準素イデアル入門｜根基・準素分解・埋め込み点を例からわかりやすく解説

準素イデアルは、素イデアルの条件を「もう片方の何乗かが入る」に緩めたものです。整数の素因数分解をイデアルへ持ち上げる準素分解の、部品にあたります。

$\mathbb{Z}$ で $(12)=(4)\cap (3)$ と分けるとき、$(4)$ は素イデアルではありません。素イデアルだけでは分解が足りず、素数のべきにあたるものが必要になります。

以下では定義から始め、判定の条件と例を積み上げたうえで、Lasker–Noether の準素分解と 2 つの一意性定理まで進みます。

準素イデアルの定義

$R$ を可換環、$Q$ を $R$ の真のイデアル、すなわち $Q\ne R$ とします。$Q$ が準素イデアルであるとは、次の条件を満たすことをいいます。

$$ab\in Q,a\notin Q⟹b\in \sqrt{Q}$$

$Q\ne R$ という条件は落とせません。これがないと $R$ 自身が定義を満たしてしまい、素イデアルが真のイデアルであることと歩調が合わなくなります。

素イデアルとの比較

素イデアル $\mathfrak{p}$ の定義は、$ab\in \mathfrak{p}$ かつ $a\notin \mathfrak{p}$ ならば $b\in \mathfrak{p}$ でした。準素はこの結論だけを緩めた形になっています。

したがって素イデアルは準素イデアルです。$\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$ なので、緩めた条件が元の条件に戻ります。

逆は成り立ちません。$\mathbb{Z}$ の $(4)$ は準素ですが素ではなく、$2\cdot 2\in (4)$ でありながら $2\notin (4)$ となっています。

剰余環の零因子による言い換え

準素性は剰余環 $R/Q$ の言葉に翻訳できます。次の 2 つは同値です。

$ab\in Q$ かつ $a\notin Q$ という状況は、$R/Q$ で $\bar{a}\ne 0$ かつ $\bar{a}\bar{b}=0$、つまり $\bar{b}$ が零因子だということです。結論の $b\in \sqrt{Q}$ は $\bar{b}$ が冪零だということにあたります。

この言い換えは定義を書き直しただけなので、ネーター性のような仮定は要りません。以後の証明ではこちらの形を使うほうが短くなります。

根基が素イデアルであること

$Q$ が準素ならば $\sqrt{Q}$ は素イデアルになります。準素イデアルのもっとも基本的な性質です。

まず $\sqrt{Q}\ne R$ を確かめます。$1\in \sqrt{Q}$ なら $1\in Q$ となって $Q\ne R$ に反するからです。

$ab\in \sqrt{Q}$ とすると、ある $n$ で $a^n{b}^n\in Q$ です。ここで $a\notin \sqrt{Q}$ と仮定すると、どの $m$ でも $a^m\notin Q$ なので、とくに $a^n\notin Q$ になります。

準素性を $a^n\cdot b^n\in Q$ に適用すると $b^n\in \sqrt{Q}$ が出ます。根基の根基は根基なので、$b\in \sqrt{Q}$ が従います。

p-準素という呼び方

$Q$ が準素で $\sqrt{Q}=\mathfrak{p}$ のとき、$Q$ は $\mathfrak{p}$-準素であるといい、$\mathfrak{p}$ を $Q$ に属する素イデアルと呼びます。

根基は、その準素イデアルがどの素イデアルの近くにいるかを指定します。$Q\subseteq \sqrt{Q}=\mathfrak{p}$ なので、$Q$ は $\mathfrak{p}$ の中に収まっています。

同じ $\mathfrak{p}$ に属する準素イデアルはたくさんあります。$\mathfrak{p}$ 自身もその 1 つで、$\mathbb{Z}$ なら $(2),(4),(8),\dots$ がすべて $(2)$-準素です。

