完全列と蛇の補題 - 接続準同型の構成と証明

$2$ 倍する写像 $Z \to Z$ は単射で、像は偶数全体です。余りをとる写像 $Z \to Z /2 Z$ は全射で、その核も偶数全体。

$0 ⟶ Z \times 2 Z ⟶ Z /2 Z ⟶ 0$

前の写像の像と、次の写像の核がぴったり重なる。この重なりを各点で要求した列が完全列です。

完全とは像と核が一致すること

$R$ 加群と準同型の列を考えます。

$\dots ⟶ M_{i - 1} f_{i - 1} M_{i} f_{i} M_{i + 1} ⟶ \dots$

$M_{i}$ のところで完全とは、 $im f_{i - 1} = ker f_{i}$ が成り立つことです。

包含の片側だけなら弱い条件になる。 $im f_{i - 1} \subseteq ker f_{i}$ は $f_{i} \circ f_{i - 1} = 0$ と同じことで、複体であるという条件。等号まで要求したのが完全性です。

差がどれだけあるかを測ると $ker f_{i} / im f_{i - 1}$ で、これがホモロジーになる。完全とは、この商が $0$ になることです。

短完全列

$5$ 項の形が、最もよく現れます。

$0 ⟶ M^{'} f M g M^{''} ⟶ 0$

この列が完全であることは、次の 3 つを同時に満たすことです。

f

は単射になる。

g

は全射になる。

im f = ker g

が成り立つ。

左端での完全性が $f$ の単射性、右端での完全性が $g$ の全射性を言っている。中央の条件が残りの 1 つ。

このとき $M^{'} ≅ ker g$ で、 $M^{''} ≅ M / im f$ 。 $M$ の中に $M^{'}$ が埋まっていて、その商が $M^{''}$ という形になる。

例：核と余核を 1 本につなぐ

準同型 $h : M \to N$ を 1 つとる。核と余核を両端に置くと、 $4$ 項の完全列ができる。

$0 ⟶ ker h ⟶ M h N ⟶ coker h ⟶ 0$

$coker h = N / im h$ です。 $N$ のところでの完全性が $im h = ker (N \to coker h)$ で、余核の定義そのもの。

$h$ が単射なら左端の $ker h$ が消え、全射なら右端の $coker h$ が消える。この $2$ つが同時に消えるとき、 $h$ は同型。

分裂するかどうか

短完全列 $0 \to M^{'} \to M \to M^{''} \to 0$ が分裂するとは、 $M ≅ M^{'} \oplus M^{''}$ が成り立ち、 $M^{'}$ と $M^{''}$ の位置もそのまま対応することです^[3]。

次の 3 つは同値になります^[1]。

切断がある

$s : M^{''} \to M$ で $g \circ s = id$ を満たすものがある。

引き込みがある

$r : M \to M^{'}$ で $r \circ f = id$ を満たすものがある。

直和に分かれる

$M ≅ M^{'} \oplus M^{''}$ で、 $f$ が第 1 成分の埋め込み、 $g$ が第 2 成分への射影に対応する。

冒頭の列は分裂しない^[3]。 $Z /2 Z$ から $Z$ への準同型は $0$ しかなく、切断がとれないためです。

$Z \oplus Z /2 Z$ には位数 $2$ の元があり、 $Z$ にはありません。同型になりようがない。

蛇の補題

行が完全な可換図式を $2$ 段に並べる。上の行は右端で $0$ に落ち、下の行は左端が $0$ から始まる。

上の行を $M^{'} \to M \to M^{''} \to 0$ 、下の行を $0 \to N^{'} \to N \to N^{''}$ とし、縦の写像を $α$ 、 $β$ 、 $γ$ と書く。

可換性は $f^{'} α = β f$ と $g^{'} β = γ g$ の $2$ つ。

このとき接続準同型 $δ : ker γ \to coker α$ があり、次の $6$ 項が完全になります^[1,2]。

$ker α ⟶ ker β ⟶ ker γ δ coker α ⟶ coker β ⟶ coker γ$

上の行の左端も完全（ $f$ が単射）なら $ker α \to ker β$ も単射。下の行の右端も完全（ $g^{'}$ が全射）なら $coker β \to coker γ$ も全射になります^[2]。

