分解のどこまでが一意に決まるのか（準素分解と埋め込み素イデアル）

$k[x,y]$ のイデアル $(x^2,xy)$ は、2 通りに分解できます。

$$(x^2,xy)=(x)\cap (x,y{)}^2=(x)\cap (x^2,y)$$

どちらも準素イデアルの交わりです^[1]。片方の成分は共通で、もう片方だけが入れかわっている。どこまでが一意なのかが、この理論の中身になります。

準素イデアルとは

$Q$ が準素であるとは、$xy\in Q$ かつ $x\notin Q$ なら $y$ のどれかの冪が $Q$ に入ることをいいます。

このとき $\sqrt{Q}$ は素イデアルです。$\sqrt{Q}=\mathfrak{p}$ のとき、$Q$ を $\mathfrak{p}$ 準素と呼びます。

$\mathbb{Z}$ では $(p^n)$ が準素イデアルです。素数の冪だけが該当し、$(12)$ のような合成数の生成するイデアルは準素になりません。

同じ $\mathfrak{p}$ を根基に持つ準素イデアルどうしの交わりは、また $\mathfrak{p}$ 準素です^[1]。重複をまとめられる理由がこれ。

分解の存在

ネーター環では、どのイデアルも準素分解を持ちます^[2]。

道筋は 2 段です。まずネーター性から、どのイデアルも既約イデアルの有限交わりに書ける。次に、ネーター環では既約イデアルが準素になる。

存在が保証されるのはネーター環でのことです。一般の環では、分解できないイデアルがあります^[1]。

極小な分解にそろえる

$I=Q_1\cap \cdots \cap Q_n$ が極小であるとは、次の 2 つを満たすこと^[1]。

どんな分解も極小にできます。根基が同じものを交わりにまとめ、余分な成分を捨てるだけ^[1]。

以下、分解といえば極小なものを指します。一意性の話も、極小な分解どうしの比較になる。

第一一意性定理

極小な分解の $\sqrt{Q_i}$ の集合は、分解のとり方によりません^[1]。この集合を $I$ の付随素イデアルといいます。

証明は $\sqrt{I:x}$ を眺めるだけで済みます。$x$ を動かしたとき、$\sqrt{I:x}$ が素イデアルになるものを集めると、それが付随素イデアルの集合になる^[1]。

$I:x$ は $I$ の外から見た商です。分解の言葉を使わずに定義できるので、分解に依存しません。

各 $i$ について、$Q_i$ にだけ入らない $x$ をとれます。極小性からそういう $x$ が存在し、そのとき $\sqrt{I:x}={\mathfrak{p}}_i$ になる^[1]。

素イデアルのフィルトレーションから付随素イデアルを絞り込む道もあります。$M$ が $R/{\mathfrak{p}}_i$ の積み重ねで書けるなら、付随素イデアルはその ${\mathfrak{p}}_i$ のどれかに限られる^[4]。

例：$(x^2,xy)$ を分解する

$R=k[x,y]$、$I=(x^2,xy)=x\cdot (x,y)$ とします。

$(x,y{)}^2=(x^2,xy,y^2)$ の元は $x^{2}P+xyQ+y^{2}T$ の形。これが $(x)$ にも入るなら $T$ が $x$ で割れます^[1]。

すると全体が $(x^2,xy)$ に入る。逆の包含は明らかなので、$I=(x)\cap (x,y{)}^2$ が確かめられます。

もう一方も同じ要領です。$(x^2,y)$ の剰余環は $k[x]/(x^2)$ なので、素イデアルは $(x,y)$ の像だけ。$(x,y)$ 準素になります。

$(x)\cap (x^2,y)$ を計算すると、$xf$ が $(x^2,y)$ に入る条件は $f\in (x,y)$。だから $x(x,y)=(x^2,xy)$ です。