整数環での原型

$\mathbb{Z}$ で $(p^n)$（$p$ は素数）は $(p)$-準素です。もっとも見やすい例なので、定義に沿って確かめます。

$ab\in (p^n)$ かつ $a\notin (p^n)$ とします。$p$ で割れる回数を $v$ と書くと $v(a)+v(b)\ge n$ かつ $v(a)<n$ なので、$v(b)\ge 1$ が出ます。

したがって $v(b^n)=n\cdot v(b)\ge n$ となり、$b^n\in (p^n)$ が成り立ちます。

根基は $\sqrt{(p^n)}=(p)$ です。$(p)$ は極大イデアルなので、あとで見る十分条件からも同じ結論が得られます。

準素でない最小の例

$\mathbb{Z}$ の $(12)$ は準素ではありません。$3\cdot 4\in (12)$ ですが $3\notin (12)$ であり、$4^n$ は 3 で割れないのでどの $n$ でも $(12)$ に入らないからです。

原因は $12=2^2\cdot 3$ が 2 つの素数を含むことにあります。根基を計算すると $\sqrt{(12)}=(6)$ で、これは素イデアルではありません。

前節のとおり準素なら根基は素なので、この時点で $(12)$ は失格です。分解して $(12)=(4)\cap (3)$ とすれば、各成分は準素になります。

単項イデアル整域での分類

$R$ を単項イデアル整域とすると、準素イデアルは $(0)$ と $(p^n)$（$p$ は素元、$n\ge 1$）に限られます。

$(0)$ は素イデアルなので準素です。$(p^n)$ が準素であることは、整数のときと同じ計算で確かめられます。

逆に $(a)$ が準素で $a\ne 0$ としましょう。$a=u{p}_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ と素元分解すると、根基は相異なる素元の積で $\sqrt{(a)}=(p_1\cdots p_k)$ になります。

これが素イデアルになるのは $k=1$ のときだけです。$k\ge 2$ なら $p_1\cdot p_2\in (p_1\cdots p_k)$ なのにどちらの因子も入らないからで、結局 $(a)=(p^n)$ の形に限られます。

根基が極大なら準素

$\sqrt{Q}$ が極大イデアル $\mathfrak{m}$ であれば、$Q$ は $\mathfrak{m}$-準素です。判定に使える便利な十分条件になります。

理由は剰余環にあります。$R/Q$ の冪零根基は $\mathfrak{m}/Q$ で、これは極大イデアルです。

冪零根基はすべての素イデアルの共通部分なので、それが極大であれば $R/Q$ の素イデアルは $\mathfrak{m}/Q$ ただ 1 つになります。すると $R/Q$ のどの元も単元か冪零のどちらかです。

零因子は単元になれないので冪零です。剰余環による言い換えから、$Q$ は準素だと結論できます。

とくに極大イデアルのべき ${\mathfrak{m}}^n$ はつねに $\mathfrak{m}$-準素です。$\sqrt{{\mathfrak{m}}^n}=\mathfrak{m}$ は任意の可換環で成り立ち、ネーター性は要りません。

素イデアルのべきではない準素イデアル

$k[x,y]$ の $(x,y^2)$ を考えます。根基は $(x,y)$ で極大なので、前節から $(x,y)$-準素です。

この準素イデアルは、どの素イデアルのべきでもありません。$(x,y{)}^1=(x,y)$ には $y$ が入りますが、$(x,y^2)$ には入らないからです。

$(x,y{)}^2=(x^2,xy,y^2)$ のほうには $x$ が入りません。$(x,y{)}^n$ は $n$ が大きいほど小さくなるので、$(x,y^2)$ と一致することはありません。

準素イデアルと素イデアルのべきは、どちらも他方を含まない別の概念です。この点は次の 2 節でさらにはっきりします。

根基が素でも準素とは限らない

$\sqrt{Q}$ が素であることは準素の必要条件ですが、十分条件ではありません。取り違えやすいところなので、反例を挙げておきます。

$k[x,y]$ で $Q=(x^2,xy)$ とします。$Q=x\cdot (x,y)$ と書けるので $\sqrt{Q}=(x)$ で、これは素イデアルです。