赤い道が蛇のように曲がるところから、この名前がついた。

接続準同型を組み立てる

$x \in ker γ$ から出発する^[1]。手順は $3$ 段。

$g$ が全射だから、 $g (m) = x$ となる $m \in M$ をとる。持ち上げ方は $1$ 通りではありません。

可換性から $g^{'} (β (m)) = γ (g (m)) = γ (x) = 0$ 。だから $β (m)$ は $ker g^{'} = im f^{'}$ に入ります。

$f^{'}$ は単射だから、 $f^{'} (n^{'}) = β (m)$ となる $n^{'} \in N^{'}$ がただ $1$ つ決まる。この $n^{'}$ の $coker α$ での類を $δ (x)$ とします。

x を持ち上げて m をとる

β で N へ送る

f’ で N’ へ引き戻して n’ を得る

持ち上げ方によらない

$m_{1}$ と $m_{2}$ がどちらも $x$ へ写るとします。差 $m_{1} - m_{2}$ は $ker g = im f$ に入るため、 $m_{1} - m_{2} = f (m^{'})$ と書ける^[1]。

可換性を使って $β$ で送る。

$β (m_{1}) - β (m_{2}) = β f (m^{'}) = f^{'} α (m^{'})$

$f^{'} (n_{1}^{'}) = β (m_{1})$ 、 $f^{'} (n_{2}^{'}) = β (m_{2})$ とすると、 $f^{'} (n_{1}^{'} - n_{2}^{'}) = f^{'} (α (m^{'}))$ です。 $f^{'}$ が単射だから $n_{1}^{'} - n_{2}^{'} = α (m^{'})$ 。

差が $im α$ に入り、 $coker α$ での類は変わりません。 $δ$ は写像として決まります。

和とスカラー倍は、それぞれの段で持ち上げを足し合わせれば移る。 $δ$ は準同型。

$ker γ$ での完全性

$im (ker β \to ker γ) =$ \ker\delta $を両側から示す。まず$ x = g(m) $で$ m \in \ker\beta $なら、$ \beta(m) = 0 = f’(0) $となり$ n’ = 0 $。$ \delta(x) = 0 $になる。逆に$ \delta(x) = 0 $とします。$ n’ = \alpha(m’) $となる$ m’ \in M’ $があるため、$ m_1 = m - f(m’) $と置く。上の行が完全だから$ g \circ f = 0 $で、$ g(m_1) = g(m) = x $のまま変わりません。$ \beta $で送ると次のようになる。 <! - - aa 345 e dd 3 e b c 427 f 93 a 615 d 4 ba 536 b 4 d_{6} - - >$ m_1 $が$ \ker\beta $に入り、$ x $へ写る。$ x $は$ \ker\beta $からの像に入っている⟪cite 1⟫。 ##$ \mathrm{coker},\alpha $での完全性$ \mathrm{coker},\alpha \to \mathrm{coker},\beta $は、$ n’ $の類を$ f’(n’) $の類へ送る写像です。$ \mathrm{im},\delta $とこの写像の核が一致することを見ます。$ \delta(x) $の代表$ n’ $は$ f’(n’) = \beta(m) $を満たし、$ f’(n’) $は$ \mathrm{im},\beta $に入る。だから$ \mathrm{coker},\beta $での類は$ 0 $。逆に$ n’ $の類が$ 0 $へ写るとします。$ f’(n’) = \beta(m) $となる$ m \in M $をとり、$ x = g(m) $と置く。 <! - - aa 345 e dd 3 e b c 427 f 93 a 615 d 4 ba 536 b 4 d_{7} - - > 下の行が完全で$ g’ \circ f’ = 0 $だから、右端が$ 0 $になりました。$ x \in \ker\gamma $で、構成をたどれば$ \delta(x) $が$ n’ $の類です⟪cite 1⟫。 ## 残りの 2 か所と両端$ \ker\beta $でも同じ形の追跡になる。$ m \in \ker\beta $で$ g(m) = 0 $なら$ m = f(m’) $と書け、$ f’\alpha(m’) = \beta f(m’) = 0 $から$ \alpha(m’) = 0 $。$ m’ $が$ \ker\alpha $に入ります ⟪ c i t e 1⟫ 。$ \mathrm{coker},\beta $でも、向きを逆にした同じ追跡が通ります。両端に追跡はいらない。$ f $が単射なら、その制限である$ \ker\alpha \to \ker\beta $も単射。$ g’ $が全射なら、 \to coker γ$ も全射になる。

