準素イデアル

準素イデアルは素イデアルの一般化であり、イデアルの準素分解理論の基礎となります。

準素イデアルの定義

$R$ を可換環、 $Q$ を $R$ のイデアルとします。 $Q$ が準素イデアルであるとは、次の条件を満たすことをいいます。

$ab \in Q, a \in / Q \Rightarrow \exists n \geq 1, b^{n} \in Q$

言い換えると、 $ab \in Q$ かつ $a \in / Q$ ならば $b \in Q$ です。

素イデアルの定義では「 $b \in Q$ 」を要求しますが、準素イデアルでは「 $b$ の何乗かが $Q$ に入る」という弱い条件に緩めています。

素イデアルは準素イデアル

素イデアル $p$ は自動的に準素イデアルである。

準素イデアルの根基は素イデアル

$Q$ が準素イデアルならば $Q$ は素イデアルである。

$Q$ が準素で $Q = p$ のとき、 $Q$ は $p$ -準素であるといいます。

素イデアルのべき

整域 $R$ において、素イデアル $p$ のべき $p^{n}$ は $p$ -準素であるとは限らない。しかしネーター環では、 $p^{n} = p$ は成り立つ。

Z

の場合

$(p^{n})$ は $(p)$ -準素イデアル。 $ab \in (p^{n})$ で $a \in / (p^{n})$ なら、 $b$ は $p$ で十分多く割れる。

k [x, y]

の場合

$(x^{2}, x y)$ は準素ではない。 $x \cdot y \in (x^{2}, x y)$ だが $x \in / (x^{2}, x y)$ かつ $y^{n} \in / (x^{2}, x y)$ （任意の $n$ ）。

ネーター環において、準素イデアルはいくつかの同値な条件で特徴づけられます。

Q

が準素イデアル

R / Q

の零因子はすべて冪零

Q

の極小素イデアルがただ一つ

Q_{1}, Q_{2}

が同じ素イデアル

p

に属する準素イデアルなら、

Q_{1} \cap Q_{2}

も

p

-準素

局所化

S^{- 1} Q

が

S^{- 1} R

で準素なら、

Q

は

R

で準素

Q

が

p

-準素で

p \cap S = \emptyset

なら、

S^{- 1} Q

は

S^{- 1} p

-準素

イデアル $I$ が既約であるとは、 $I = J \cap K$ ならば $I = J$ または $I = K$ となることをいいます。

ネーター環において、既約イデアルは準素イデアルです。逆は一般には成り立ちません。