ところが $Q$ は準素ではありません。$x\cdot y\in Q$ かつ $x\notin Q$ ですが、$y^n$ は $x$ を因子に持たないのでどの $n$ でも $Q$ に入らないからです。

「$Q$ の極小素イデアルがただ 1 つ」という条件も、$\sqrt{Q}$ が素であることと同値なので同じく不十分です。この例では極小素イデアルは $(x)$ だけですが、準素ではありません。

素イデアルのべきが準素とは限らない

$R=k[x,y,z]/(xy-z^2)$ とし、$\mathfrak{p}=(x,z)$ とします。$R/\mathfrak{p}\cong k[y]$ は整域なので $\mathfrak{p}$ は素イデアルです。

${\mathfrak{p}}^2$ は準素ではありません。$R$ では $xy=z^2$ が成り立ち、$z^2\in {\mathfrak{p}}^2$ なので $xy\in {\mathfrak{p}}^2$ になります。

一方 $x\notin {\mathfrak{p}}^2$ です。$R$ は次数付き環で ${\mathfrak{p}}^2$ は次数 2 以上の部分にしか元を持たないのに、$x$ は次数 1 だからです。

さらに $y\notin \sqrt{{\mathfrak{p}}^2}=\mathfrak{p}$ でもあります。定義の条件が破れており、素イデアルのべきであることは準素性を保証しません。

含意関係の全体像

ここまでに出た条件を整理します。準素性のまわりには、成り立つ含意と成り立たない含意が入り混じっています。

<svg viewBox="0 0 700 344" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><defs><marker id="pi-arrow" viewBox="0 0 10 10" refX="9" refY="5" markerWidth="7" markerHeight="7" orient="auto"><path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="#1b81e0"/></marker><marker id="pi-gray" viewBox="0 0 10 10" refX="9" refY="5" markerWidth="7" markerHeight="7" orient="auto"><path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="#8a8a8a"/></marker></defs><rect x="16" y="24" width="168" height="40" rx="2" fill="#ebf5ff" stroke="#1b81e0"/><text x="100" y="49" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">素イデアル</text><rect x="16" y="96" width="168" height="40" rx="2" fill="#ebf5ff" stroke="#1b81e0"/><text x="100" y="121" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">根基が極大イデアル</text><rect x="16" y="168" width="168" height="40" rx="2" fill="#ebf5ff" stroke="#1b81e0"/><text x="100" y="193" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">既約（ネーター環）</text><rect x="16" y="252" width="168" height="40" rx="2" fill="#f5f5f5" stroke="#8a8a8a"/><text x="100" y="277" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">素イデアルのべき</text><rect x="268" y="120" width="152" height="46" rx="2" fill="#ebf5ff" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"/><text x="344" y="149" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">準素イデアル</text><rect x="520" y="120" width="164" height="46" rx="2" fill="#ebf5ff" stroke="#1b81e0"/><text x="602" y="149" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">根基が素イデアル</text><line x1="184" y1="44" x2="262" y2="126" stroke="#1b81e0" marker-end="url(#pi-arrow)"/><line x1="184" y1="116" x2="262" y2="140" stroke="#1b81e0" marker-end="url(#pi-arrow)"/><line x1="184" y1="188" x2="262" y2="160" stroke="#1b81e0" marker-end="url(#pi-arrow)"/><line x1="184" y1="272" x2="262" y2="176" stroke="#8a8a8a" stroke-dasharray="5 4" marker-end="url(#pi-gray)"/><line x1="212" y1="212" x2="236" y2="236" stroke="#8a8a8a" stroke-width="2"/><line x1="236" y1="212" x2="212" y2="236" stroke="#8a8a8a" stroke-width="2"/><line x1="420" y1="134" x2="514" y2="134" stroke="#1b81e0" marker-end="url(#pi-arrow)"/><line x1="514" y1="156" x2="426" y2="156" stroke="#8a8a8a" stroke-dasharray="5 4" marker-end="url(#pi-gray)"/><line x1="452" y1="140" x2="482" y2="170" stroke="#8a8a8a" stroke-width="2"/><line x1="482" y1="140" x2="452" y2="170" stroke="#8a8a8a" stroke-width="2"/><text x="602" y="196" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">反例 (x^2, xy)</text><text x="100" y="312" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">反例 (x, z)^2</text><text x="344" y="196" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">既約の逆の反例 (x, y)^2</text><text x="344" y="32" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">素の逆の反例 (4)</text></svg>

