一意分解はどこで成り立つのか？UFD の特徴づけと判定

$Z [- 5]$ で $2$ は既約です。 $2 = α β$ とすると、ノルムをとって $4 = N (α) N (β)$ 。 $N = 2$ となる元がないので、片方が単元になります。

ところが $2$ は素元ではありません。 $2$ は $6 = (1 + - 5) (1 - - 5)$ を割りますが、どちらの因子も割らない。

既約なのに素でない。この食い違いが起きない整域が UFD です。

定義

整域 $R$ が一意分解整域であるとは、次の 2 つを満たすことです。

0

でも単元でもない元が、既約元の有限積として書ける。

その分解が順序と単元倍を除いて一意である。

前半を原子的といいます^[2]。主イデアルの昇鎖条件を満たす環はつねに原子的なので、ネーター整域なら前半は自動的に成り立ちます^[2]。

だから実際に問われるのは後半の一意性です。そして一意性は、既約元が素元になることと同じ意味になります。

既約元と素元

$p$ が既約とは、 $p = ab$ から $a$ か $b$ が単元になること。これ以上分けられないという条件です。

$p$ が素元とは、 $p ∣ ab$ から $p ∣ a$ か $p ∣ b$ が出ること。素イデアル $(p)$ を生むという条件になります。

整域では素元がつねに既約です。逆は一般に成り立ちません^[2]。

既約元

これ以上分けられない。分解の終着点という条件

素元

積を割るなら因子のどれかを割る。分解の一意性を支える条件

一意性が崩れるのは、既約なのに素でない元があるときです。冒頭の $2$ がその形になっている。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… twoWayLeaf[index][1] …)

UFD では両者が一致する

$R$ が UFD なら、既約元は素元です。 $p ∣ ab$ とし、 $ab = p c$ と書いて両辺を分解すると、一意性から $p$ が $a$ か $b$ の分解に現れます。

逆も成り立ちます。原子的で、しかもすべての既約元が素元なら、分解は一意になる。

したがって次が同値です。

$R が UFD ⟺ R が原子的、かつ既約元がすべて素元$

ネーター整域では原子性が自動なので、既約元が素元かどうかだけを見れば足ります。

Kaplansky の判定

素イデアルの側から見た判定があります^[2]。

整域 $R$ が UFD であることと、 $0$ でないどの素イデアルも素元を含むことが同値です^[2]。

条件が素イデアル 1 つずつの話に落ちるので、確かめやすい形になっています。

分解の存在も一意性も持ち出さず、素元がどこにでも現れるかどうかだけを問う。判定条件としてはこれがいちばん軽い。

高さ 1 の素イデアルが単項

ネーター整域なら、もっと幾何的な形になります^[1]。

$R が UFD ⟺ 高さ 1 の素イデアルがすべて単項$

高さ $1$ の素イデアルは、余次元 $1$ の既約な部分集合に対応します。超曲面が 1 本の式で書けるかどうか、という条件です^[3]。

$k [x, y, z, w] / (x y - z w)$ を見ます。 $x y = z w$ という 2 通りの分解があるので UFD ではありません。

幾何では、この錐の上に 1 本の式で書けない超曲面があることを意味します。 $x = z = 0$ で定まる平面がその例です。

UFD は整閉

$R$ が UFD なら整閉です^[4]。証明は既約分数の議論で終わります。

$α = a / b$ を既約分数とし、 $R$ 上整とします。整従属関係に $b^{n}$ を掛けると、第 2 項から先がすべて $b$ で割れる。

だから $b ∣ a^{n}$ 。 $a$ と $b$ が互いに素なので $b$ は単元で、 $α \in R$ になります。

逆は成り立ちません。 $Z [- 5]$ は整閉ですが UFD ではない^[3]。整閉性のほうが弱い条件です。

UFD は最大公約元を持つ整域でもあります。分解から公約元を組み立てられるためです。

Gauss の定理

$R$ が UFD なら $R [x]$ も UFD です^[3]。

帰納的に $R [x_{1}, \dots, x_{n}]$ も UFD になります。体上の多項式環がすべてこの形。

$Z [x]$ も UFD です。ただし単項イデアル整域ではありません。 $(2, x)$ が単項でない。

一意分解と単項性は別の条件です。次元が $2$ 以上の環では、単項でないイデアルが必ず現れます。

$Z [x]$ は UFD だが PID ではない。一意分解のほうが弱い条件です。

高さ $1$ の素イデアルだけが単項であればよく、それ以外は単項でなくても分解は一意に決まります。

局所化しても UFD

$R$ が UFD で $S$ が乗法的集合なら、 $S^{- 1} R$ も UFD です^[3]。

分解が保たれ、既約元は単元になるか既約のまま残ります。素元の性質も局所化で消えません。

高さ $1$ の素イデアルで局所化すると、離散付値環が出ます。単項なので極大イデアルが 1 元で生成される。

Nagata の判定

逆向きに使える定理もあります。 $R$ をネーター整域とします^[2]。

素元だけで生成される乗法的集合 $S$ があり、 $S^{- 1} R$ が UFD なら、 $R$ も UFD です^[2]。

素元で割った先で一意分解が成り立てば、もとの環に戻せる。割った素元のぶんは、素元だったので問題になりません。

$R [x]$ が UFD であることの証明などに使われます。

正則局所環は UFD

正則局所環はすべて UFD です。Auslander と Buchsbaum の定理として知られています^[3]。

幾何では、滑らかな点の近くで余次元 $1$ の部分集合が 1 本の式で書ける、という主張になります。

逆は成り立ちません。UFD でも特異点を持つ環があります。一意分解は滑らかさより弱い条件です。

次のうち UFD でないものはどれですか。

$Z [x]$
$Z [- 5]$
$k [x, y]$

__RESULT__

$Z [- 5]$ では $6 = 2 \cdot 3 = (1 + - 5) (1 - - 5)$ という 2 通りの分解があります。 $Z [x]$ と $k [x, y]$ は Gauss の定理から UFD です。前者は PID ではありませんが、UFD ではあります。

まちがえやすい点

既約元と素元を同じものとして扱う。一致するのは UFD の中だけです。

UFD なら PID だと思う。

Z [x]

が反例になります。

整閉なら UFD だと考える。

Z [- 5]

が整閉かつ UFD でない例です。

ネーター整域なら分解の一意性まで自動だと思う。自動なのは存在のほうです。

高さ

1

以外の素イデアルにも単項性を求める。条件は高さ

1

だけに掛かります。

分けられないことと、割り切ることが同じ意味になるか。一意分解が成り立つかどうかは、その一点で決まります。

参考文献

Lemma 10.120.6. The Stacks Project.

Hamza Lamhar. *Kaplansky's theorem and factorization in integral domains*. Université du Luxembourg.

Wolfgang Soergel. *Kommutative Algebra und Geometrie*, 4.2.24 と §8.7. Universität Freiburg.

Damian Rössler. *Commutative Algebra*, §12. University of Oxford.

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の $2$ は既約なのに素元ではありません。この食い違いが起きない整域が UFD です。ネーター整域では分解の存在が自動なので、問われるのは一意性のほう。Kaplansky の判定なら「$0$ でない素イデアルが素元を含む」だけで済み、ネーターなら「高さ $1$ の素イデアルが単項」と同値になります。UFD が整閉であること、Gauss の定理、$\mathbb{Z}[x]$ が UFD でも PID でないことまで。