Gorenstein環

Gorenstein 環は Cohen-Macaulay 環の中でも特に良い双対性をもつ環であり、代数幾何学における標準束や特異点論で重要な役割を果たします。

Gorenstein 環の定義

$(R, m, k)$ を $d$ 次元ネーター局所環とします。 $R$ が Gorenstein 環であるとは、次の同値な条件のいずれかを満たすことをいいます。

R

は Cohen-Macaulay で、

Ext_{R}^{d} (k, R) ≅ k

R

の入射次元が有限（

id_{R} (R) < \infty

）

R

は Cohen-Macaulay で、標準加群

ω_{R} ≅ R

Gorenstein 環の例

正則局所環

正則局所環は Gorenstein。射影次元 $=$ 入射次元 $=$ 次元。

完全交差

正則局所環の正則列によるイデアルでの剰余環は Gorenstein。例えば $k [[x, y]] / (x^{2} - y^{3})$ 。

0 次元 Gorenstein 環

$k [x] / (x^{n})$ は Gorenstein。 $Hom_{k} (k [x] / (x^{n}), k) ≅ k [x] / (x^{n})$ 。

超曲面

$R / (f)$ （ $f$ は非零因子）は Gorenstein。

Gorenstein でない Cohen-Macaulay 環

例

$R = k [[x, y]] / (x^{2}, x y)$ は $0$ 次元 Cohen-Macaulay だが Gorenstein でない。socle $Ann (m)$ の次元が $1$ より大きい。

socle と 0 次元の場合

$0$ 次元局所環 $(R, m)$ の socle は $soc (R) = (0 : m) = {x \in R ∣ m x = 0}$ です。

0 次元の特徴づけ

$0$ 次元局所環 $R$ が Gorenstein $⟺$ $dim_{k} soc (R) = 1$

標準加群

Cohen-Macaulay 局所環 $(R, m)$ に対し、標準加群 $ω_{R}$ は局所双対定理

$Ext_{R}^{i} (M, ω_{R}) ≅ Hom_{k} (H_{m}^{d - i} (M), E)$

を与える加群です（ $E$ は $k$ の入射包絡、 $H_{m}^{i}$ は局所コホモロジー）。

Gorenstein の特徴づけ

$R$ が Gorenstein $⟺$ $ω_{R} ≅ R$ （標準加群が自由）

Gorenstein 環の性質

Gorenstein 環は Cohen-Macaulay

R

が Gorenstein で

p

が素イデアルなら

R_{p}

も Gorenstein

R

が Gorenstein で

x

が非零因子なら

R / (x)

も Gorenstein

Gorenstein 環の多項式環・冪級数環も Gorenstein

入射次元と Gorenstein 性

Bass の定理

ネーター局所環 $(R, m)$ に対し

$R$ が Gorenstein $⟺$ $id_{R} (R) < \infty$

このとき $id_{R} (R) = dim R$ 。

包含関係

環のクラスの包含関係は次のようになります。

$正則 \subseteq 完全交差 \subseteq Gorenstein \subseteq Cohen-Macaulay$

完全交差

正則局所環 $S$ と正則列 $f_{1}, \dots, f_{c}$ に対し $R = S / (f_{1}, \dots, f_{c})$ を完全交差という。完全交差は Gorenstein。

数値的 Gorenstein 条件

Gorenstein 環の Hilbert 級数は対称性をもちます。

対称性

$R$ を次数付き Gorenstein 環とすると、Hilbert 級数 $H_{R} (t)$ は

$H_{R} (1/ t) = \pm t^{a} H_{R} (t)$

を満たす（ある整数 $a$ に対し）。

この対称性は計算的に Gorenstein 性を判定する際に有用です。