実線は成り立つ含意、破線とバツ印は成り立たない向きです。破線には反例を添えています。

とくに注意すべきは 2 か所です。根基が素であることから準素は出ず、素イデアルのべきであることからも準素は出ません。

準素イデアルの共通部分

$Q_1,\dots ,Q_r$ がすべて $\mathfrak{p}$-準素であれば、共通部分 $Q={\bigcap }_i{Q}_i$ も $\mathfrak{p}$-準素になります。

根基については $\sqrt{Q}={\bigcap }_i\sqrt{Q_i}=\mathfrak{p}$ です。根基は有限個の共通部分と交換します。

準素性を確かめます。$ab\in Q$ かつ $b\notin \mathfrak{p}$ とすると、各 $i$ について $ab\in Q_i$ かつ $b\notin \sqrt{Q_i}$ なので $a\in Q_i$ です。

すべての $i$ で成り立つので $a\in Q$ になります。この性質が、あとで最短準素分解を作るときに効いてきます。

局所化との関係

$S$ を $R$ の積閉集合、$Q$ を $\mathfrak{p}$-準素イデアルとします。$S$ と $\mathfrak{p}$ の交わり方で結果が 2 つに分かれます。

縮約とは $(S^{-1}Q{)}^c=\{a\in R\mid a/1\in S^{-1}Q\}$ のことです。準素イデアルは、根基が $S$ を避けているかぎり局所化で失われません。

局所化では準素性が戻らない

逆向きは成り立ちません。$S^{-1}Q$ が準素でも $Q$ が準素とは限らないのです。

$R=\mathbb{Z}$, $Q=(12)$, $S=\mathbb{Z}\setminus (2)$ とします。$S$ の中で 3 は単元になるので $S^{-1}Q=4{\mathbb{Z}}_{(2)}$ です。

$4{\mathbb{Z}}_{(2)}$ の根基は極大イデアル $2{\mathbb{Z}}_{(2)}$ なので、これは準素です。ところが $(12)$ は先に見たとおり準素ではありません。

正しく言えるのは縮約についてです。$S^{-1}Q$ が準素なら $(S^{-1}Q{)}^c$ が準素になり、この例では $(S^{-1}Q{)}^c=(4)$ でたしかに準素です。

既約イデアルとの関係

イデアル $I$ が既約であるとは、$I=J\cap K$ と書けたら $I=J$ または $I=K$ になることをいいます。

ネーター環では、既約イデアルは準素イデアルです。この事実が、次に見る準素分解の存在証明の後半を担います。

逆は成り立ちません。準素だが既約でないイデアルが存在します。

準素だが既約でない例

$k[x,y]$ で $\mathfrak{m}=(x,y)$ とし、$Q={\mathfrak{m}}^2=(x^2,xy,y^2)$ を考えます。根基が極大なので $Q$ は $\mathfrak{m}$-準素です。

ところが $Q$ は 2 つのイデアルの共通部分に分かれます。

$$(x^2,xy,y^2)=(x^2,y)\cap (x,y^2)$$

右辺のどちらも $Q$ より真に大きいので、$Q$ は既約ではありません。$(x^2,y)$ には $y$ が入り、$(x,y^2)$ には $x$ が入ります。

