分数体の構成

分数体は整域に対して定義される体であり、整数 $\mathbb{Z}$ から有理数 $\mathbb{Q}$ を構成するプロセスの一般化です。

分数体の構成

$R$ を整域（零因子をもたない可換環）とします。$S=R\setminus \{0\}$ は乗法的集合であり、$R$ の $S$ による局所化

$$\mathrm{Frac}(R)=S^{-1}R=(R\setminus \{0\}{)}^{-1}R$$

を $R$ の分数体（商体）と呼びます。

$R$ が整域であることから、同値関係は

$$\frac{a}{s}=\frac{b}{t}⟺at=bs$$

と簡単になります（$u$ を掛ける必要がありません）。

分数体が体であること

$\mathrm{Frac}(R)$ の $0$ でない元 $\frac{a}{s}$（$a\ne 0$）に対し、$\frac{s}{a}$ が逆元を与えます。

$$\frac{a}{s}\cdot \frac{s}{a}=\frac{as}{sa}=\frac{1}{1}=1$$

よって $\mathrm{Frac}(R)$ は体です。また標準的な単射 $R\hookrightarrow \mathrm{Frac}(R)$ により、$R$ は $\mathrm{Frac}(R)$ の部分環とみなせます。

具体例

分数体の普遍性

分数体は次の普遍性で特徴づけられます。

$R$ を整域、$K$ を体とします。単射環準同型 $\phi :R\hookrightarrow K$ が与えられたとき、$\phi$ は分数体を経由して一意的に拡張されます。すなわち

$$\phi =\tilde{\phi }\circ \iota$$

を満たす体の準同型 $\tilde{\phi }:\mathrm{Frac}(R)\to K$ がただ一つ存在します。

これは「$R$ を含む最小の体」が $\mathrm{Frac}(R)$ であることを意味します。

体は自身の分数体

$K$ が体ならば $K\setminus \{0\}$ はすでにすべて単元なので

$$\mathrm{Frac}(K)=K$$

です。局所化しても何も変わりません。

分数体と局所化の関係

整域 $R$ と素イデアル $\mathfrak{p}$ に対し、局所化の間に包含関係

$$R\subset R_{\mathfrak{p}}\subset \mathrm{Frac}(R)$$

があります。$R_{\mathfrak{p}}$ は $R$ と $\mathrm{Frac}(R)$ の「中間」に位置する環です。

特に $\mathfrak{p}=(0)$ のとき $R_{(0)}=\mathrm{Frac}(R)$ となります。

整域でない場合

$R$ が整域でない場合、$R\setminus \{0\}$ は乗法的集合とは限りません（零因子の積が $0$ になりうる）。この場合、分数体は定義されません。

ただし、全商環（total ring of fractions）という概念があり、$S$ を $R$ のすべての非零因子の集合として $S^{-1}R$ を考えることはできます。これは一般には体にはなりません。