割り算だけがない世界｜環と可換環の定義

環は、足し算とかけ算のそろった集合です。整数がその原型で、$2+3$ も $2\times 3$ も整数の中に戻ってきます。

戻ってこない演算が一つだけある。割り算です。$2$ で割ると $1/2$ が出てしまい、整数からはみ出す。

この「割り算だけがない」状態をそのまま公理に書き下したものが環になります。逆数を全員に配れば体、配らずに済ませれば環。分かれ目はそこだけです。

環の公理

集合 $R$ に加法 $+$ と乗法 $\cdot$ が入っていて、次の 7 つを満たすとき $R$ を環と呼びます。乗法の記号は省いて $ab$ と書く。

前半の 4 つは、加法についてアーベル群だと言っている。$+$ だけをとり出して眺めれば、可換な群がそこにある。

続く 2 つは乗法がモノイドだと述べています。逆元は要求しません。ここが群との分かれ目になる。

最後の分配則だけが、加法と乗法という別々の構造を結びつけています^[1]。これがなければ、$+$ と $\cdot$ はただ同じ集合に同居しているだけの他人どうし。

分配則は面積の切り分け

分配則は絵にすると一行で終わる。縦 $a$、横 $b+c$ の長方形を、横 $b$ の部分と横 $c$ の部分に切り分けるだけ。

切り分けても面積の合計は変わりません。これが $a(b+c)=ab+ac$ の中身のすべてです。

環では左右の分配則を別々に要求する。乗法が可換とは限らないので、片方からもう片方は出てこない。

単位元をどこまで要求するか

乗法の単位元 $1$ を公理に入れるかどうかは、教科書ごとに割れています。英語圏の標準的な記述は $1$ を要求し、$1$ のないものを rng と呼び分けます^[1]。

フランス語の文献では、$1$ を持つほうを anneau unitaire、持たないほうを pseudo-anneau と呼びます^[3]。ドイツ語では Ring mit Eins と Ring ohne Eins という素直な言い分けをします^[2]。

$1$ のない例はすぐ作れる。偶数全体 $2\mathbb{Z}$ は加法・減法・乗法について閉じているのに、$1$ が入っていない。

可換環論では $1$ を持つ可換環だけを扱います。極大イデアルの存在をはじめ、$1$ がないと言えなくなる定理が多いため^[3]。この記事も $1$ を要求する立場で書きます。

零環はなぜ追い出さないか

$1=0$ を認めると、どんな $a$ についても $a=a\cdot 1=a\cdot 0=0$ となり、$R$ は $\{0\}$ ひとつだけの集合になります。これが零環です^[1,2]。

つまらない環に見えますが、追い出すと不便が出ます。$R$ を $R$ 自身で割った剰余環がこれなので、除外すると商を作るたび但し書きが要る。

零環は可換環の圏の終対象でもある。すべての環から零環への準同型がちょうど一つ存在する。

ただし整域や体からは外れる。整域の定義には $1\ne 0$ が入っているためです。

例: 整数環

$\mathbb{Z}$ は環の原型です。公理を一つずつ当てても、確かめる手が止まるところがない。

かけ算の逆元だけが足りない。$3$ の逆数 $1/3$ は整数の外にあります。

逆元を持つ元は $1$ と $-1$ の $2$ つだけ。この $2$ つが $\mathbb{Z}$ の単元です。

例: 多項式環

係数を環 $R$ からとった多項式全体 $R[x]$ も環になる。足し算は係数ごと、かけ算は展開して次数ごとに集める。

$R$ が可換なら $R[x]$ も可換です。$x$ は係数と可換な記号として置いてあるので、順番を入れ替えても値が変わりません。

$R$ が整域のとき、$R[x]$ の単元は $R$ の単元だけに縮む。次数が $1$ 以上の多項式に何を掛けても、次数が足し算で増えて $1$ には戻らない。

例: 2 次正方行列

体 $F$ の上の $2$ 次正方行列全体 $M_2(F)$ は、可換でない環の代表です^[1,4]。

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

順序を入れ替えると結果が変わる。

$$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

どちらも零行列ではないのに、同じ行列を $2$ 乗すると零行列になる元も入っています。可換性が落ちると、こうした振る舞いが素直に出てくる。

例: 剰余環と零因子

$12$ で割った余りの世界 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ を考えます。$0$ から $11$ までの $12$ 個が元で、足し算もかけ算も余りをとって定める。