既約性は準素性より強い条件です。準素分解を既約分解まで細かくすることはできますが、必要以上に細かくなります。

準素分解の定義

イデアル $I$ の準素分解とは、有限個の準素イデアルの共通部分として次のように書き表すことをいいます。

$$I=Q_1\cap Q_2\cap \cdots \cap Q_r$$

各 $Q_i$ を準素成分と呼びます。素因数分解の一般化にあたりますが、積ではなく共通部分で書く点が違います。

素数のべきにあたるものが準素イデアルです。この対応は $\mathbb{Z}$ で見るとそのまま一致します。

素因数分解という原型

$\mathbb{Z}$ で $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$ の場合を見ます。イデアルとしては次のように分かれます。

$$(360)=(8)\cap (9)\cap (5)$$

各成分の属する素イデアルは次のとおりです。

3 つとも異なる素イデアルに属し、どれも省けません。共通部分が積に一致するのは、$\mathbb{Z}$ の成分が互いに素だからです。

一般の環では準素分解はここまで素直になりませんが、目指しているものはこの形です。

2 直線への分解

$k[x,y]$ の $(xy)$ は準素ではありません。$x\cdot y\in (xy)$ ですが $x\notin (xy)$ で、$y^n$ もどの $n$ でも入らないからです。

分解すると 2 つの素イデアルになります。

$$(xy)=(x)\cap (y)$$

$x$ と $y$ は互いに素なので、両方で割り切れることと積で割り切れることが一致します。

幾何的には $xy=0$ が 2 直線の和集合であることに対応します。既約でない図形を既約な成分に分ける操作が、イデアルの側に写ったものです。

次元のそろわない成分

$k[x,y,z]$ の $(xy,xz)$ を考えます。$(xy,xz)=x\cdot (y,z)$ と書けるので、次のように分解できます。

$$(xy,xz)=(x)\cap (y,z)$$

$(x)$ は平面 $x=0$ に、$(y,z)$ は $x$ 軸に対応します。次元は 2 と 1 で異なります。

<svg viewBox="0 0 700 250" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><polygon points="250,40 470,86 470,214 250,168" fill="#ebf5ff" stroke="#1f1f1f" stroke-width="1"/><line x1="120" y1="196" x2="600" y2="60" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"/><circle cx="360" cy="127" r="4.5" fill="#1f1f1f"/><text x="360" y="30" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">平面 x = 0（次元 2）</text><text x="614" y="56" font-size="13" fill="#1b81e0">x 軸</text><text x="614" y="74" font-size="13" fill="#1b81e0">（次元 1）</text><text x="360" y="240" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">交わりは原点だけで、どちらの成分も他方に含まれない</text></svg>

分解の成分は次元がそろっている必要はありません。$x$ 軸は平面 $x=0$ に含まれないので、どちらも落とせない成分です。

図形が既約成分に分かれるとき、成分の次元は一般にばらばらになります。準素分解はその状況をイデアルの言葉で書き取っています。

Lasker–Noether の存在定理

ネーター環では、すべてのイデアルが準素分解を持ちます。これが Lasker–Noether の定理です。

証明は 2 段構えです。まずネーター性から、すべてのイデアルが有限個の既約イデアルの共通部分に書けることを示します。

次に、ネーター環では既約イデアルが準素であるという事実を使います。2 つを合わせると、有限個の準素イデアルの共通部分が得られます。

必要なのは昇鎖条件だけで、係数環の具体的な形は問いません。この抽象化が Noether の仕事でした。

最短準素分解

準素分解には無駄が入りえます。次の 2 つを満たすものを最短準素分解と呼びます。

最短にできる理由は前に見た性質にあります。根基が等しい準素イデアルは共通部分もまた準素なので、同じ根基のものをまとめられるからです。

まとめたあとで不要な成分を捨てれば最短になります。以後は最短準素分解だけを考えます。

第一一意性定理

$I$ の最短準素分解 $I={\bigcap }_i{Q}_i$ について、根基の集合 $\{\sqrt{Q_1},\dots ,\sqrt{Q_r}\}$ は分解の取り方によりません。

