PIDのKrull次元は高々1である

単項イデアル整域（PID）の Krull 次元が高々 $1$ であることを証明します。これは PID の構造を理解する上で基本的な結果です。

主張

定理

$R$ を単項イデアル整域とする。このとき $dim R \leq 1$ 。

すなわち、 $R$ の素イデアルの真の包含列は高々 $(0) ⊊ p$ の形しかありません。

証明

$R$ が体の場合、素イデアルは $(0)$ のみなので $dim R = 0$ です。以下、 $R$ は体でないとします。

$p$ を $R$ の $0$ でない素イデアルとします。 $R$ は PID なので $p = (p)$ と書けます。 $p \neq = (0)$ より $p \neq = 0$ であり、 $p$ が素イデアルなので $p$ は素元です。

ここで $(p)$ が極大イデアルであることを示します。 $(p) \subseteq (a) ⊊ R$ となるイデアル $(a)$ をとります。 $(p) \subseteq (a)$ より $p = ab$ となる $b \in R$ が存在します。

$p$ は素元なので既約元です。 $p = ab$ より $a$ か $b$ が単元です。

a

が単元の場合：

(a) = R

となり

(a) ⊊ R

に矛盾

b

が単元の場合：

p

と

a

は単元倍の関係にあり

(p) = (a)

よって $(p) ⊊ (a) ⊊ R$ となる $(a)$ は存在せず、 $(p)$ は極大イデアルです。

極大イデアルは素イデアルの包含関係で極大なので、 $(p)$ を真に含む素イデアルは存在しません。

したがって $R$ の素イデアルの列は

$(0) ⊊ (p)$

の形に限られ、 $dim R = 1$ です。 $□$

証明のポイント

証明の核心は次の二点です。

PID における素元と既約元の一致

PID では素元と既約元が同値。これにより $(p)$ が素イデアルなら $p$ は既約元。

既約元が生成する単項イデアルは極大

$p$ が既約元のとき、 $(p) \subseteq (a)$ なら $(p) = (a)$ または $(a) = R$ 。

次元が $0$ と $1$ の場合分け

dim R = 0

$R$ が体の場合。素イデアルは $(0)$ のみ。

dim R = 1

$R$ が体でない PID の場合。 $(0)$ と極大イデアル $(p)$ がある。

具体例での確認

Z

素イデアルは $(0)$ と $(p)$ （ $p$ は素数）。 $(0) ⊊ (p)$ で $dim Z = 1$ 。

k [x]

（

k

は体）

素イデアルは $(0)$ と $(f)$ （ $f$ は既約多項式）。 $dim k [x] = 1$ 。

体

k

素イデアルは $(0)$ のみ。 $dim k = 0$ 。

逆は成り立たない

$dim R \leq 1$ であっても $R$ が PID とは限りません。

反例

$R = k [x, y] / (x y)$ は $dim R = 1$ だが PID でない。 $(x, y) / (x y)$ に対応するイデアルは単項でない。

UFD との比較

UFD は次元に制限がありません。たとえば $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ は UFD ですが $dim = n$ です。

PID

$dim \leq 1$ 。イデアルがすべて単項という強い条件。

UFD

次元の制限なし。元の一意分解のみを要求。

PID $\Rightarrow$ UFD ですが、UFD $\neq \Rightarrow$ PID です。PID は UFD の中でも次元が低い特別なクラスです。