図式を描いて、要素を矢印に沿って動かすだけで全部が済みました。この手つきを図式追跡という。

例： $2$ 倍写像で $δ$ を計算する

上下の行をどちらも $0 \to Z \times 2 Z \to Z /2 Z \to 0$ とします。縦の写像はすべて $2$ 倍。

$γ$ は $Z /2 Z$ の上の $2$ 倍だから零写像で、 $ker γ = Z /2 Z$ 。 $α$ と $β$ は単射だから、 $ker α = ker β = 0$ 。

$x = \overset{ˉ}{1}$ で $δ$ をたどる。 $m = 1$ が $\overset{ˉ}{1}$ へ写り、 $β (m) = 2$ 。

$f^{'} (n^{'}) = 2$ を満たすのは $2 n^{'} = 2$ から $n^{'} = 1$ です。 $coker α = Z /2 Z$ での類は $\overset{ˉ}{1}$ 。

$δ (\overset{ˉ}{1}) = \overset{ˉ}{1} \neq = 0$

$ker β = 0$ から来る像は $0$ だけで、 $δ$ が単射でなければ完全性が崩れます。実際に $δ$ は同型になる。

$ker α, ker β$	どちらも $0$
$ker γ$	$Z /2 Z$
$coker α, coker β, coker γ$	どれも $Z /2 Z$
$δ$	$Z /2 Z$ から $Z /2 Z$ への同型

$δ$ を落とすと $0 \to Z /2 Z$ と $Z /2 Z \to Z /2 Z \to Z /2 Z \to 0$ に切れ、どちらも完全になりません。

接続準同型が $2$ つの列をつないでいる。

長完全列へ

蛇の補題が最も効くのは、複体の短完全列に当てるときです^[4]。

$0 \to A_{∙} \to B_{∙} \to C_{∙} \to 0$ が各次数で完全なら、ホモロジーの長完全列ができます^[4]。

$\dots ⟶ H_{n} (A) ⟶ H_{n} (B) ⟶ H_{n} (C) \partial H_{n - 1} (A) ⟶ \dots$

次数を $1$ つ下げる $\partial$ が、蛇の補題の $δ$ そのものです。導来関手の長完全列も、同じ形で組み立てられる。

$0 \to M^{'} \to M \to M^{''} \to 0$ が完全であることと同値なのはどれですか。

$f$ が全射で $g$ が単射
$f$ が単射、 $g$ が全射、 $im f = ker g$
$M ≅ M^{'} \oplus M^{''}$

__RESULT__

左端での完全性が $f$ の単射性、右端での完全性が $g$ の全射性にあたります。直和に分かれるのは分裂する場合だけで、 $0 \to Z \times 2 Z \to Z /2 Z \to 0$ は完全ですが分裂しません。

$δ (x)$ を決めるとき、 $g (m) = x$ となる $m$ の選び方を変えるとどうなりますか。

$coker α$ での類は変わらない
別の元になり、 $δ$ は定まらない
$ker γ$ の元が変わる

__RESULT__

$2$ つの持ち上げの差は $ker g = im f$ に入るので $f (m^{'})$ と書けます。 $β$ で送ると $f^{'} α (m^{'})$ になり、引き戻した $n^{'}$ の差が $α (m^{'})$ 。 $im α$ で割った類は動きません。

完全列は像と核が重なる条件、蛇の補題はその重なりを $2$ 段の図式の上でつなぎ直す道具です。証明に使ったのは、持ち上げて、送って、引き戻すという $3$ 手だけ。

参考

Romyar Sharifi, *Homological Algebra*, UCLA.

Nicolas Perrin, *Algèbre commutative*, Université de Versailles Saint-Quentin.

Wolfgang Soergel, *Kommutative Algebra und Geometrie*, Universität Freiburg.

Stacks Project, Lemma 12.13.6（タグ 0111）.

$0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0$ のように、前の像と次の核が重なる列が完全列です。$2$ 段の可換図式に蛇の補題を当てると、$\ker\alpha$ から $\mathrm{coker}\,\gamma$ まで $6$ 項がひと続きになる。中心にある接続準同型 $\delta$ は、持ち上げて、$\beta$ で送って、$f'$ で引き戻す $3$ 手で組み立てます。持ち上げ方によらないことの確認と、$\ker\gamma$ と $\mathrm{coker}\,\alpha$ での完全性の追跡を全部書いた。分裂の同値条件、$2$ 倍写像で $\delta$ が同型になる計算、複体の長完全列まで。