テンソルしてから完全性を判定する｜忠実平坦性と降下

平坦な加群は完全列を完全列のまま運びます。忠実平坦な加群は、運んだ先が完全なら、もとも完全だったと言い切れます^[2]。

運ぶだけか、判定にも使えるか。この差が忠実平坦性です。

検出する性質として定義する

$M$ が忠実平坦であるとは、$R$-加群の複体 $N^{\prime }\to N\to N^{\prime \prime }$ について、次が同値になることをいいます^[2]。

片方の向きが平坦性です。もう片方の向きが加わって忠実平坦になります。

$0$ でない自由加群は忠実平坦です^[3]。$M=R^n$ なら $N\otimes M\cong N^n$ で、成分ごとに完全性が見えます。

同値な言いかえ

$M$ が平坦のとき、忠実平坦であることは次のどれとも同値です^[1]。

最後の条件がいちばん使いやすい。極大イデアルを 1 つずつ当てて、消えないかどうかを見るだけです^[1]。

$M{\otimes }_R\kappa (\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{p}$ の上のファイバーにあたります。どの点の上にも何か乗っているか、という条件になっている。

例：$\mathbb{Q}$ は平坦だが忠実平坦でない

$R=\mathbb{Z}$、$M=\mathbb{Q}$ をとります。局所化なので平坦です。

ところが $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}=0$ になります。$0$ でない加群がつぶれた。

極大イデアル $(p)$ で見ると $\mathbb{Q}/p\mathbb{Q}=0$ です。閉点の上のファイバーが空になっている。

$\mathbb{Q}$ の上で計算しても、ねじれの情報は何も見えません。判定には使えない、ということです。

環準同型としての忠実平坦

$\phi :R\to S$ が忠実平坦とは、$S$ が $R$-加群として忠実平坦なこと。このとき次が成り立ちます^[2]。

3 つ目が使いどころの多い形です。$S$ へ広げたイデアルを $R$ へ引き戻すと、もとに戻る。

情報が失われないので、$S$ の中で計算して $R$ の結論を出せます。

$\mathrm{Spec}$ の全射性

平坦な環準同型については、忠実平坦であることと $\mathrm{Spec}S\to \mathrm{Spec}R$ が全射であることが同値です^[1]。

さらに、閉点がすべて像に入っていれば全射になります^[1]。極大イデアルだけを確かめれば足りる。

$\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$ で見ると、$\mathrm{Spec}\mathbb{Q}$ は 1 点で、$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ の生成点にしか写りません。閉点が全部落ちています。

局所環どうしなら自動で忠実平坦

$(R,\mathfrak{m})\to (S,\mathfrak{n})$ を局所環準同型とします。$\phi (\mathfrak{m})\subset \mathfrak{n}$ という条件が付いている。

$S$ が $R$ 上平坦なら、これだけで忠実平坦になります。

理由は短い。$\mathfrak{m}S\subset \mathfrak{n}\ne S$ なので $S/\mathfrak{m}S\ne 0$。極大イデアルは $\mathfrak{m}$ しかないので、判定条件を満たします^[1]。

局所環の完備化 $R\to \hat{R}$ がこの形です。平坦であることが分かれば、忠実平坦まで自動的に付いてきます。

平坦性は局所的な性質

$M$ が平坦であることは、すべての素イデアルで $M_{\mathfrak{p}}$ が $R_{\mathfrak{p}}$ 上平坦であることと同値です^[4]。極大イデアルだけ見ても同じ^[4]。

だから平坦性の判定は点ごとに落とせます。忠実平坦性のほうは、そこに「どの点も空でない」という大域の条件が乗る。

局所化 $R\to R_f$ は平坦ですが、忠実平坦とは限りません。$\mathrm{Spec}{R}_f$ が開集合にしかならないためです。

いっぽう $f_1,\dots ,f_n$ が単位イデアルを生むとき、${\prod }_i{R}_{f_i}$ は $R$ 上忠実平坦になります^[2]。開被覆を全部集めれば覆い切れる。

降下という使い方

忠実平坦な $R\to S$ をとります。$S$ 上の加群に、貼り合わせの条件が付いたものを考える。

そういうデータから $R$ 上の加群が一意に復元できます^[2]。これを忠実平坦降下といいます。

道具になるのが Amitsur 複体です^[2]。$S$、$S{\otimes }_{R}S$、$S{\otimes }_{R}S{\otimes }_{R}S$ と並べた複体で、忠実平坦なら完全になります。

体の Galois 拡大に当てると、Galois 降下が出ます^[2]。$K/k$ が有限 Galois なら、$K$ 上の対象に Galois 作用を付けたものが $k$ 上の対象に対応する。

例：体の拡大と完備化

$k\to K$ を体の拡大とします。$K$ は $k$ 上の $0$ でない自由加群なので、忠実平坦です^[3]。

だから $k$ 上の主張を $K$ 上で確かめる、という道が使えます。代数閉包まで広げてから議論する手法がこれです。

ネーター局所環の完備化 $R\to \hat{R}$ も忠実平坦です。$\hat{R}$ の中で計算して $R$ の結論を戻せます。

$\hat{R}$ では冪級数が使えるので、もとの環より計算がしやすい。忠実平坦性がその結果を持ち帰る保証になります。

つまずきやすいところ

上へ運ぶだけでなく、下へ戻せる。この往復ができるから、広げた先で計算してよいことになります。

参考文献