この環には、$0$ でないのに掛け合わせると $0$ になる組がある。$3$ と $4$ がそれで、$3\cdot 4=12=0$。

$3$ を足し続けると $3,6,9,0$ の $4$ 点だけをめぐり、$12$ 個の目盛りを埋めません。$3$ と $12$ が公約数を持つことが、そのまま零因子として現れています。

$n$ が素数のときは事情が変わる。$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は体になり、$0$ 以外のすべての元が逆数を持つ。

可換環の定義

ここまでの 7 つに、乗法の可換則をもう一つ足します。

$$ab=ba$$

これを満たす環が可換環です^[2,4]。整数も多項式環も剰余環も可換で、正方行列だけが仲間から外れた。

可換環論という分野では、環という語は $1$ を持つ可換環だけを指す慣例です^[2]。順序を気にせずに済むので、イデアルの理論が片側だけで書ける。

零因子から整域へ

$a\ne 0$ でありながら $ab=0$ となる $b\ne 0$ が存在するとき、$a$ を零因子と呼びます^[4]。

零因子を一つも持たない可換環が整域です。$\mathbb{Z}$ も $\mathbb{Z}[x]$ も整域で、$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ は整域になりません。

整域では消去法則が使える。$ab=ac$ と $a\ne 0$ から $b=c$ が出る。零因子がある環では、この当たり前に見える推論が壊れます。

さらに $0$ 以外のすべての元が逆数を持てば体です。体、整域、可換環と、条件をゆるめるたびに仲間が増えていく。

体はつねに整域です。逆は成り立たない。反例は $\mathbb{Z}$。

単元と単数群

逆数を持つ元を単元と呼ぶ^[1]。単元全体は乗法について群をなし、$R^{\times }$ と書く。

${\mathbb{Z}}^{\times }$ は $\{1,-1\}$ の $2$ 個。$(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}{)}^{\times }$ は $12$ と互いに素な $1,5,7,11$ の $4$ 個です。

体とは $R^{\times }=R\setminus \{0\}$ となる可換環にほかなりません。単元群の大きさが、環がどれだけ体に近いかを測っている。

部分環

$S\subseteq R$ が加法・減法・乗法について閉じていて、しかも $1$ を含むとき、$S$ を部分環と呼びます^[1]。

$1$ を含むという条件は効く。偶数全体 $2\mathbb{Z}$ は加減乗について閉じているのに $1$ を含まないので、$\mathbb{Z}$ の部分環ではない。

ガウス整数 $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ は複素数体の部分環です^[2]。整数論で素因数分解を複素数まで広げるときの舞台になる。

環準同型

環から環への写像 $f$ が加法とかけ算を保ち、さらに $f(1)=1$ を満たすとき、環準同型と呼びます^[1]。

$f(1)=1$ をあえて課すところが要点です。これを外すと、すべてを $0$ に送る写像まで準同型になってしまい、環の圏がゆがみます。

核 $\ker f$ はイデアルになり、像は部分環になる。群のときと同じ形の準同型定理が、そのまま成り立つ。

$\mathbb{Z}$ からどの環 $R$ へも準同型がちょうど一つあります。$1$ の行き先が $1$ に決まってしまえば、あとは全部そこから定まるため。

イデアルで割る

イデアルは、加法について部分群であり、しかも環のどの元を掛けても外に出ない部分集合です^[1]。

部分環との違いはここです。部分環は $1$ を含み、イデアルは $1$ を含みません。$1$ を含むイデアルは全体に一致してしまう。

イデアル $I$ で割った剰余環 $R/I$ が作れる。$I$ を $0$ とみなす世界で、$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ は $12\mathbb{Z}$ で割った例そのもの。

割った先がどんな環になるかで、$I$ の名前が決まります。整域になれば素イデアル、体になれば極大イデアル。

名前の由来

環という言葉は、ヒルベルトが 1892 年から 1897 年にかけて Zahlring と書いたところから広まりました^[1]。整数の冪をとると途中で元へ「回り込む」性質を指した命名とされています。

概念そのものはデデキントに遡る。ドイツ語圏の記述では、デデキントが Ordnung という名で導入し、ヒルベルトが Ring という語を与えたと整理されています^[2]。

公理として書き下したのはフレンケルの 1915 年の仕事です^[1]。今のかたちに近い可換環論を立ち上げたのは、エミー・ネーターの 1921 年の論文 Idealtheorie in Ringbereichen になります^[1]。

現代の圏論的な言い方では、環はアーベル群のテンソル積を積とするモノイド対象です^[5]。可換環はその可換なもの。

よくある誤り

参考文献