準素分解と一意性

準素分解はイデアルを準素イデアルの共通部分として表す理論であり、整数の素因数分解の一般化と見なせます。

準素分解の定義

$R$ を可換環、 $I$ を $R$ のイデアルとします。 $I$ の準素分解とは

$I = Q_{1} \cap Q_{2} \cap \dots \cap Q_{n}$

という表示で、各 $Q_{i}$ が準素イデアルであるものをいいます。

既約分解と準素分解

ネーター環では、任意のイデアルは既約イデアルの有限個の共通部分として書けます。既約イデアルは準素イデアルなので、次が成り立ちます。

準素分解の存在

ネーター環において、任意のイデアルは準素分解をもつ。

極小準素分解

準素分解 $I = Q_{1} \cap \dots \cap Q_{n}$ が極小であるとは、次の条件を満たすことをいいます。

Q_{i}

がすべて異なる（同じ素イデアルに属する準素イデアルが複数ない）

どの

Q_{i}

も省略できない（

Q_{i} \supseteq ⋂_{j \neq = i} Q_{j}

となる

i

がない）

任意の準素分解から、重複を合併し余分なものを除くことで極小準素分解が得られます。

付随素イデアル

$I = Q_{1} \cap \dots \cap Q_{n}$ を極小準素分解とするとき、 $p_{i} = Q_{i}$ を $I$ の付随素イデアルといいます。付随素イデアル全体の集合を $Ass (I)$ または $Ass (R / I)$ と書きます。

付随素イデアルの一意性

極小準素分解における付随素イデアルの集合 ${p_{1}, \dots, p_{n}}$ は準素分解の取り方によらず一意に定まる。

孤立成分と埋没成分

付随素イデアルのうち、極小なもの（他の付随素イデアルを含まないもの）を孤立素イデアル、それ以外を埋没素イデアルといいます。

孤立成分

孤立素イデアル $p$ に対応する準素成分 $Q$ は一意に定まる。 $Q = I R_{p} \cap R$ で計算できる。

埋没成分

埋没素イデアルに対応する準素成分は一般には一意でない。

一意性のまとめ

付随素イデアルの集合は一意

孤立成分は一意

埋没成分は一般に一意でない

具体例

$R = k [x, y]$ 、 $I = (x^{2}, x y)$ を考えます。

$(x^{2}, x y) = (x) \cap (x^{2}, y) = (x) \cap (x^{2}, x y, y^{2})$

どちらも極小準素分解です。 $(x)$ は $(x)$ -準素（素イデアル自身）、 $(x^{2}, y)$ と $(x^{2}, x y, y^{2})$ はともに $(x, y)$ -準素です。付随素イデアルは ${(x), (x, y)}$ で一意ですが、 $(x, y)$ -準素成分は一意でありません。

根基との関係

$I = Q_{1} \cap \dots \cap Q_{n}$ が準素分解なら

$I = Q_{1} \cap \dots \cap Q_{n} = p_{1} \cap \dots \cap p_{n}$

特に $I$ は付随素イデアルの共通部分です。