Dedekind整域とイデアル類群

Dedekind 整域は代数的整数論の中心的対象であり、元の一意分解は成り立たなくてもイデアルの一意分解が成り立つ環です。

Dedekind 整域の定義

整域 $R$ が Dedekind 整域であるとは、次の条件を満たすことをいいます。

R

はネーター環

R

は整閉整域

R

のすべての

0

でない素イデアルは極大イデアル（Krull 次元が

1

）

Dedekind 整域の例

PID

主イデアル整域は Dedekind 整域。特に $Z$ や $k [x]$ （ $k$ は体）。

代数的整数環

代数体 $K$ （ $Q$ の有限次拡大）の整数環 $O_{K}$ は Dedekind 整域。例えば $Z [- 5]$ 、 $Z [ζ_{n}]$ （円分整数環）。

アファイン曲線の座標環

代数閉体上の非特異アファイン曲線の座標環は Dedekind 整域。

イデアルの一意分解

Dedekind 整域の最も重要な性質は、イデアルの素イデアル分解の一意性です。

イデアル分解定理

$R$ を Dedekind 整域、 $I \neq = (0)$ を $R$ のイデアルとする。 $I$ は素イデアルの積として

$I = p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \dots p_{r}^{e_{r}}$

と一意的に（順序を除いて）表される。

これは整数の素因数分解 $n = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{r}^{e_{r}}$ のイデアル版です。

分数イデアル

$R$ を Dedekind 整域、 $K = Frac (R)$ とします。 $K$ の部分加群 $I$ が分数イデアルであるとは、ある $d \in R ∖ {0}$ が存在して $d I \subseteq R$ となることをいいます。

分数イデアル全体は積について群をなします。単位元は $R$ 、 $I$ の逆元は

$I^{- 1} = {x \in K ∣ x I \subseteq R}$

です。

イデアル類群

単項分数イデアル（ $a R$ , $a \in K^{\times}$ の形のもの）は分数イデアル群の部分群をなします。

イデアル類群の定義

$Cl (R) = \frac{分数イデアル群}{単項分数イデアル群}$

をイデアル類群という。

イデアル類群は「UFD からのずれ」を測る群です。

Cl (R) = 0 ⟺ R

が UFD

⟺ R

が PID

∣ Cl (R) ∣ < \infty

（代数的整数環の場合、類数は有限）

具体例

Z [- 5]

$Cl (Z [- 5]) ≅ Z /2 Z$ 。イデアル $(2, 1 + - 5)$ が非自明な類を代表。

Z [- 1]

$Cl (Z [i]) = 0$ 。ガウス整数環は PID（したがって UFD）。

Z [- 163]

類数 $1$ の最大の虚二次体。 $Cl = 0$ で PID。

Dedekind 整域の特徴づけ

整域 $R$ に対し、次は同値です。

R

は Dedekind 整域

R

のすべての

0

でないイデアルは可逆（

I I^{- 1} = R

）

R

のすべての

0

でないイデアルは素イデアルの積

R

の局所化

R_{m}

（

m

は極大イデアル）がすべて離散付値環