整域が整閉かどうかは局所化だけで決まる

整域 $A$ について、次の 3 つは同値です^[1]。

整閉かどうかは、環の各点を見て回れば決まる。しかも極大イデアルだけ調べれば足ります。

「局所的な性質」と呼ばれる型の主張で、可換環論ではこの型が繰り返し現れる。

整閉であるとは

整域 $A$ の分数体を $K$ と書きます。$x\in K$ が $A$ 上整であるとは、係数を $A$ にとった最高次係数 $1$ の多項式の根になることをいう^[1,2]。

$$x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$$

$A$ 上整な $K$ の元をすべて集めたものが、$K$ における $A$ の整閉包です。整閉包が $A$ 自身に一致するとき、$A$ を整閉と呼びます^[2]。

最高次係数が $1$ という条件が効いている。ここを外すと、$K$ のどの元も $qx-p=0$ の根になってしまい、区別がつかない。

例: 平方根の環は穴が空くことがある

$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ は整閉ではありません^[1]。分数体の元 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ が、次の式を満たすためです。

$$x^2-x-1=0$$

最高次係数は $1$ で、係数はすべて整数。それなのに $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ は $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ に入りません。

格子のまん中が抜けている、という絵になる。抜けを埋めた $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ が整閉包です。

一般に $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ が整閉になるのは、$d$ が $4$ を法として $1$ と合同でないときに限ります^[2]。合同なときの整閉包が $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right]$ になる。

例: 一意分解整域は整閉

一意分解整域はつねに整閉です^[1,2]。証明は既約分数で書くだけで済む。

$x=p/q$ を既約分数とし、$x$ が $A$ 上整だとします。$x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0=0$ に $q^n$ を掛ける。

$$p^n=-q(a_{n-1}{p}^{n-1}+\cdots +a_0{q}^{n-1})$$

右辺は $q$ で割り切れるので、$q$ は $p^n$ を割る。$p$ と $q$ が互いに素なので、$q$ は単元しかない。

つまり $x=p/q$ は $A$ の元です。単項イデアル整域も $\mathbb{Z}$ も $k[x_1,\dots ,x_n]$ も、この理由で整閉になる。

局所化で環を小分けにする

積閉集合 $S$ に対して、分母を $S$ からとった分数の環 $S^{-1}A$ が作れる^[3]。素イデアル $\mathfrak{p}$ の補集合をとったものが $A_{\mathfrak{p}}$ です。

$A$ が整域なら、話が単純になる。$S^{-1}A$ はすべて分数体 $K$ の部分環として実現でき、$A\subseteq A_{\mathfrak{p}}\subseteq K$ が成り立つ。

$A_{\mathfrak{p}}$ は極大イデアルを一つしか持たない局所環です。素イデアルを一点と見て、その近くだけを拡大鏡で見る操作にあたる。

共通部分としての A

局所化を全部集めると、もとの環が復元できる。整域 $A$ について、$K$ の中で次が成り立つ。

$$A=\bigcap _{\mathfrak{m}}{A}_{\mathfrak{m}}$$

共通部分は、すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ にわたってとる。この等式が、$(3)\Rightarrow (1)$ の要になる。

証明は分母のイデアルを使う。$x\in {\bigcap }_{\mathfrak{m}}{A}_{\mathfrak{m}}$ をとり、次のイデアルを置く。

$$I=\{a\in A\mid ax\in A\}$$

$I$ がどの極大イデアルにも含まれないことを見ます。もし $I\subseteq \mathfrak{m}$ とすると、$x\in A_{\mathfrak{m}}$ から $x=a/s$、$s\notin \mathfrak{m}$ と書ける。

すると $sx=a\in A$ なので $s\in I\subseteq \mathfrak{m}$ となり、$s\notin \mathfrak{m}$ に反する。

真のイデアルは必ず極大イデアルに含まれるので、$I$ は真のイデアルではありません。つまり $I=A$ で $1\in I$、したがって $x\in A$ です。

一点ずつの結果を集めると、全体の結果になる。局所的な性質とは、この向きの復元がきく性質のこと。

上から下へ: 局所化は整閉性を受けつぐ

$(1)\Rightarrow (2)$ は分母を払う議論です^[4]。$A$ を整閉、$S$ を積閉集合とし、$x\in K$ が $S^{-1}A$ 上整だとします。

整方程式の係数は $a_i/s_i$ の形。分母をまとめて $s\in S$ をとり、両辺に $s^n$ を掛けます。

すると $sx$ が $A$ 上整な元になる。$A$ が整閉なので $sx\in A$、したがって $x\in S^{-1}A$ です。

素イデアルでも極大イデアルでも同じ議論が通る。$(1)\Rightarrow (2)$ と $(2)\Rightarrow (3)$ が、これで済んだ。

下から上へ: 各点から全体へ

$(3)\Rightarrow (1)$ には共通部分の等式を使う。$x\in K$ が $A$ 上整だとします。

$A\subseteq A_{\mathfrak{m}}$ なので、$x$ は各 $A_{\mathfrak{m}}$ 上でも整です。仮定から $A_{\mathfrak{m}}$ は整閉なので $x\in A_{\mathfrak{m}}$ になる。

これがすべての $\mathfrak{m}$ で成り立つので、$x$ は共通部分に入る。共通部分は $A$ に一致するので $x\in A$ です。

つまり $A$ の整閉包は $A$ 自身。3 つの条件が輪になってつながりました。

なぜ局所で決まるのか

背景にあるのは、局所化が完全関手であることです^[3]。完全列を局所化しても完全列のまま。

いちばん基本の形は、加群 $M$ について次が成り立つことです^[3]。

$$M=0⟺M_{\mathfrak{m}}=0(\text{すべての極大イデアル}\mathfrak{m})$$

$0$ かどうかが局所で決まるので、写像の核や余核についても同じことが言える。単射性や全射性が局所で決まるのは、この帰結です。

ほかに局所で決まる性質

同じ型の主張がいくつも並ぶ^[3]。

どれも「もとの環の性質で決まり、分母のとり方によらない」という形をしている。分母を付けても付けなくても、完全性は変わらない。

局所で決まらない性質もある

すべてが局所で決まるわけではありません。整域であることが、その例。

体 $k$ をとって $A=k\times k$ と置きます。極大イデアルは $k\times 0$ と $0\times k$ の $2$ つで、どちらで局所化しても $k$ になる。

$k$ は整域です。それなのに $A$ は $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$ という零因子を持ち、整域ではありません。

だから 3 条件の同値は、$A$ が整域だという前提の上に立っている。この前提を落とすと、主張の形自体を変える必要が出る。

正規環へ広げる

整域という前提を外したいときは、正規環という言葉を使う^[1]。すべての素イデアルでの局所化が整閉整域になる環のこと。

$k\times k$ はこの意味で正規です。局所化がどちらも体になるため。

ネーター環では、セールの判定法が使える^[1]。高さ $1$ 以下の素イデアルで局所環が正則になり、それより高いところで深さの条件が満たされれば正規になる、という形の判定です。

代数体の整数環

代数体 $K$ の中で、$\mathbb{Z}$ の整閉包をとったものが $K$ の整数環です^[5]。定義からして整閉になる。

ガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]$ やアイゼンシュタイン整数環が、この形で得られる^[5]。円分体の整数環も同じ枠に入る。

整数環はデデキント環で、デデキント環は定義に整閉性を含みます^[2]。素因数分解がイデアルの水準で復活するのは、この整閉性が効いているためです。

$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ が整閉でなかったのは、$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ の整数環に届いていなかったから。整数環は $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ のほうです。

よくある誤り

参考文献