この集合の元を $I$ の付随素イデアルと呼びます。分解が何通りあっても、付随素イデアルは同じ有限集合になります。

分解のどこが一意でどこが一意でないか、という切り分けがここから始まります。次の例が両者の違いをはっきり示します。

埋め込み成分は一意でない

$k[x,y]$ の $(x^2,xy)$ に戻ります。任意の $n\ge 1$ について次が成り立ちます。

$$(x^2,xy)=(x)\cap (x^2,xy,y^n)$$

$(x)$ は $(x)$-準素で、$(x^2,xy,y^n)$ は根基が極大イデアル $(x,y)$ なので $(x,y)$-準素です。付随素イデアルは $(x)$ と $(x,y)$ で、$n$ によりません。

一方、$(x,y)$-準素成分そのものは $n$ ごとに違います。$n=1$ なら $(x^2,y)$、$n=2$ なら $(x^2,xy,y^2)$ で、いずれも別のイデアルです。

$(x)$ は極小なので孤立素イデアル、$(x,y)$ は $(x)$ を真に含むので埋め込み素イデアルです。動くのは埋め込みのほうだけ、というのが次の定理になります。

第二一意性定理

最短準素分解のうち、孤立素イデアルに属する準素成分は分解の取り方によりません。

孤立成分は局所化で取り出せます。${\mathfrak{p}}_i$ が孤立素イデアルなら、$Q_i$ は $I$ を ${\mathfrak{p}}_i$ で局所化して縮約したものに一致します。

局所化と縮約はどちらも分解によらない操作なので、結果も分解によりません。前節で $(x)$ 成分だけが動かなかった理由がこれです。

埋め込み素イデアルには、この方法が使えません。${\mathfrak{p}}_i$ で局所化しても、それより小さい付随素イデアルの成分が残ってしまうためです。

埋め込み点の幾何

$(x^2,xy)$ の零点集合を見ると、$x=0$ という直線だけです。$\sqrt{(x^2,xy)}=(x)$ なので、図形としては $y$ 軸に一致します。

<svg viewBox="0 0 700 262" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><line x1="120" y1="140" x2="400" y2="140" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><line x1="260" y1="26" x2="260" y2="240" stroke="#1b81e0" stroke-width="3"/><circle cx="260" cy="140" r="6" fill="#1f1f1f"/><circle cx="260" cy="140" r="13" fill="none" stroke="#1f1f1f" stroke-width="1" stroke-dasharray="3 3"/><text x="410" y="145" font-size="12" fill="#8a8a8a">x</text><text x="252" y="20" font-size="12" fill="#8a8a8a">y</text><text x="284" y="176" font-size="13" fill="#1f1f1f">埋め込み点（原点）</text><text x="284" y="196" font-size="12" fill="#8a8a8a">付随素イデアル (x, y)</text><text x="150" y="60" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="end">零点集合</text><text x="150" y="80" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="end">y 軸だけ</text><text x="150" y="100" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="end">付随素イデアル (x)</text><text x="360" y="248" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">原点は零点集合に埋もれていて、図形としては見えない</text></svg>

それでも付随素イデアルには原点にあたる $(x,y)$ が現れます。零点集合には見えないのに、イデアルの側には残っている点です。

これを埋め込み点と呼びます。$(x^2,xy)=x\cdot (x,y)$ という書き方が示すとおり、原点の近くだけ $x$ の消え方が余分に速くなっています。

準素分解は、図形の既約成分に加えてこうした埋め込みの情報まで取り出します。根基を取ると消えてしまう情報を保つ点で、冪零元の役割と似ています。

準素分解が生まれるまで

準素分解が整えられたのは 20 世紀の初めです。多項式環の場合が先にあり、一般の環へ広がるまでに 15 年ほどかかりました。

Lasker はチェスの世界王者でもあった人物です。Noether の 1921 年の論文は、環に対する仮定を有限生成性から昇鎖条件へ置き換えた点で決定的でした。

現在使われている議論も Noether の枠組みのままです。ネーター環という名前も、この論文に由来します。

参考文献