なぜ部分環では割れないのか？剰余環と準同型定理

可換環 $R$ とそのイデアル $I$ から、新しい環 $R/I$ を作れます^[1,3]。差が $I$ に入る元どうしを同じものと見なす、という作り方です。

$$a\sim b⟺a-b\in I$$

$a$ の属する類を $a+I$ と書き、これを元とする集合が $R/I$ になる^[1]。

$5$ の倍数だけ違う整数を同じと見なせば $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$。時計の文字盤と同じ発想です。

折りたたむ

整数を $5$ で割った余りで分けると、無限にある整数が $5$ 個の類に落ちる。

同じ箱に入った整数は、$R/I$ では区別されません。無限の情報を有限に畳んだうえで、足し算とかけ算だけは生き残らせる操作です。

なぜ部分環では割れないか

割る相手にイデアルを選ぶのには理由がある。演算が代表元のとり方によらないためには、吸収の条件が要る^[1]。

足し算のほうは楽です。$a-a^{\prime }\in I$、$b-b^{\prime }\in I$ なら $(a+b)-(a^{\prime }+b^{\prime })\in I$ で、部分群であれば足りる。

かけ算で条件が効く。差を書き出すと次のようになる。

$$ab-a^{\prime }{b}^{\prime }=a(b-b^{\prime })+(a-a^{\prime })b^{\prime }$$

右辺の $2$ 項が $I$ に入るには、$I$ の元に環の元を掛けても $I$ から出ないことが要る。これがイデアルの吸収の条件です^[1]。

部分環では足りません。$1$ を含んでいる以上、掛け算で全体に広がってしまう。

標準射影と核

$\pi (a)=a+I$ で定めた $\pi :R\to R/I$ は全射の環準同型です^[1,3]。核はちょうど $I$ になる。

逆に、どんな環準同型の核もイデアルです^[1,2]。つまりイデアルとは、準同型の核として現れる部分集合にほかなりません。

「割れる相手」と「潰せる相手」が一致する、という言い方もできる。

普遍性

$f:R\to S$ を環準同型とし、$I\subseteq \ker f$ が成り立つとします。このとき $f$ は $R/I$ を一意に経由する^[1,4]。

$$f=g\circ \pi (g:R/I\to S\text{は一意})$$

$g(a+I)=f(a)$ で定めるだけです。$I$ が核に含まれているので、代表元を変えても値が動きません。

この性質が剰余環を特徴づける^[1]。「$I$ を $0$ に潰す写像のうち、いちばん情報を残すもの」が $\pi$ だと読めます。

第一同型定理

普遍性を $I=\ker f$ の場合に当てると、同型が出ます^[1,2,4]。

$$R/\ker f\cong \mathrm{Im}f$$

核で割ってから送る写像が単射になる。それがこの定理の中身です。潰すべきものを先に潰しておけば、あとは一対一で移る。

$\ker f$ はイデアル、$\mathrm{Im}f$ は部分環になる^[2]。写像を「潰す部分」と「残る部分」に分けた形です。

ネーターが $1927$ 年の論文でこの形にまとめました^[2]。

対応定理

$R/I$ のイデアルは、$I$ を含む $R$ のイデアルと一対一に対応します^[2]。包含関係も保たれる。

$$\{J\mid I\subseteq J\subseteq R\}⟷\{R/I\text{のイデアル}\}$$

対応は $J\mapsto J/I$ と $\bar{J}\mapsto {\pi }^{-1}(\bar{J})$ で与えられます。互いに逆になる。

この対応で素イデアルは素イデアルへ、極大イデアルは極大イデアルへ移る。割った先の構造を、もとの環の中で読めるようになる。

第二同型定理

部分環 $B$ とイデアル $I$ があるとき、次が成り立ちます^[2,4]。

$$B/(B\cap I)\cong (B+I)/I$$

$B$ と $I$ が作るひし形の、向かい合う $2$ 辺が同じ形になるという主張です。ダイヤモンド同型定理とも呼ばれる^[2]。

$B\cap I$ は $B$ のイデアル、$B+I$ は部分環になります^[2]。

第三同型定理

$I\subseteq J$ を $R$ のイデアルとすると、次が成り立ちます^[2,4]。

$$(R/I)/(J/I)\cong R/J$$

$2$ 段階に分けて割っても、一度に割っても同じ。割る操作が積み重ねられることを述べている。

$\mathbb{Z}$ で $I=12\mathbb{Z}$、$J=4\mathbb{Z}$ とすれば $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})/(4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ になる。

例: 整数を n で割る

$n\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ のイデアルで、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は $n$ 個の元を持つ環です^[1,3]。合同式の計算がそのまま環の演算になる。

$n$ が素数なら体になります。$n$ が合成数なら零因子が出る。

割る相手が変われば、出てくる環の性質も変わる。イデアルの性質が剰余環の性質へ翻訳される。

例: 実数から複素数を作る

$\mathbb{R}[X]$ を $X^2+1$ で割ると、複素数体が出ます^[1,3,4]。

$$\mathbb{R}[X]/(X^2+1)\cong \mathbb{C}$$

$X$ の類が $i$ にあたる。$X^2=-1$ という関係を強制的に入れた、と読めます。

体 $K$ 上の既約多項式 $f$ で割れば、いつでも $K$ の拡大体が出ます^[1]。$f$ が $K[X]/(f)$ の中で根を持つ形になる。

有限体もすべてこの形で作れます^[3]。${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の上の多項式環を、既約多項式で割ればよい。

例: 両端で割る

$I=0$ で割ると何も潰れません。$R/0\cong R$ です^[1]。

$I=R$ で割ると全部が潰れます。$R/R$ は零環になる^[1,4]。

この $2$ つが両端で、あいだのイデアルが「どれだけ潰すか」を決める。

割った先で何が分かるか

剰余環の性質が、そのままイデアルの分類になります^[3]。

イデアルを直接調べるより、割った先を見るほうが早い場面が多くなる。素イデアルや極大イデアルの定義が商の言葉で書けるのは、この対応のためです。

よくある誤り

参考文献