。

素元

$p ∣ ab \Rightarrow p ∣ a$ または $p ∣ b$ 。「素因数分解で現れる」という条件。

一般の整域では「素元 $\Rightarrow$ 既約元」は成り立ちますが、逆は成り立ちません。UFD では両者が同値になります。

UFD の特徴づけ

整域 $R$ に対し、次は同値です。

R

は UFD

R

は既約元による分解が存在し、すべての既約元が素元

R

の

0

でない素イデアルは高さ

1

の素イデアルを含み、高さ

1

の素イデアルは単項

任意の二元

a, b

に対し最大公約元

g cd (a, b)

が存在し、ACCP（主イデアルの昇鎖条件）を満たす

UFD と整閉性

定理

UFD は整閉整域である。

$R$ が UFD で $α \in Frac (R)$ が $R$ 上整とします。 $α = a / b$ （ $g cd (a, b) = 1$ ）とし、 $α^{n} + c_{n - 1} α^{n - 1} + \dots + c_{0} = 0$ とすると、分母を払って $a^{n} + c_{n - 1} a^{n - 1} b + \dots + c_{0} b^{n} = 0$ です。 $b ∣ a^{n}$ ですが $g cd (a, b) = 1$ より $b$ は単元、すなわち $α \in R$ です。

局所化と UFD

R

が UFD で

S

が乗法的集合なら

S^{- 1} R

も UFD

R

が UFD で

p

が高さ

1

の素イデアルなら

R_{p}

は離散付値環（DVR）

Nagata の定理

$R$ を整域、 $S$ を素元から生成される乗法的集合とする。 $S^{- 1} R$ が UFD ならば $R$ も UFD。

この定理は $R [x]$ が UFD であることの証明などに使われます。