環と可換環の定義

環は足し算とかけ算のある集合。足し算について可換群であり、結合法則と分配法則を満たすようにかけ算も入っている。

整数と多項式の集合は環。環は必ずしもかけ算における逆元を持たない。

環の定義

集合 $R$ の任意の元 $a,b\in R$ について、以下の性質を満たすように + と * が定義されているとき、 $R$ を（単位元つきの）環（ring）という。ページの都合上、かけ算の * 記号は省略する。

$(R1)\forall a,b,c\in R,(a+b)+c=a+(b+c)$

$(R2)\exists 0\in R,\forall a\in R,a+0=0+a=a$

$(R3)\forall a\in R,\exists b\in R,a+b=b+a=0$

$(R4)\forall a,b\in R,a+b=b+a$

$(R5)\forall a,b,c\in R,(ab)c=a(bc)$

$(R6)\exists e\in R,\forall a\in R,ae=ea=a$

$(R7)\forall a,b,c\in R,a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc$

$R1$ から $R4$ まではアーベル群の定義（足し算について群であり、可換である）。

$R5$ と $R6$ はかけ算の定義と単位元の存在を示す。逆元は定義されない。$R7$ は分配法則の定義。

可換環の定義

$(R8)\forall a,b\in R,ab=ba$

$R8$ が加わった環を可換環という。可換環はかけ算について可換であり、代数の中心的なテーマになる。