Cohen-Macaulay環

Cohen-Macaulay 環は深さと次元が一致する「良い」環であり、代数幾何学や可換環論において中心的な役割を果たします。

Cohen-Macaulay 環の定義

$(R, m)$ をネーター局所環とします。 $R$ が Cohen-Macaulay 環であるとは

$depth (R) = dim (R)$

が成り立つことをいいます。

一般に $depth (R) \leq dim (R)$ が成り立つので、Cohen-Macaulay 性は「深さが最大」という条件です。

局所環でない場合、 $R$ が Cohen-Macaulay であるとは、すべての局所化 $R_{m}$ （ $m$ は極大イデアル）が Cohen-Macaulay であることをいいます。

正則局所環

正則局所環は Cohen-Macaulay。正則パラメータ系が正則列をなすため。

完全交差

正則局所環の正則列によるイデアルでの剰余環は Cohen-Macaulay。

0 次元環

$dim R = 0$ の環は自動的に Cohen-Macaulay（深さも $0$ または正）。

1 次元被約環

1 次元の被約ネーター局所環は Cohen-Macaulay。

結合点をもつ曲線

$R = k [x, y, z] / (x z, y z)$ は原点で2本の直線が交わる空間の座標環。 $dim R = 1$ だが $depth (R) = 0$ （ $R$ 自身が零因子をもつ）で Cohen-Macaulay でない。

$(R, m)$ を $d$ 次元ネーター局所環とします。 $x_{1}, \dots, x_{d} \in m$ がパラメータ系であるとは、 $R / (x_{1}, \dots, x_{d})$ が Artin 環（ $0$ 次元）となることをいいます。

Cohen-Macaulay の特徴づけ

$R$ が Cohen-Macaulay $⟺$ あるパラメータ系が $R$ -正則列

$⟺$ 任意のパラメータ系が $R$ -正則列

R

が Cohen-Macaulay で

x

が非零因子なら

R / (x)

も Cohen-Macaulay

R

が Cohen-Macaulay で

p

が素イデアルなら

R_{p}

も Cohen-Macaulay

R

が Cohen-Macaulay なら純次元（極小素イデアルの高さがすべて等しい）

Cohen-Macaulay 環の多項式環・冪級数環も Cohen-Macaulay

Cohen-Macaulay 環では次元に関する良い公式が成り立ちます。

次元公式

$R$ を Cohen-Macaulay 環、 $p \subseteq q$ を素イデアルとする。このとき

$ht (q) = ht (p) + ht (q / p)$

すなわち、素イデアルの鎖は「穴」なく繋がる（catenary 性）。

Cohen-Macaulay 環 $R$ に対し、双対性を与える標準加群 $ω_{R}$ が定義されます。 $ω_{R}$ が $R$ と同型のとき、 $R$ は Gorenstein 環と呼ばれます。

Cohen-Macaulay

深さ $=$ 次元。ホモロジー的に「良い」。

Gorenstein

Cohen-Macaulay かつ標準加群が自由。双対性をもつ。

$R$ を正標数の体上有限生成な整域とする。 $R$ の絶対整閉包（代数閉包における整閉包）は Cohen-Macaulay 環である。

これは可換環論における深い結果の一つです。