付随素イデアルはどちらの分解でも $\{(x),(x,y)\}$。共通しているのはこの集合と、$(x)$ 準素成分のほうになります。

孤立成分と埋め込み成分

付随素イデアルのうち、包含について極小なものを孤立素イデアルといいます。それ以外が埋め込み素イデアル^[1]。

孤立素イデアルは、$I$ を含む素イデアル全体の中でも極小です^[1]。つまり幾何でいう既約成分に対応します。

$(x^2,xy)$ では $(x)$ が孤立、$(x,y)$ が埋め込みです。$(x)\subset (x,y)$ なので、後者は前者の中に沈んでいる。

孤立素イデアルに対応する成分は一意に決まります。局所化して戻すことで、分解を使わずに書けるためです。

埋め込み素イデアルに対応する成分は一意ではありません。上の例がそのまま反例になっています。

第二一意性定理

一意なのは孤立成分だけ、というのは少し粗い言い方です。もう少し広い範囲まで一意性が届きます^[2]。

付随素イデアルの部分集合 $P$ が、$\mathfrak{p}\in P$ かつ $\mathfrak{p}\supseteq \mathfrak{q}$ なら $\mathfrak{q}\in P$ という条件を満たすとします。下向きに閉じた集合です。

このとき、$P$ に属する素イデアルに対応する成分の交わりは、分解によらず決まります^[2]。

$$\bigcap _{{\mathfrak{p}}_i\in P}{Q}_i=S^{-1}I\cap R,S=R\setminus \bigcup _{\mathfrak{p}\in P}\mathfrak{p}$$

右辺に分解が出てきません。局所化して戻すだけの式です。

$P$ を極小な素 1 つにとれば、孤立成分の一意性が出ます。第二一意性定理はその一般化になっている。

幾何で読む

$(x^2,xy)=x(x,y)$ が定める図形を見ます。$V(x)$ は $y$ 軸なので、まず直線が現れる。

そこに $(x,y)$ 準素成分が加わります。これは原点だけを台に持つ成分です。

$y$ 軸に、原点でわずかな厚みが乗った図形。埋め込み素イデアルは、既約成分の上に乗った余分な構造を表します。

厚みの付き方は一意ではありません。$(x,y{)}^2$ でも $(x^2,y)$ でも同じイデアルになる。どこに沈んでいるかは決まるが、どう沈んでいるかは決まらない。

根基イデアルなら一意になる

$I$ が根基イデアル、つまり $\sqrt{I}=I$ のときは話が単純です。

極小な準素分解が素イデアルだけで書けるので、埋め込み素イデアルが現れません^[1]。付随素イデアルはすべて孤立です。

孤立成分は一意なので、分解全体が一意に決まります。分解できる根基イデアルの準素分解はただ 1 通り^[1]。

被約なネーター環では $(0)$ が根基イデアルなので、極小素イデアルが有限個で、その交わりが $(0)$ になります^[3]。

例：整数環での分解

$n=\pm p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$ とすると、次が準素分解です^[1]。

$$(n)=(p_1^{n_1})\cap \cdots \cap (p_k^{n_k})$$

付随素イデアルは $(p_1),\dots ,(p_k)$ です。どれも極小なので、埋め込み成分はありません。

$\mathbb{Z}$ は次元 $1$ の整域なので、素イデアルの包含関係が $0\subset (p)$ しかない。沈む余地がないため、一意性が完全に成り立ちます。

素因数分解が一意なのは、環の次元が低いからでもあります。次元が上がると、埋め込み成分という現象が出てきます。

根基との関係

$I=Q_1\cap \cdots \cap Q_n$ が準素分解なら、根基は素イデアルの交わりになります。

$$\sqrt{I}={\mathfrak{p}}_1\cap \cdots \cap {\mathfrak{p}}_n$$

埋め込み素イデアルは孤立素イデアルを含むので、交わりに寄与しません。実際には孤立素イデアルだけで交わりが決まります。

根基をとると埋め込みの情報が消えます。だから根基は一意でも、もとのイデアルの分解は一意にならない。

まちがえやすい点

どこに成分が乗るかは決まる。どう乗るかは決まらない。素因数分解との差が、ちょうどそのぶんだけあります。

出典